高三數(shù)學專題：平面向量的方法技巧及易錯題剖析（理）人教實驗版（B）知識精講（通用）

1、高三數(shù)學專題：平面向量的方法技巧及易錯題剖析（理）高三數(shù)學專題：平面向量的方法技巧及易錯題剖析（理）人教實驗人教實驗 版（版（B B） 【本講教育信息本講教育信息】 一. 教學內(nèi)容： 專題：平面向量的方法技巧及易錯題剖析 二. 重點與難點 總結平面向量部分的方法技巧及對本章易錯題進行剖析 三. 知識分析 （一）平面向量常見方法技巧 方法一：強化運用交換律和結合律的意識，活用閉合向量為零向量解題 特別對于化簡題，應靈活運用加法交換律變?yōu)楦飨蛄渴孜蚕噙B，然后再運用向量加法 結合律作和。 例：化簡下列各式：；CABCAB ；CDBDACAB ；ADODOA 。結果為零向量的序號為_。MPMNQPNQ

2、 答案：答案： 解析：解析：對于，；0CAACCABCAB 對于， 0ADADCDACBDABCDBDACAB 對于，；0ADDAADODOAAB 對于， 0PNNPMPMNQPNQMPMNQPNQ 綜上知，應填。 方法二：強化運用向量加法法則 例：已知四邊形 ABCD 是菱形，點 P 在對角線 AC 上（不包括端點 A、C） ，則等AP 于（ ） A. B. 1, 0,ADAB 2 2 0,BCAB， C. D. 1, 0,ADAB 2 2 , 0,BCAB 答案：答案：A 解析：解析：如圖，因為點 P 在 AC 上且不包括端點 A、C，所以，。ACAP1, 0 由三角形法則和平行四邊形法則

3、，知，。ADABACBCABACAB 所以或，。ADABAPBCABAP1, 0 故選 A。 方法三：數(shù)形結合思想 例：已知向量、滿足條件，且 1 OP 2 OP 3 OP0OPOPOP 321 =1，試判斷的形狀。|OP|OP|OP| 321 321 PPP 解析：解析：如圖，以與為鄰邊作平行四邊形，利用向量加法的平行四邊 1 OP 2 OP 21PP OP 形法則，易知。OPOPOP 21 ，。0OPOPOP 321 3 OPOP 又=1，|OP|OP|OP| 321 ，四邊形為菱形。1|PP|OP|OP| 11 21PP OP 為等邊三角形。 1 POP 即，從而60OPP1120OPP

4、 21 同理可得。120OPPOPP 3132 =1，|OP|OP|OP| 321 。 313221 OPPOPPOPP 。|PP|PP| 3221 |PP| 31 為正三角形。 321 PPP 方法四：取特例 例：ABC 的外接圓的圓心為 O，兩條邊上的高的交點為 H， ，則實數(shù)=_。OCOBOAmOHm 答案：答案：1 解析：解析：（特殊值法）當ABC 為直角三角形時，O 為 AC 中點，AB、AC 邊上高的交 點 H 與 B 重合。 ，OHOBOCOBOA 。1m 方法五：應用解題 22 a|a| 是向量數(shù)量積的重要性質(zhì)之一，它溝通了向量與實數(shù)間的轉(zhuǎn)化關系，充分利 22 |a|a 用這一

5、性質(zhì)，可以將與向量有關的問題轉(zhuǎn)化為向量的運算問題。 例：已知 a、b 均為單位向量，它們的夾角為，那么等于（ ）60|b3a| A. B. C. D. 710134 答案：答案：C 解析：解析： 2222 b9ba6ab3a|b3a| ， 22 |b|9b, acos|b|a|6|a| ，1|a|1|b| 60b, a 原式=。13960cos1161 ，故選 C。13|b3a| 方法六：利用數(shù)形結合思想解決向量的模、向量的夾角問題 例 1：已知向量、b 滿足，且 a 與 b 的夾角為，求和a6|a|4|b|60|ba| 。|b3a| 解析：解析：如圖所示，則由 a、b 的夾角為知，aOA b

6、OC baOB60 ，在AOB 中，由余弦定理得，60AOC120BAO 。19260cos64246|OB|ba| 22 如圖所示，仿上可求得。36|FE|b3a| 例 2：已知，則與的夾角大小為（ ）1|a|2|b|bacac ab A. B. C. D. 6 6 5 3 3 2 答案：答案：D 解析：解析：如圖，bacac a、b、c 構成一個三角形，且，所以可以推知 a 與 b 的夾角為，故選 D。 6 3 2 方法七：三角形形狀的判斷方法 由于三角形的形狀可按角分類也可按邊分類，所以這類題常將條件統(tǒng)一用邊或角表示 后再化簡、判斷。 1. 應用平面向量的基本概念和性質(zhì)判斷。 例 1：已

7、知平面上有互異的四點 A、B、C、D，若，0ACABDA2DCDB 則ABC 的形狀是 A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 等邊三角形 答案：答案：B 解析：解析：因為ACABDA2ACDAABDADA2DCDB 所以，0ACABACABDA2DCDB 22 即。|AC|AB| 所以ABC 是等腰三角形，故選 B。 2. 應用正弦、余弦定理進行邊角互化達到判斷三角形的形狀的目的。 例 2：在ABC 中，若，試判斷三角形的形狀。CcosBcosbc2BsincCsinb 2222 解析：解析：解法一：由正弦定理=，R 為ABC 的外接圓半徑， Csin c Bsin b A

8、sin a R2 將原式化為。CcosBcosCsinBsinR8CsinBsinR8 2222 0CsinBsin ，即。CcosBcosCsinBsin0CBcos ，A=。90CB90 故ABC 為直角三角形。 解法二：將已知等式變形為：，CcosBcosbc2Bcos1cCcos1b 2222 由余弦定理得： ab2 cba ac2 bca bc2 ac2 bca c ab2 cba bcb 222222 2 222 2 2 222 222 ， 即，故ABC 為直角三角形。 2 2 2 222222 22 a a4 bcacba cb （二）易錯題剖析 【易錯題 1】若向量 a、b 滿

9、足關系式，則下列結論中正確的是（ ）|ba|ba| A. 以、為鄰邊的四邊形是矩形ab B. 、中至少有一個零向量或abba C. 、中至少有一個是零向量ab D. 、均為零向量ab 答案：答案：B 解題思路：（1）當、均為非零向量時，由向量加法和向量減法的平行四邊形法則ab 可知，與分別是以、為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線。表ba ba ab|ba|ba| 明這個平行四邊形的兩條對角線的長相等，所以，以、為鄰邊的四邊形為矩形時，aba ；b （2）當、中有零向量時，條件顯然滿足。ab 綜上所述，故選 B。 錯因分析：誤區(qū)：錯選 A。 思考不嚴密，只注意到了向量、均不為零向量的情形，事實上，當

10、、中有零向abab 量時顯然也滿足條件。 由于零向量是特殊向量，具有特殊性，處理向量問題要首先考慮所給向量能否為零向 量。 【易錯題 2】 “兩個向量共線”是這兩個向量方向相反的（ ） A. 充分條件B. 必要條件 C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件 答案：答案：B。 解題思路：兩個向量與共線，它們可以在同一條直線上，也可以不在同一條直線ab 上，只要它們方向相同或相反即可。因此，兩個向量方向相反這兩個向量共線；兩個向 量共線不能得到這兩個向量反向。故選 B。 錯因分析：誤區(qū)：兩個向量共線包含兩個向量同向和反向兩種情況，因此，兩個向量 共線不能得到這兩個向量反向；兩個向量反向，這兩個向量

11、并不一定在同一條直線上。因 此錯選 D。 造成以上誤區(qū)的原因是對兩個向量共線的概念模糊。 【易錯題 3】設點 A（，2） ，B（，3） ，C（，） ，D（，） 。若向11n 21n 21n2 量與共線且同向，則的值為（ ）ABCDn A. 2B. C. D. 122 答案：答案：A 解題思路：由已知條件得，由與共線得，1, nABn, 4CD ABCD04n 2 。當時，=（2，1） ，=（4，2） ，則有，滿足與同2n2n ABCDAB2CD ABCD 向，當時，有，此時與反向，2n1, 2AB2, 4CDAB2CDABCD 不符合題意。因此，符合條件的只有。故選 A。2n 錯因分析：誤區(qū)：

12、由已知可得，因為與同向且共線，1, nABn, 4CD ABCD 所以=0，因此錯選 C。4n 2 2n 出現(xiàn)錯誤的原因是對同向與共線的概念模糊。事實上，上述解答中只注意了共線條件， 而忽視了另一個條件：方向相同。 向量共線的充要條件中的正負決定兩個向量是同向還是反向，同向；0 ，反向。0 【易錯題 4】已知，則的取值范圍是（ ）8| AB | 5| AC | | BC | A. B. （3，8）C. D. （3，13）8, 313, 3 答案：答案：C 解題思路：因為向量減法滿足三角形法則，作出，8|AB| ，。5|AC|ABACBC （1）當ABC 存在，即 A、B、C 三點不共線時，；1

13、3|BC|3 （2）當與同向共線時，；ACAB3|BC| 當與反向共線時，。ACAB13|BC| ，故選 C。13, 3|BC| 錯因分析：誤區(qū)：錯選 D。 錯誤原因是對題意的理解有誤，題設條件并沒有給出 A、B、C 三點不能共線，因此它 們可以共線。當 A、B、C 共線時，ABC 不存在。 題目中兩向量 a、b 是任意向量，在解答構思中理應考慮到它們的特殊情形。 【易錯題 5】已知，設與的夾角為，要使為銳角，求的取3, 1a , 2b ab 值范圍。 解題思路：由為銳角，得0，且，cos1cos 恒大于 0，cos|b|a|ba ，即。0ba0321 解得 3 2 若平行于，則。即，但若平行

14、于，則或，與ab03216ab0 為銳角相矛盾，所以。6 綜上，。6 3 2 且 失分警示：誤區(qū)：為銳角，。0cos 由知，只需，即，故。cos|b|a|ba0ba0321 3 2 本題誤以為兩非零向量 a 與 b 的夾角為銳角的充要條件是，事實上，兩向量的0ba 夾角，當時，有，對于非零向量 a 與 b 仍有，因此, 0001cos0ba 是兩非零向量 a 與 b 的夾角為銳角的必要不充分條件。即有如下結論：兩非零向量0ba a 與 b 的夾角為銳角的充要條件是且不平行于 b。0baa 【易錯題 6】已知點 A（3，）與點 B（，2） ，點 P 在直線 AB 上，且，41|PB|2|PA|

15、求點 P 的坐標。 解題思路：設點 P 的坐標為（x，y） ， 由于，|PB|2|PA| 所以，當點 P 為有向線段的內(nèi)分點時，AB2 此時有 . 0 21 224 y , 3 1 21 ) 1(23 x 點 P 的坐標為（，0） 。 3 1 當點 P 為有向線段的外分點時， AB 2 此時有 . 8 21 224 y , 5 21 123 x 點 P 的坐標為（，8） 。5 綜上所述，點 P 的坐標為（，0）或（，8） 。 3 1 5 失分警示：思考不嚴密，出現(xiàn)漏解現(xiàn)象，點 P 可能是的內(nèi)分點，也可能是的ABAB 外分點，因此本題必須分類討論。 【易錯題 7】ABC 中，已知，判斷ABC 的

16、形0ACAB0ABBC0CACB 狀。 解題思路：。Acos|AC|AB|ACAB ，Bcos|AB|BC|Bcos|AB|BC|ABBC 。Ccos|CA|CB|CACB 。0CACB, 0ABBC, 0ACAB ，、B、C 均為銳角。0Acos0Bcos0CcosA ABC 為銳角三角形。 失分警示：誤區(qū)：，。BC0AB0Bcos|AB|BC| B 為鈍角，ABC 為鈍角三角形。 上述錯誤在于將與的夾角看成是ABC 的內(nèi)角 B，向量與的夾角應為BCABBCAB 。B 【易錯題 8】設二次函數(shù)，其中，、是ABC 的三邊，)ba (cx2x)ba (y 2 abc 且，若二次函數(shù)與軸有交點，試

17、確定B 的范圍。ab cb x 解題思路：由題設，即00bca 222 。 ac2 bca Bcos 222 90B00 又，。cb, ab 60B 由知，。90B60 失分警示：誤區(qū)：由題意得0ba4c4 222 。 90B00 ac2 bca Bcos 222 此解法忽視了題設中所給條件，事實上，是三角形的最大邊。B 為三ab cb b 角形的最大角，不小于。60 解題時要注意挖掘題目中的隱含條件，要做到細致入微，不可大意。 【易錯題 9】已知在四邊形 ABCD 中，且aABbBC cCD dDA ，試確定四邊形 ABCD 的形狀。addccbba 解題思路：由已知易得，則（）=，0dcb

18、aba dc ，即。 22 dcbacd2dcab2ba 2222 又因為，dcba 2222 dcba 同理可得。 2222 cbda 由可得，即，即， 22 ca|c|a| 22 db |d|b| ，四邊形 ABCD 為平行四邊形，|DC|AB|BC|AD| 且，又，。cadbbacbba0baba 綜上所述，四邊形 ABCD 為矩形。 失分警示：誤區(qū)：由已知可得，又，0dcbaaddccbba ，即。 .cdad ,bcab )bd(c)bd(a 22 22 ca|c|a| 同理，即。 .cdbc ,adab )ac(d)ac(b 22 22 db |d|b| 四邊形 ABCD 為平行四

19、邊形，cadb 又，即，。cbba0) ca (b0)aa (b0baba 綜上，四邊形為矩形。 上述解法錯在學生不自覺地應用了實數(shù)乘法的結合律，而向量的數(shù)量積恰恰不滿足結 合律，因此學習向量時一定要認真仔細研讀教材，拋開思維定式的影響，避免誤入思維誤 區(qū)。 【模擬試題模擬試題】 一. 選擇題： 1. 下列各量中不是向量的是（ ） A. 浮力B. 風速C. 位移D. 密度 2. 下列說法中錯誤的是（ ） A. 零向量是沒有方向的B. 零向量的長度是 0 C. 零向量與任一向量平行D. 零向量的方向是任意的 3. 設 O 是正的中心，則向量是（ ）ABCAOOBOC ， A. 有相同起點的向量B

20、. 平行向量 C. 模相等的向量D. 相等向量 4. 命題“若” （ ）abbcac / / / /，則 A. 總成立B. 當時成立a 0 C. 當時成立D. 當時成立b 0c 0 5. 已知正方形 ABCD 的邊長為 1，等于（ ）ABaBCbab ，則| A. 0B. 2C. D. 22 2 6. 在平行四邊形 ABCD 中，等于（ ）BCDCBA A. B. C. D. BC DA AB AC 7. 下列等式中一定能成立的是（ ） A. B. AB ACBC AB ACBC C. D. AB ACCB AB ACCB 8. 在平行四邊形 ABCD 中，若，則四邊形 ABCD 必是（ ）|

21、 |BCBABCAB A. 菱形B. 矩形C. 正方形D. 無法確定 二. 填空題： 9. 已知向量滿足，且，則_ab 、abb |b 1| |aab 10. 下列各命題的條件是結論的什么條件（填：充分不必要條件、必要不充分條件、充 要條件、既不充分也不充要必條件） （1）是的_ab ab / / （2）_| |/ /abab 是的 （3）_| |abab 是的 11. 如圖，四邊形 ABCD 為正方形，為等腰直角三角形。CE D C A B E （1）圖中與共線的向量有_AB （2）圖中與相等的向量有_AB （3）圖中與模相等的向量有_AB （4）圖中與相等嗎？_EC BD （5）圖中與相等

22、嗎？_AB BA 12. 中，則等于_ABCBCaCAb ，AB 三. 解答題： 13. 如圖，已知四邊形 ABCD 是矩形，設點集，求集合MABCD ， ， ， 。 （用列舉法表示）TPQ PQMPQ |、，且 、 不重合 A D B C 14. 化簡。OPQPPSMPMS 15. 有一兩岸平行的河流，水流速度為 1，小船的速度為，為使小船從一岸到達另一2 岸時所走的路程最短，小船應朝什么方向行駛？ 試題答案試題答案 1. D 提示：密度只有大小沒有方向。 2. A3. C 4. C 提示：由于零向量與任何向量都平行，所以當兩非零向量不平行而時，ac 、b 0 有，但這時命題不成立。abbc / / /， 5. C 提示：| | |abABBCAC 2 6. A 提示：DCBA BCDCBABCBABABCBC()0 或者根據(jù)平行四邊形 ABCD 中，BCBABDBDDCBC ，而 BCDCBABC 7. D 8. B 提示：|