水文頻率相關(guān)內(nèi)容

1、第四章 水文統(tǒng)計,研究對象：隨機(jī)變量 研究內(nèi)容： 隨機(jī)變量的概率分布。（頻率計算） 隨機(jī)變量間的相關(guān)關(guān)系。（相關(guān)分析）,第一節(jié) 概述,1 水文現(xiàn)象 水文現(xiàn)象是一種自然現(xiàn)象，它具有必然性的一面，也具有偶然性的一面。 必然現(xiàn)象是指事物在發(fā)展、變化中必然會出現(xiàn)的現(xiàn)象；水文學(xué)中稱水文現(xiàn)象的這種必然性為確定性。 偶然現(xiàn)象是指事物在發(fā)展、變化中可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象，偶然現(xiàn)象也稱隨機(jī)現(xiàn)象；偶然現(xiàn)象仍然是有規(guī)律的，一般稱為統(tǒng)計規(guī)律。,2 水文統(tǒng)計 數(shù)學(xué)中研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的學(xué)科稱為概率論。 由隨機(jī)現(xiàn)象的一部分試驗資料去研究總體現(xiàn)象的數(shù)字特征和規(guī)律的學(xué)科稱為 數(shù)理統(tǒng)計學(xué)。 概率論與數(shù)理統(tǒng)計學(xué)應(yīng)用到水文分

2、析與計算上，稱為水文統(tǒng)計。 3 水文統(tǒng)計的任務(wù) 水文統(tǒng)計的任務(wù)就是研究和分析水文隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計變化特性，并以此為基礎(chǔ)對水文現(xiàn)象未來可能的長期變化作出在概率意義下的定量預(yù)估，以滿足工程規(guī)劃、設(shè)計、施工以及運(yùn)營期間的需要。,水文統(tǒng)計的基本方法和內(nèi)容具體有以下三點(diǎn)： 1、根據(jù)已有的資料（樣本），進(jìn)行頻率計算，推求指定頻率的水文特征值； 2、研究水文現(xiàn)象之間的統(tǒng)計關(guān)系，應(yīng)用這種關(guān)系延長、插補(bǔ)水文特征值和作水文預(yù)報。,第二節(jié) 事件、概率、隨機(jī)變量,事件 隨機(jī)試驗的結(jié)果。 概率 在同等可能的條件下，隨機(jī)事件在試驗的結(jié)果中可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)，其出現(xiàn)或不出現(xiàn)的可能性大小稱為概率。 頻率 隨機(jī)事件A在重復(fù)n次

3、試驗中出現(xiàn)了m次，則稱 為事件A在n次試驗中出現(xiàn)的頻率。 當(dāng)試驗次數(shù)n無限增大時，隨機(jī)事件的頻率穩(wěn)定在某一個數(shù)附近，此時頻率趨于概率?？梢灶l率作為概率的近似值。,隨機(jī)變量 表示隨機(jī)試驗結(jié)果的數(shù)量。 隨機(jī)變量的概率分布 水文學(xué)習(xí)慣研究事件 的概率及其分布。 稱 為隨機(jī)變量的分布函數(shù)，代表隨機(jī)變量大于等于某一取值的概率。 其幾何圖形稱為隨機(jī)變量的概率分布曲線，在水文學(xué)上通常稱為隨機(jī)變量的累積頻率曲線，簡稱頻率曲線。,概率密度函數(shù)（密度曲線） 隨機(jī)變量落入?yún)^(qū)間的概率與區(qū)間長度之比值。,第三節(jié) 經(jīng)驗頻率曲線,1、經(jīng)驗頻率曲線的繪制 設(shè)某一隨機(jī)變量實測系列 ，則其經(jīng)驗頻率曲線繪制步驟如下： （1）根據(jù)實

4、測水文資料，按從大到小的順序排列；（2）用經(jīng)驗頻率公式計算系列中各項的頻率，稱為經(jīng)驗頻率；（3）以水文變量X為縱坐標(biāo)，以經(jīng)驗頻率P為橫坐標(biāo)，點(diǎn)繪經(jīng)驗頻率點(diǎn)據(jù)；（4）根據(jù)點(diǎn)群趨勢繪出一條平滑的曲線，稱為經(jīng)驗頻率曲線。 有了經(jīng)驗頻率曲線，即可在曲線上求得指定頻率P的水文變量值。,對經(jīng)驗頻率的計算，目前我國水文計算上廣泛采用的是數(shù)學(xué)期望公式 : 式中 p - 等于和大于Xm的經(jīng)驗頻率； m Xm的序號，即等于和大于Xm的項數(shù)； n - 系列的總項數(shù)。 2、經(jīng)驗頻率曲線存在的問題 經(jīng)驗頻率曲線計算工作量小，繪制簡單，查用方便，但受實測資料所限,往往難以滿足設(shè)計上的需要。為此，提出用理論頻率曲線來配合經(jīng)

5、驗點(diǎn)據(jù)，這就是水文頻率計算適線（配線）法。,3 頻率與重現(xiàn)期的關(guān)系 頻率曲線繪制后，就可在頻率曲線上求出指定頻率p的設(shè)計值xp。由于“頻率”較為抽象，水文上常用“重現(xiàn)期”來代替“頻率”。所謂重現(xiàn)期是指某隨機(jī)變量的取值在長時期內(nèi)平均多少年出現(xiàn)一次，又稱多少年一遇。 頻率P與重現(xiàn)期T的關(guān)系有兩種表示方法： （1）當(dāng)為了防洪研究暴雨洪水問題時，一般設(shè)計頻率P50，則: （2）當(dāng)考慮水庫興利調(diào)節(jié)研究枯水問題時，設(shè)計頻率P50，則,第四節(jié) 水文頻率曲線線型,1 正態(tài)分布 正態(tài)分布具有如下形式的概率密度函數(shù)： （x）,頻率格紙 正態(tài)頻率曲線在普通格紙上是一條規(guī)則的S形曲線，它在P=50%前后的曲線方向雖然

6、相反，但形狀完全一樣。水文計算中常用的一種“頻率格紙”，其橫坐標(biāo)的分劃就是按把標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)頻率曲線拉成一條直線的原理計算出來的。 2 皮爾遜（P）型曲線 皮爾遜型曲線是一條一端有限一端無限的不對稱單峰、正偏曲線，數(shù)學(xué)上常稱伽瑪分布。,P概率密度函數(shù)為: 式中：（）的伽瑪函數(shù)； 、a0分別為皮爾遜型分布的形狀尺度和位置未知參數(shù)，0， 0 。,三個參數(shù)與總體三個參數(shù) x 、Cv、CS具有如下關(guān)系：,皮爾遜型頻率曲線及其繪制 水文計算中，一般需要求出指定頻率P所相應(yīng)的隨機(jī)變量取值Xp，也就是通過對密度曲線進(jìn)行積分，即: 求出等于及大于Xp的累積頻率P值。 直接由上式計算P值非常麻煩，實際做法是通過變量轉(zhuǎn)

7、換，根據(jù)擬定的Cs值進(jìn)行積分，并將成果制成專用表格，從而使計算工作大大簡化。,令 則有 是標(biāo)準(zhǔn)化變量，稱為離均系數(shù)，其均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1。 經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化變換后：,式中被積函數(shù)只含有一個待定參數(shù)CS，其它兩個參數(shù) x 、Cv都包含在 經(jīng)驗頻率曲線 中。 因此，只需要假定一個CS值，便可通過積分求出 p 與 之間的關(guān)系。 對于若干個給定的CS值， p 與 的對應(yīng)數(shù)值表，已先后由美國福斯特和前蘇聯(lián)雷布京制作出來“皮爾遜型頻率曲線的離均系數(shù) 值表”。 給定參數(shù)后，由 就可以求出相應(yīng)頻率p 的x值：,皮爾遜型頻率曲線繪制步驟 在統(tǒng)計參數(shù) 已知情況下，可按以下步驟繪制皮爾遜型頻率曲線： （1）從 值表中選取

8、若干個頻率 ； （2）由Cs值，查 值表得出不同 的 值； （3）利用 值，通過式 求出于各種 相應(yīng)的 值。以 為縱坐標(biāo)， 為橫坐標(biāo)，從而可繪出理論頻率曲線。,皮爾遜型頻率曲線計算表(實例）,以頻率 為橫坐標(biāo)， 為縱坐標(biāo)，點(diǎn)繪理論頻率曲線。下圖為其示意圖。,第五節(jié) 頻率曲線參數(shù)估計方法,在概率分布函數(shù)中都含有一些表示分布特征的參數(shù), 例如皮爾遜III型分布曲線中就包含有平均數(shù)、離差系數(shù)(Cv)和偏差系數(shù)(Cs)三個參數(shù)。水文頻率曲線線型選定之后, 為了具體確定出概率分布函數(shù), 就得估計出這些參數(shù)。 目前，由樣本估計總體參數(shù)的方法主要有矩法、三點(diǎn)法、權(quán)函數(shù)法、適線法等。,一、隨機(jī)變量的統(tǒng)計參數(shù)

9、1、位置特征參數(shù) 平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù) 平均數(shù)：反映隨機(jī)變量的分布中心，代表隨機(jī)變量的整體水平。 2、離散特征參數(shù) 均方差、離差系數(shù)、偏差系數(shù) 均方差：離差平方的平均數(shù)的開方。 離差系數(shù)：均方差與平均數(shù)的比值。 偏差系數(shù)：衡量隨機(jī)變量的取值對分布中心的對稱程度。(離差立方的平均數(shù)與均方差立方的比值),二、隨機(jī)變量統(tǒng)計參數(shù)的估計 由樣本統(tǒng)計參數(shù)來估計總體統(tǒng)計參數(shù)。 （一）矩法 矩法是用樣本矩估計總體矩，并通過矩和參數(shù)之間的關(guān)系，來估計頻率曲線參數(shù)的一種方法。 一階原點(diǎn)矩的計算式就是均值，均方差的計算式為二階中心矩開方，偏態(tài)系數(shù)Cs計算式中的分子則為三階中心矩。由此，得到計算參數(shù)的公式。它們與相應(yīng)

10、的總體同名參數(shù)不一定相等。 設(shè)隨機(jī)變量樣本系列為：,樣本統(tǒng)計參數(shù)計算式（無偏估計量） 均值： 均方差： 離差系數(shù)： 偏差系數(shù),（Cs抽樣誤差太大）,水文計算上習(xí)慣稱上述公式為無偏估值公式，并用它們估算總體參數(shù)，作為配線法的參考數(shù)值（配線法將在下面介紹）。 （二）權(quán)函數(shù)法 當(dāng)樣本容量較小時，用矩法估計參數(shù)，產(chǎn)生一定的計算誤差，其中尤以 Cs的計算誤差較大。為提高Cs計算精度，近年來提出了不少方法，其中以 權(quán)函數(shù)法比較有效。（馬秀峰于1984年提出） （三）適線法 第六節(jié)內(nèi)容,第六節(jié) 水文頻率計算適線法,適線法(或稱配線法)是以經(jīng)驗頻率點(diǎn)據(jù)為基礎(chǔ),在一定的適線準(zhǔn)則下,求解與經(jīng)驗點(diǎn)據(jù)擬合最優(yōu)的頻率曲

11、線參數(shù),是我國估計水文頻率曲線統(tǒng)計參數(shù)的主要方法。 適線法主要有兩大類,即目估適線法和優(yōu)化適線法。,一、目估適線法 1、目估適線法的步驟 目估適線法是以經(jīng)驗頻率點(diǎn)據(jù)為基礎(chǔ)，給它們選配一條配合較好的理論頻率曲線，并以此來估計隨機(jī)變量總體的統(tǒng)計規(guī)律。 具體步驟如下： （1） 將實測資料由大到小排列，計算各項的經(jīng)驗頻率，在頻率格紙上點(diǎn)繪經(jīng)驗點(diǎn)據(jù)（縱坐標(biāo)為變量的取值，橫坐標(biāo)為對應(yīng)的經(jīng)驗頻率）,（2）選定水文頻率分布線型（一般選用皮爾遜型）。 （3） 先采用矩法或其它方法估計出頻率曲線參數(shù)的初估值 、Cv，而Cs憑經(jīng)驗初選為Cv的倍數(shù)。 （4）根據(jù)擬定的 、Cv和Cs，查附表1或附表2，計算 值。以 X

12、為縱坐標(biāo)，P為橫坐標(biāo)，即可得到頻率曲線。將此線畫在繪有經(jīng)驗點(diǎn)據(jù)的圖上，看與經(jīng)驗點(diǎn)據(jù)配合的情況 。若不理想，可通過調(diào)整x、cv和cs點(diǎn)繪頻率曲線。,（5）最后根據(jù)頻率曲線與經(jīng)驗點(diǎn)據(jù)的配合情況，從中選出一條與經(jīng)驗點(diǎn)據(jù)配合較好的曲線作為采用曲線，相應(yīng)于該曲線的參數(shù)便看作是總體參數(shù)的估值。 （6） 求指定頻率的水文變量設(shè)計值。,2統(tǒng)計參數(shù)對頻率曲線的影響 為了避免配線時調(diào)整參數(shù)的盲目性，必須了解皮爾遜型分布的統(tǒng)計參數(shù)對頻率曲線的影響。 固定皮爾遜型頻率曲線的兩個參數(shù)，改變第三個統(tǒng)計參數(shù)，可以使頻率曲線發(fā)生很大的變化。 （1）均值對頻率曲線的影響,統(tǒng)計參數(shù)對皮爾遜型曲線的影響,（2）變差系數(shù)Cv對頻率曲

13、線的影響 為了消除均值 的影響，我們以模比系數(shù)K為變量繪制頻率曲線。Cs=1.0。Cv=0時，隨機(jī)變量的取值都等于均值，此時頻率曲線即為k=1的一條水平線，隨著Cv的增大，頻率曲線的偏離程度也隨之增大，曲線顯得越來越陡。 （3）偏態(tài)系數(shù)Cs對頻率曲線的影響 正偏情況下，Cs愈大，均值對應(yīng)的頻率愈小，頻率曲線的中部愈向左偏，且上段愈陡，下段愈平緩。,二、優(yōu)化適線法 優(yōu)化適線法是在一定的適線準(zhǔn)則（即目標(biāo)函數(shù)）下，求解與經(jīng)驗點(diǎn)據(jù)擬合最優(yōu)的頻率曲線的統(tǒng)計參數(shù)的方法。 優(yōu)化適線法按不同的適線準(zhǔn)則分為三種，即 離差平方和最小準(zhǔn)則（OLS） 離差絕對值和最小準(zhǔn)則（ABS） 其中以離差平方和最小準(zhǔn)則（OLS）

14、最為常用。,解釋離差含義,離差平方和準(zhǔn)則的適線法又稱最小二乘估計法。頻率曲線統(tǒng)計參數(shù)的最小二乘估計是使經(jīng)驗點(diǎn)據(jù)和同頻率的頻率曲線縱坐標(biāo)之差的平方和達(dá)到極小。 對于皮爾遜III型曲線，使下列目標(biāo)函數(shù) 取極小值，即 式中 Q參數(shù)（ ） 頻率曲線的縱坐標(biāo)。,說明： 1.以離差平方和準(zhǔn)則的優(yōu)化適線法估計所得的參數(shù)，和目估適線法的結(jié)果比較接近。因此在以優(yōu)化適線估計參數(shù)時，最好用離差平方和準(zhǔn)則。 2.對適線法而言，影響參數(shù)估計精度的關(guān)鍵是樣本各項的經(jīng)驗頻率估計，特別是序號為1，2，3等項的經(jīng)驗頻率估計尤為重要。以期望公式估計的經(jīng)驗頻率是基于樣本處于平均情況的考慮，其抽樣誤差較大。但隨著樣本容量的增大，誤差

15、較小。 3.減小抽樣誤差最有效的途徑是增大樣本容量。,第五節(jié) 相關(guān)分析,一、相關(guān)關(guān)系的概念 1相關(guān)的意義與應(yīng)用 按數(shù)理統(tǒng)計法建立兩個或多個隨機(jī)變量之間的聯(lián)系，稱之為相關(guān)關(guān)系。把對這種關(guān)系的分析和建立稱為相關(guān)分析。 相關(guān)分析可以用來延長和插補(bǔ)短系列。 2相關(guān)的種類 根據(jù)變量之間相互關(guān)系的密切程度，變量之間的關(guān)系有三種情況：即完全相關(guān)、零相關(guān)、統(tǒng)計相關(guān)。 （簡相關(guān)、復(fù)相關(guān)）,3相關(guān)分析的內(nèi)容 相關(guān)分析（或回歸分析）的內(nèi)容一般包括三個方面： （1）判定變量間是否存在相關(guān)關(guān)系，若存在，計算 其相關(guān)系數(shù)，以判斷相關(guān)的密切程度； （2）確定變量間的數(shù)量關(guān)系回歸方程或相關(guān)線； （3）根據(jù)自變量的值，預(yù)報或延

16、長、插補(bǔ)倚變量的值。,二、簡直線相關(guān) 1.相關(guān)圖解法 設(shè)xi 和yi 代表兩系列的觀測值共有n對： 把對應(yīng)值點(diǎn)繪于方格紙上,得到很多相關(guān)點(diǎn).如果相關(guān)點(diǎn)的平均趨勢近似直線，即可通過點(diǎn)群中心繪出相關(guān)直線。,由 查相關(guān)圖即可得出 。,2.相關(guān)分析法 如果相關(guān)點(diǎn)據(jù)分布較散，目估定線存在一定的任意性。為此，最好采用分析法來確定相關(guān)線的方程。設(shè)直線方程的形式為： 觀測點(diǎn)與配合的直線在縱坐標(biāo)方向的離差： 要使直線擬合“最佳”，須使離差的平方和為“最小”，即 為極小值。,解得： 其中：,y倚x的回歸方程： x倚y的回歸方程：,3相關(guān)分析的誤差 回歸線的誤差 回歸線僅是觀測點(diǎn)據(jù)的最佳配合線，通常觀測點(diǎn)據(jù)并不完全

17、落在回歸線上，而是散布于回歸線的兩旁。 因此，回歸線只反映兩變量間的平均關(guān)系。按此關(guān)系由 推求的 和實際值之間存在著誤差，誤差大小一般采用均方誤來表示。,相關(guān)系數(shù)誤差 在相關(guān)分析中，相關(guān)系數(shù)是根據(jù)有限的實測資料（樣本）計算出來的，必然會有抽樣誤差。 相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計檢驗 總體不相關(guān)（r =0）的兩變量，由于抽樣原因，樣本的相關(guān)系數(shù)不一定等于零。為此，需要對相關(guān)系數(shù)進(jìn)行檢驗。 統(tǒng)計檢驗（略） 相關(guān)系數(shù)的機(jī)誤： 當(dāng) 時，則認(rèn)為相關(guān)系數(shù)存在。,插補(bǔ)延長系列時應(yīng)注意的問題： （1）變量間應(yīng)具有成因聯(lián)系。 （2）同期觀測資料不能太少。 （3）相關(guān)系數(shù)大于0.8,三、簡曲線相關(guān) 許多水文現(xiàn)象間的關(guān)系，并不表

18、現(xiàn)為直線關(guān)系而具有曲線相關(guān)的形式。水文上常采用冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)兩種曲線，基本作法是將其轉(zhuǎn)換為直線，再進(jìn)行直線回歸分析。,1冪函數(shù) 冪函數(shù)的一般形式為 兩邊取對數(shù) 令 則有 對X和Y而言就是直線關(guān)系，可對其作直線回歸分析。,2指數(shù)函數(shù) 指數(shù)函數(shù)的一般形式為 兩邊取對數(shù) 令 則有 對X和Y同樣也可作直線相關(guān)分析。,四、復(fù)相關(guān) 1圖解法 復(fù)相關(guān)的計算，在工程上采用圖解法選配相關(guān)線。,倚變量z 受自變量x 和y 兩變量的影響?？梢愿鶕?jù)實測點(diǎn)繪出z 與x 的對應(yīng)值于方格紙上，并在點(diǎn)旁注明y 值，然后做出y 值相等的y 等值線。這樣點(diǎn)繪出來的圖，就是復(fù)相關(guān)關(guān)系圖。 除圖所示的復(fù)直線相關(guān)圖外，還有復(fù)曲線相關(guān)

19、圖，它們在水文計算和水文預(yù)報中經(jīng)常會遇到。,2分析法 復(fù)相關(guān)計算除用圖解法以外，還可用分析法。分析法主要用于復(fù)直線相關(guān)分析（或稱復(fù)直線回歸分析、多元線性回歸分析）。 有關(guān)多個自變量的復(fù)直線回歸分析，其原理與前面介紹的簡直線（一元）回歸分析大致相同，所不同的是回歸直線方程中系數(shù)（回歸系數(shù)）的確定需要求解更為復(fù)雜的線性代數(shù)方程組。,本 章 小 結(jié) 水文統(tǒng)計包括頻率計算和相關(guān)分析兩部分內(nèi)容，是工程水文學(xué)的理論基礎(chǔ)和技術(shù)工具。 頻率計算主要用于水利水電工程的規(guī)劃和設(shè)計，可以把年降水量、年徑流量、年最大洪峰流量、年最小枯水流量等看作是隨機(jī)變量，求它們的頻率分布 - 頻率曲線，并以此作為總體概率分布的估計

20、。 頻率曲線的推求用適線法給經(jīng)驗頻率點(diǎn)群選配一條最佳的配合線。適線法需要選定一種線型，在我國主要采用皮爾遜III型曲線；經(jīng)驗頻率計算公式在我國主要采用數(shù)學(xué)期望公式。,矩法、三點(diǎn)法、權(quán)函數(shù)法等都是配線過程中初估統(tǒng)計參數(shù)的方法，不論采用哪一種初估方法，都不應(yīng)影響配線的最后結(jié)果。 頻率計算中有一些重要概念應(yīng)當(dāng)注意，它們是：總體、樣本，概率、頻率，頻率與重現(xiàn)期的關(guān)系，經(jīng)驗頻率曲線和理論頻率曲線，抽樣誤差，樣本參數(shù)的無偏估計值，頻率格紙，統(tǒng)計參數(shù)對頻率曲線的影響等。,相關(guān)分析又叫回歸分析，在水利水電工程規(guī)劃設(shè)計中常用于展延樣本系列以提高樣本的代表性，同時，也廣泛應(yīng)用于水文預(yù)報。 相關(guān)關(guān)系有直線相關(guān)、曲線相關(guān)，又有二變量、三變量和多變量相關(guān)（一元、二元和多元回歸）。 相關(guān)分析方法有圖解法和計算法兩種。不論哪種情況，相關(guān)分析都需要求出變量間關(guān)系的表達(dá)式或圖形，以及相關(guān)的密切程度。,小測驗,1、在流域徑流消退過程中，_退水速度最快。 （1）地表徑流 （2）壤中徑流 （3）地下徑流 2、某閉合流域多年平均雨量1100mm，多年平均徑流深400mm，則多年平均蒸發(fā)量為_mm. （1）400 （2） 700 （3）1500 3、如果平原地區(qū)的雨量站稀疏且分布不均勻，采用_計算面平均雨量比較合適。 （1）算術(shù)平均法 （2）加權(quán)平均法 （3）等雨深線圖法,4、城市化地區(qū)一般不采用直接由流量資料推