高三數(shù)學(xué)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性人教版（理）知識精講（通用）

1、高三數(shù)學(xué)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性人教版（理）【本講教育信息】一. 教學(xué)內(nèi)容：函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性二. 教學(xué)重、難點(diǎn)：了解函數(shù)奇偶性、單調(diào)性、周期性的概念，了解周期函數(shù)最小正周期的意義，掌握判斷一些簡單函數(shù)的奇偶性的方法，能利用函數(shù)的單調(diào)性解決函數(shù)的有關(guān)問題?！镜湫屠}】例1 定義在R上的函數(shù)滿足對任意恒有，且不恒為0。（1）求和的值；（2）試判斷的奇偶性，并加以證明；（3）若時(shí)為增函數(shù)，求滿足不等式的的取值集合。解析：（1）令，得 令，得 （2）令，由，得又 又 不恒為0 為偶函數(shù)（3）由知 又由（2）知 又 在上為增函數(shù) 故的取值集合為例2 設(shè)函數(shù)在上滿足，且在閉區(qū)間0，7上，只

2、有。（1）試判斷函數(shù)的奇偶性；（2）試求方程在閉區(qū)間上的根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論。解析：（1）由，得函數(shù)的對稱軸為 而，即不是偶函數(shù)又 在0，7上只有 從而知函數(shù)不是奇函數(shù)故函數(shù)是非奇非偶函數(shù)（2）從而知函數(shù)的周期為T=10又 故在0，10和上均有2個(gè)根，從而可知函數(shù)在0，2000上有400個(gè)根，在2000，2020上有2個(gè)根，在上有400個(gè)根，在上沒有根。 函數(shù)在上有802個(gè)根。例3 函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，試求的解析式。解析：因?yàn)槭且?為周期的函數(shù)，所以，（1）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為4的倍數(shù)。當(dāng)時(shí)，所以，于是有。（2）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，可以知道為4的倍數(shù)，當(dāng)時(shí)，有，于是從而有當(dāng)時(shí)，有

3、于是有，所以綜合（1）（2）可以得到：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，例4 定義在R上的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，且對任意的，有。（1）證明；（2）證明對任意的，恒有；（3）證明是R上的增函數(shù)；（4）若，求的取值范圍。解析：（1）證明：令，則又 （2）證明：當(dāng)時(shí)， 又時(shí) 時(shí)恒有（3）證明：設(shè)，則 又 是R上的增函數(shù)（4）由，得又是R上的增函數(shù) 例5 已知函數(shù)，其中，為自然對數(shù)的底數(shù)。（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）求函數(shù)在區(qū)間0，1上的最大值。解析：（1） 當(dāng)時(shí)，令，得若，則，從而在（0，+）上單調(diào)遞增若，則，從而在（）上單調(diào)遞減 當(dāng)時(shí)，令，得，故或若，則，從而在（）上單調(diào)遞減若，則，從而在（0，）上單調(diào)遞增若，則，

4、從而在（）上單調(diào)遞減（2） 當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的最大值是1 當(dāng)時(shí)，在區(qū)間0，1上的最大值是 當(dāng)時(shí)，在區(qū)間0，1上的最大值是例6 是否存在常數(shù)，使函數(shù)在上是減函數(shù)且在上是增函數(shù)？解：方法一：設(shè)，則原函數(shù)轉(zhuǎn)化為那么問題就等價(jià)于是否存在常數(shù)，使函數(shù)在上是減函數(shù)且在上是增函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，知只需，即。方法二：由題意知為函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn) 由，得，此時(shí)，故當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，為增函數(shù) 適合題意方法三：任取，則由在上是減函數(shù)可知，對任意的，恒成立 有恒成立，即恒成立 因此，當(dāng)時(shí)，恒成立，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是減函數(shù)仿上可得當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是增函數(shù)故存在常數(shù)，使函數(shù)在上是減函數(shù)，且在上是增函數(shù)例7 設(shè)函數(shù)的圖

5、象上一點(diǎn)P（）處切線的斜率為。（1）若方程有兩個(gè)實(shí)根分別為，且，求證：（2）若在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，求的最小值。分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知（1）證明：由已知得是方程的兩個(gè)實(shí)根根據(jù)韋達(dá)定理得又 （2）解：在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù) 在上恒有，即恒成立從而當(dāng)時(shí)，的最小值為13【模擬試題】（答題時(shí)間：50分鐘）一. 選擇題：1. 已知函數(shù)是一個(gè)以4為最小正周期的奇函數(shù)，則等于（ ） A. 0 B. C. 4 D. 不能確定2. 設(shè)函數(shù)是定義在R上，周期為3的奇函數(shù)，若，則（ ）A. 且B. C. 或D. 3. 設(shè)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，且，則不等式的解集是（ ） A. B. C. D.

6、 4. 設(shè)是定義在R上以6為周期的函數(shù)，在（0，3）內(nèi)單調(diào)遞減，且的圖象關(guān)于直線對稱，則下面正確的結(jié)論是（ ）A. B. C. D. 5. 對任意實(shí)數(shù)，定義為不大于的最大整數(shù)（例如等），設(shè)函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論： ； ； 是周期函數(shù)； 是偶函數(shù)，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 46. 若，定義：，例如。則函數(shù)的奇偶性是（ ） A. 是偶函數(shù)不是奇函數(shù)B. 是奇函數(shù)不是偶函數(shù)C. 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D. 既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)7. 函數(shù)（ ）A. 在上遞增，在上遞減B. 在上遞增，在上遞減C. 在，上遞增，在上遞減D. 在上遞增，在上遞減8. 若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恒

7、有，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）A. B. C. D. 二. 解答題：1. 函數(shù)對任意的，都有，并且當(dāng)時(shí)，。（1）求證：是R上的增函數(shù)；（2）若，解不等式2. 設(shè)函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，并在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)取何值時(shí)，函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù)？3. 設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)，（，都是整數(shù)），且，在上單調(diào)遞增。（1）求的值；（2）當(dāng)時(shí)，的單調(diào)性如何？證明你的結(jié)論。試題答案一.1. A 解析：由題意知，又周期為4，因此，綜上，可知2. C 解析：由題意分析知，又函數(shù)的周期為3，所以，則由，求得或。故選C。3. D解析：令 分別是奇函數(shù)、偶函數(shù) 為奇函數(shù)又，即在上為增函數(shù)又 又在上也是增函數(shù)故的解集為4. B解析：在R上以6為周期，對稱軸為，且在（0，3）內(nèi)單調(diào)遞減， 即5. C解析：由題意有 ，且 正確 為周期函數(shù) 不是偶函數(shù)，故選C。6. A解析： ，即為偶函數(shù)7. A解析：是分段函數(shù)在一、二象限，單調(diào)遞增；在三、四象限，遞減 8. D 解析：設(shè)，當(dāng)時(shí)，而此時(shí)恒成立 ，則減區(qū)間為而必然有，即或 的單調(diào)增區(qū)間為二.1. 解析：（1）設(shè)，且，則 ，即是R上的增函數(shù)（2） 不等式即為 是增函數(shù)于是有，解之，得2. 解析： 是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增 在上單調(diào)遞減又 即若使是單調(diào)遞減函數(shù)，據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知需求的單調(diào)區(qū)間，而當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增 3. 解析：（1