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文檔簡介
1、高三數(shù)學(xué)解析幾何復(fù)習(xí):曲線與方程人教實(shí)驗(yàn)版(B)【本講教育信息】一. 教學(xué)內(nèi)容:解析幾何復(fù)習(xí):曲線與方程二. 教學(xué)目的1、理解曲線的方程及方程的曲線的概念,掌握求曲線方程的幾種常見方法;2、理解坐標(biāo)法思想的本質(zhì)。三. 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)曲線的方程及方程的曲線的概念,求曲線方程的幾種常見方法;坐標(biāo)法思想的本質(zhì)及應(yīng)用。四. 知識分析【知識梳理】1、一般地,如果曲線C上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解,且以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上,那么,方程叫做曲線C的方程,曲線C叫做方程的曲線2、通過研究方程的性質(zhì)間接地來研究曲線性質(zhì),我們把這種借助坐標(biāo)系研究幾何圖形的方法叫做坐標(biāo)法3、平面解析幾何研究的兩個(gè)主要問題:(1
2、)根據(jù)已知條件,求出表示曲線的方程;(2)通過曲線的方程研究曲線的性質(zhì)4、求曲線方程的一般方法(五步法)求曲線(圖形)的方程,一般有下面幾個(gè)步驟:(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,用有序?qū)崝?shù)對表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo);(2)寫出適合條件p的點(diǎn)M的集合PM|:(3)用坐標(biāo)表示條件,列出方程;(4)化方程為最簡形式;(5)說明以化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上。5、求曲線的交點(diǎn) 由曲線方程的定義可知,兩條曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該是兩個(gè)曲線方程的公共解,即兩個(gè)曲線方程組成的方程組的實(shí)數(shù)解;反過來,方程組有幾個(gè)解,兩條曲線就有幾個(gè)交點(diǎn),方程組無解,兩條曲線就沒有交點(diǎn)也就是說兩條曲線有交點(diǎn)的充要條件是它們的方程所
3、組成的方程組有實(shí)數(shù)解可見,求曲線的交點(diǎn)問題,就是求由它們的方程所組成的方程組的實(shí)數(shù)解問題【要點(diǎn)解析】1、用直接法求曲線方程是解析幾何中最重要的方法在求解時(shí),如果題設(shè)條件中未給出坐標(biāo),要建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,選擇適當(dāng)坐標(biāo)系的原則是“避繁就簡”,一般地:(1)若條件中只出現(xiàn)一個(gè)定點(diǎn),常以該點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn);(2)若已知兩定點(diǎn),常以這兩定點(diǎn)的中點(diǎn)為原點(diǎn),以兩定點(diǎn)所在的直線為坐標(biāo)軸;(3)若已知兩條互相垂直的直線,常以它們?yōu)樽鴺?biāo)軸建立直角坐標(biāo)系;(4)若已知一定點(diǎn)和一定直線,常以定點(diǎn)到定直線的垂線段的中點(diǎn)為原點(diǎn),以點(diǎn)到直線的垂線的反向延長線為x軸建立直角坐標(biāo)系;(5)若已知定角常以定角的頂點(diǎn)為原點(diǎn),定角的平分
4、線為x軸建立直角坐標(biāo);(6)坐標(biāo)系建立的不同,同一曲線在不同坐標(biāo)系中的方程也不同,但它們始終表示同一曲線 2、求曲線軌跡方程的常用方法: (1)直接法:如果題目中的條件有明顯的等量關(guān)系或者可以推出某個(gè)等量關(guān)系,即可用求曲線方程的五個(gè)步驟直接求解(2)定義法:如果動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足某種已知曲線的定義,則可依定義寫出軌跡方程(3)代入法:如果動(dòng)點(diǎn)依賴于另一動(dòng)點(diǎn),而又在某已知曲線上,則可先列出關(guān)于的方程組,利用表示,把代入已知曲線方程即得所求(4)參數(shù)法:如果動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系不易找到,可考慮將用一個(gè)或幾個(gè)參數(shù)來表示,消去參數(shù)即得其軌跡方程(5)交軌法:寫出動(dòng)點(diǎn)所滿足的兩個(gè)軌跡方程后,組成方程組消參即
5、可得解,此法常適用于求兩動(dòng)直線交點(diǎn)的軌跡方程3、求曲線的方程與求軌跡是有不同要求的,若是求軌跡則不僅要求出方程,而且還需要說明和討論所求軌跡是什么樣的圖形,在何處,即圖形的形狀、位置、大小都需說明、討論清楚。求“軌跡”時(shí)首先要求出“軌跡方程”,然后再說明方程的軌跡圖形,最后“補(bǔ)漏”和“去掉增多”的點(diǎn),若軌跡有不同的情況,應(yīng)分別討論,以保證它的完整性4、描繪曲線的圖形要注意曲線范圍的研究及曲線的對稱性,或利用基本的曲線圖形【典型例題】 例1. (直接法求曲線方程)ABC的頂點(diǎn)A固定,點(diǎn)A的對邊BC的長是,邊BC上的高為b,邊BC沿一條定直線移動(dòng),求ABC外心的軌跡方程。解析:以BC所在定直線為x
6、軸,過A作x軸的垂線為y軸,建立直角坐標(biāo)系,則A點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,b),設(shè)ABC的外心為M(x,y)。作MNBC于N,則MN是BC的垂直平分線。|BC|=2a,|BN|=a,|MN|=|y|,又M是ABC的外心,M而,?;?,得所求軌跡方程為。點(diǎn)評:(1)本例是一道典型的用直接法求曲線方程的題目,難度中等,解本題的關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,充分利用三角形外心的性質(zhì)。(2)本例的易錯(cuò)處是利用列方程,而化簡后會(huì)發(fā)現(xiàn)得到的是一個(gè)恒等式,原因是在求的長度時(shí)已利用了|BM|=|CM|這個(gè)等量關(guān)系。(3)對于本例,在建立直角坐標(biāo)系時(shí),也可把BC邊所在定直線作為y軸,過A點(diǎn)與定直線垂直的直線作為x軸,此時(shí)方
7、程將有所變化。 例2. (代入法求曲線方程)已知ABC的頂點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為A(0,0),B(6,0),頂點(diǎn)C在曲線上運(yùn)動(dòng),求ABC重心的軌跡方程。解析:設(shè)G(x,y)為所求軌跡上任一點(diǎn),頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為,則由重心坐標(biāo)公式,得: 因?yàn)轫旤c(diǎn)C在曲線上,所以有整理,得:,即為所求軌跡方程。點(diǎn)評:(1)本例是求軌跡方程中的常見題型,難度適中,本題解法稱為代入法(或相關(guān)點(diǎn)法),此法適用于已知一動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,求另一動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的問題。(2)應(yīng)注意的是,本例中曲線上沒有與A,B共線的點(diǎn),因此,整理就得到軌跡方程;若曲線方程為,則應(yīng)去掉與A,B共線時(shí)所對應(yīng)的重心坐標(biāo)。 例3. (參數(shù)法求曲線方程)拋物線的
8、焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)(0,-1)作直線交拋物線于不同兩點(diǎn)A,B,以AF,BF為鄰邊作平行四邊形FARB,求頂點(diǎn)R的軌跡方程。解析:設(shè)直線:AB:y=kx-1,A(,),B(),R(x,y),由題意F(0,1)。由,可得。又AB和RF是平行四邊形的對角線,。而,消去k得。由于直線和拋物線交于不同兩點(diǎn),=,或?;颉m旤c(diǎn)R的軌跡方程為,且。點(diǎn)評:如果求軌跡的動(dòng)點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)之間的關(guān)系不易找到,也沒有相關(guān)信息可用時(shí),可先考慮將x,y用一個(gè)或幾個(gè)參數(shù)來表示,消去參數(shù)得軌跡方程,此法稱為參數(shù)法。參數(shù)法中常選變角、變斜率等為參數(shù)。注意參數(shù)的取值范圍對方程中的x和y范圍的影響。 例4. (2020廣東,18,
9、14分)設(shè)函數(shù)分別在、處取得極小值、極大值,平面上點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為、。該平面上動(dòng)點(diǎn)P滿足,點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于直線的對稱點(diǎn)。求:(1)點(diǎn)A、B的坐標(biāo);(2)動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程。解析:(1)對求導(dǎo)得,令y=解得。當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;所以在處取得極小值0,在處取得極大值4,即點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(-1,0)、(1,4)。(2)解法一:設(shè)P(x,y),則,故由即。所以P的軌跡是以C(0,2)為圓心,半徑為3的圓。點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于直線的對稱點(diǎn)。動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是一個(gè)以為圓心,半徑為3的圓,其中是點(diǎn)C(0,2)關(guān)于直線的對稱點(diǎn),即直線過的中點(diǎn),且與垂直,于是有即故動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程為。解法二:設(shè)P(x,y),則
10、,故由,即。(*)設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q(u,v),Q、P關(guān)于直線對稱,與直線l垂直,于是有。(1)因?yàn)镻Q的中點(diǎn)在l上,所以有。(2)由(1)、(2)可解得代入方程(*)得,化簡得:。故動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程為?!灸M試題】 1. 若ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別是(-1,0)和(2,0),而頂點(diǎn)A在直線上移動(dòng),則ABC的重心G的軌跡方程是A. B. C. D. 2. 已知點(diǎn)P(-1,2),點(diǎn)M在直線上運(yùn)動(dòng),Q是線段MP延長線上一點(diǎn),且|MP|=|PQ|,則Q點(diǎn)的軌跡方程是A. B. C. 0D. 3. 已知A(0,7),B(0,-7),C(12,2),以C為一個(gè)焦點(diǎn)作過A、B的橢圓,橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)
11、F的軌跡方程是A. B. C. D. 4. 設(shè),是橢圓的長軸兩個(gè)端點(diǎn),是垂直于的弦的端點(diǎn),則直線與交點(diǎn)的軌跡方程是A. B. C. D. 5. 已知點(diǎn)A(-2,0)、B(3,0),動(dòng)點(diǎn)P(x,y)滿足,則點(diǎn)P的軌跡是A. 圓B. 橢圓C. 雙曲線D. 拋物線 6. 已知兩定點(diǎn)A(-2,0),B(1,0),如果動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|=2|PB|,則點(diǎn)P的軌跡所包圍的面積等于A. B. C. D. 7. 已知兩點(diǎn)M(-2,0)、N(2,0),點(diǎn)P為坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),滿足,則動(dòng)點(diǎn)P(x,y)的軌跡方程為A. B. C. D. 8. 以下四個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題中設(shè)A,B為兩個(gè)定點(diǎn),k為非零常數(shù),若,則動(dòng)點(diǎn)
12、P的軌跡為雙曲線;過定圓C上一定點(diǎn)A作圓的動(dòng)弦AB,O為坐標(biāo)原點(diǎn),若,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓;方程的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率;雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)。其中真命題的序號為_(寫出所有真命題的序號)。 9. 已知A(0),B是圓F:=4(F為圓心)上一動(dòng)點(diǎn),線段AB的垂直平分線交BF于點(diǎn)P,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為_。 10. 如圖所示,平面中兩條直線和相交于點(diǎn)O,對于平面上任意一點(diǎn)M,若p、q分別是M到直線和的距離,則稱有序非負(fù)實(shí)數(shù)對(p、q)是點(diǎn)M的“距離坐標(biāo)”,根據(jù)上述定義,“距離坐標(biāo)”是(1,2)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是_。 11. (2020江西,21,12分)如圖所示,M是拋物線上上的一點(diǎn),
13、動(dòng)弦ME、MF分別交x軸于A、B兩點(diǎn),且MA=MB。(1)若M為定點(diǎn),證明:直線EF的斜率為定值;(2)若M為動(dòng)點(diǎn),且EMF=,求EMF的重心G的軌跡方程。 12. (2020江西,21,12分)如圖所示,橢圓Q:(0)的右焦點(diǎn)為F(c,0),過點(diǎn)F的一動(dòng)直線m繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng),并且交橢圓于A、B兩點(diǎn),P為線段AB的中點(diǎn)。(1)求點(diǎn)P的軌跡H的方程;(2)若在Q的方程中,令,。設(shè)軌跡H的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)分別為M和N,當(dāng)為何值時(shí),MNF為一個(gè)正三角形?試題答案 1. C 設(shè)A(,),G(x,y),則消去得,故選C。 2. D 設(shè)Q(x,y),則M(),代入并整理得,故選D。 3. A 由橢圓定義得點(diǎn)F的
14、軌跡是雙曲線的一支。故選A。 4. C 設(shè),則,則有即:,故選C。 5. D ,化簡,得,故選D。 6. C 設(shè)P(x,y),由|PA|=2|PB|,整理得,即,點(diǎn)P軌跡是以2為半徑的圓,所圍成的面積為,故選C。 7. B ,。從而有,即,平方化簡得,故選B。 8. 命題不一定符合雙曲線,雙曲線要求。取圓,A(),B(),由,即,代入圓的方程有。P點(diǎn)軌跡是圓。 9. 由題意:|PA|=|PB|=|BF|-|PF|,|PA|+|PF|=|BF|=。點(diǎn)P的軌跡是以A,F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓,長軸長為2,。方程為,即。 10. 4 “距離坐標(biāo)”是(1,2)的點(diǎn)為圖中、,共4個(gè)。 11. (1)設(shè)M(),直線ME的斜率為,則直線MF的斜率為,直線ME的方程為。由消x得。解得同理可得,(定值
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