高三數(shù)學(xué)解析幾何復(fù)習(xí)：曲線與方程人教實(shí)驗(yàn)版（B）知識(shí)精講（通用）

1、高三數(shù)學(xué)解析幾何復(fù)習(xí)：曲線與方程人教實(shí)驗(yàn)版（B）【本講教育信息】一. 教學(xué)內(nèi)容：解析幾何復(fù)習(xí)：曲線與方程二. 教學(xué)目的1、理解曲線的方程及方程的曲線的概念，掌握求曲線方程的幾種常見(jiàn)方法；2、理解坐標(biāo)法思想的本質(zhì)。三. 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)曲線的方程及方程的曲線的概念，求曲線方程的幾種常見(jiàn)方法；坐標(biāo)法思想的本質(zhì)及應(yīng)用。四. 知識(shí)分析【知識(shí)梳理】1、一般地，如果曲線C上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解，且以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上，那么，方程叫做曲線C的方程，曲線C叫做方程的曲線2、通過(guò)研究方程的性質(zhì)間接地來(lái)研究曲線性質(zhì)，我們把這種借助坐標(biāo)系研究幾何圖形的方法叫做坐標(biāo)法3、平面解析幾何研究的兩個(gè)主要問(wèn)題：（1

2、）根據(jù)已知條件，求出表示曲線的方程；（2）通過(guò)曲線的方程研究曲線的性質(zhì)4、求曲線方程的一般方法（五步法）求曲線（圖形）的方程，一般有下面幾個(gè)步驟：（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對(duì)表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）寫出適合條件p的點(diǎn)M的集合PM|：（3）用坐標(biāo)表示條件，列出方程；（4）化方程為最簡(jiǎn)形式；（5）說(shuō)明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上。5、求曲線的交點(diǎn) 由曲線方程的定義可知，兩條曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該是兩個(gè)曲線方程的公共解，即兩個(gè)曲線方程組成的方程組的實(shí)數(shù)解；反過(guò)來(lái)，方程組有幾個(gè)解，兩條曲線就有幾個(gè)交點(diǎn)，方程組無(wú)解，兩條曲線就沒(méi)有交點(diǎn)也就是說(shuō)兩條曲線有交點(diǎn)的充要條件是它們的方程所

3、組成的方程組有實(shí)數(shù)解可見(jiàn)，求曲線的交點(diǎn)問(wèn)題，就是求由它們的方程所組成的方程組的實(shí)數(shù)解問(wèn)題【要點(diǎn)解析】1、用直接法求曲線方程是解析幾何中最重要的方法在求解時(shí)，如果題設(shè)條件中未給出坐標(biāo)，要建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，選擇適當(dāng)坐標(biāo)系的原則是“避繁就簡(jiǎn)”，一般地：（1）若條件中只出現(xiàn)一個(gè)定點(diǎn)，常以該點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)；（2）若已知兩定點(diǎn)，常以這兩定點(diǎn)的中點(diǎn)為原點(diǎn)，以兩定點(diǎn)所在的直線為坐標(biāo)軸；（3）若已知兩條互相垂直的直線，常以它們?yōu)樽鴺?biāo)軸建立直角坐標(biāo)系；（4）若已知一定點(diǎn)和一定直線，常以定點(diǎn)到定直線的垂線段的中點(diǎn)為原點(diǎn)，以點(diǎn)到直線的垂線的反向延長(zhǎng)線為x軸建立直角坐標(biāo)系；（5）若已知定角常以定角的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，定角的平分

4、線為x軸建立直角坐標(biāo)；（6）坐標(biāo)系建立的不同，同一曲線在不同坐標(biāo)系中的方程也不同，但它們始終表示同一曲線 2、求曲線軌跡方程的常用方法： （1）直接法：如果題目中的條件有明顯的等量關(guān)系或者可以推出某個(gè)等量關(guān)系，即可用求曲線方程的五個(gè)步驟直接求解（2）定義法：如果動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可依定義寫出軌跡方程（3）代入法：如果動(dòng)點(diǎn)依賴于另一動(dòng)點(diǎn)，而又在某已知曲線上，則可先列出關(guān)于的方程組，利用表示，把代入已知曲線方程即得所求（4）參數(shù)法：如果動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系不易找到，可考慮將用一個(gè)或幾個(gè)參數(shù)來(lái)表示，消去參數(shù)即得其軌跡方程（5）交軌法：寫出動(dòng)點(diǎn)所滿足的兩個(gè)軌跡方程后，組成方程組消參即

5、可得解，此法常適用于求兩動(dòng)直線交點(diǎn)的軌跡方程3、求曲線的方程與求軌跡是有不同要求的，若是求軌跡則不僅要求出方程，而且還需要說(shuō)明和討論所求軌跡是什么樣的圖形，在何處，即圖形的形狀、位置、大小都需說(shuō)明、討論清楚。求“軌跡”時(shí)首先要求出“軌跡方程”，然后再說(shuō)明方程的軌跡圖形，最后“補(bǔ)漏”和“去掉增多”的點(diǎn)，若軌跡有不同的情況，應(yīng)分別討論，以保證它的完整性4、描繪曲線的圖形要注意曲線范圍的研究及曲線的對(duì)稱性，或利用基本的曲線圖形【典型例題】 例1. （直接法求曲線方程）ABC的頂點(diǎn)A固定，點(diǎn)A的對(duì)邊BC的長(zhǎng)是，邊BC上的高為b，邊BC沿一條定直線移動(dòng)，求ABC外心的軌跡方程。解析：以BC所在定直線為x

6、軸，過(guò)A作x軸的垂線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，則A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，b），設(shè)ABC的外心為M（x，y）。作MNBC于N，則MN是BC的垂直平分線。|BC|=2a，|BN|=a，|MN|=|y|，又M是ABC的外心，M而，?；?jiǎn)，得所求軌跡方程為。點(diǎn)評(píng)：（1）本例是一道典型的用直接法求曲線方程的題目，難度中等，解本題的關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，充分利用三角形外心的性質(zhì)。（2）本例的易錯(cuò)處是利用列方程，而化簡(jiǎn)后會(huì)發(fā)現(xiàn)得到的是一個(gè)恒等式，原因是在求的長(zhǎng)度時(shí)已利用了|BM|=|CM|這個(gè)等量關(guān)系。（3）對(duì)于本例，在建立直角坐標(biāo)系時(shí)，也可把BC邊所在定直線作為y軸，過(guò)A點(diǎn)與定直線垂直的直線作為x軸，此時(shí)方

7、程將有所變化。 例2. （代入法求曲線方程）已知ABC的頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A（0，0），B（6，0），頂點(diǎn)C在曲線上運(yùn)動(dòng)，求ABC重心的軌跡方程。解析：設(shè)G（x，y）為所求軌跡上任一點(diǎn)，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為，則由重心坐標(biāo)公式，得： 因?yàn)轫旤c(diǎn)C在曲線上，所以有整理，得：，即為所求軌跡方程。點(diǎn)評(píng)：（1）本例是求軌跡方程中的常見(jiàn)題型，難度適中，本題解法稱為代入法（或相關(guān)點(diǎn)法），此法適用于已知一動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，求另一動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的問(wèn)題。（2）應(yīng)注意的是，本例中曲線上沒(méi)有與A，B共線的點(diǎn)，因此，整理就得到軌跡方程；若曲線方程為，則應(yīng)去掉與A，B共線時(shí)所對(duì)應(yīng)的重心坐標(biāo)。 例3. （參數(shù)法求曲線方程）拋物線的

8、焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)（0，-1）作直線交拋物線于不同兩點(diǎn)A，B，以AF，BF為鄰邊作平行四邊形FARB，求頂點(diǎn)R的軌跡方程。解析：設(shè)直線：AB：y=kx-1，A（，），B（），R（x，y），由題意F（0，1）。由，可得。又AB和RF是平行四邊形的對(duì)角線，。而，消去k得。由于直線和拋物線交于不同兩點(diǎn)，=，或?；颉ｍ旤c(diǎn)R的軌跡方程為，且。點(diǎn)評(píng)：如果求軌跡的動(dòng)點(diǎn)P（x，y）的坐標(biāo)之間的關(guān)系不易找到，也沒(méi)有相關(guān)信息可用時(shí)，可先考慮將x，y用一個(gè)或幾個(gè)參數(shù)來(lái)表示，消去參數(shù)得軌跡方程，此法稱為參數(shù)法。參數(shù)法中常選變角、變斜率等為參數(shù)。注意參數(shù)的取值范圍對(duì)方程中的x和y范圍的影響。 例4. （2020廣東，18，

9、14分）設(shè)函數(shù)分別在、處取得極小值、極大值，平面上點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為、。該平面上動(dòng)點(diǎn)P滿足，點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)。求：（1）點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；（2）動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程。解析：（1）對(duì)求導(dǎo)得，令y=解得。當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在處取得極小值0，在處取得極大值4，即點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（-1，0）、（1，4）。（2）解法一：設(shè)P（x，y），則，故由即。所以P的軌跡是以C（0，2）為圓心，半徑為3的圓。點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)。動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是一個(gè)以為圓心，半徑為3的圓，其中是點(diǎn)C（0，2）關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，即直線過(guò)的中點(diǎn)，且與垂直，于是有即故動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程為。解法二：設(shè)P（x，y），則

10、，故由，即。（*）設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q（u，v），Q、P關(guān)于直線對(duì)稱，與直線l垂直，于是有。（1）因?yàn)镻Q的中點(diǎn)在l上，所以有。（2）由（1）、（2）可解得代入方程（*）得，化簡(jiǎn)得：。故動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程為。【模擬試題】 1. 若ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別是（-1，0）和（2，0），而頂點(diǎn)A在直線上移動(dòng)，則ABC的重心G的軌跡方程是A. B. C. D. 2. 已知點(diǎn)P（-1，2），點(diǎn)M在直線上運(yùn)動(dòng)，Q是線段MP延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且|MP|=|PQ|，則Q點(diǎn)的軌跡方程是A. B. C. 0D. 3. 已知A（0，7），B（0，-7），C（12，2），以C為一個(gè)焦點(diǎn)作過(guò)A、B的橢圓，橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)

11、F的軌跡方程是A. B. C. D. 4. 設(shè)，是橢圓的長(zhǎng)軸兩個(gè)端點(diǎn)，是垂直于的弦的端點(diǎn)，則直線與交點(diǎn)的軌跡方程是A. B. C. D. 5. 已知點(diǎn)A（-2，0）、B（3，0），動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足，則點(diǎn)P的軌跡是A. 圓B. 橢圓C. 雙曲線D. 拋物線 6. 已知兩定點(diǎn)A（-2，0），B（1，0），如果動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|=2|PB|，則點(diǎn)P的軌跡所包圍的面積等于A. B. C. D. 7. 已知兩點(diǎn)M（-2，0）、N（2，0），點(diǎn)P為坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿足，則動(dòng)點(diǎn)P（x，y）的軌跡方程為A. B. C. D. 8. 以下四個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題中設(shè)A，B為兩個(gè)定點(diǎn)，k為非零常數(shù)，若，則動(dòng)點(diǎn)

12、P的軌跡為雙曲線；過(guò)定圓C上一定點(diǎn)A作圓的動(dòng)弦AB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓；方程的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)。其中真命題的序號(hào)為_(kāi)（寫出所有真命題的序號(hào)）。 9. 已知A（0），B是圓F：=4（F為圓心）上一動(dòng)點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交BF于點(diǎn)P，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為_(kāi)。 10. 如圖所示，平面中兩條直線和相交于點(diǎn)O，對(duì)于平面上任意一點(diǎn)M，若p、q分別是M到直線和的距離，則稱有序非負(fù)實(shí)數(shù)對(duì)（p、q）是點(diǎn)M的“距離坐標(biāo)”，根據(jù)上述定義，“距離坐標(biāo)”是（1，2）的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是_。 11. （2020江西，21，12分）如圖所示，M是拋物線上上的一點(diǎn)，

13、動(dòng)弦ME、MF分別交x軸于A、B兩點(diǎn)，且MA=MB。（1）若M為定點(diǎn)，證明：直線EF的斜率為定值；（2）若M為動(dòng)點(diǎn)，且EMF=，求EMF的重心G的軌跡方程。 12. （2020江西，21，12分）如圖所示，橢圓Q：（0）的右焦點(diǎn)為F（c，0），過(guò)點(diǎn)F的一動(dòng)直線m繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng)，并且交橢圓于A、B兩點(diǎn)，P為線段AB的中點(diǎn)。（1）求點(diǎn)P的軌跡H的方程；（2）若在Q的方程中，令，。設(shè)軌跡H的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)分別為M和N，當(dāng)為何值時(shí)，MNF為一個(gè)正三角形？試題答案 1. C 設(shè)A（，），G（x，y），則消去得，故選C。 2. D 設(shè)Q（x，y），則M（），代入并整理得，故選D。 3. A 由橢圓定義得點(diǎn)F的

14、軌跡是雙曲線的一支。故選A。 4. C 設(shè)，則，則有即：，故選C。 5. D ，化簡(jiǎn)，得，故選D。 6. C 設(shè)P（x，y），由|PA|=2|PB|，整理得，即，點(diǎn)P軌跡是以2為半徑的圓，所圍成的面積為，故選C。 7. B ，。從而有，即，平方化簡(jiǎn)得，故選B。 8. 命題不一定符合雙曲線，雙曲線要求。取圓，A（），B（），由，即，代入圓的方程有。P點(diǎn)軌跡是圓。 9. 由題意：|PA|=|PB|=|BF|-|PF|，|PA|+|PF|=|BF|=。點(diǎn)P的軌跡是以A，F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2，。方程為，即。 10. 4 “距離坐標(biāo)”是（1，2）的點(diǎn)為圖中、，共4個(gè)。 11. （1）設(shè)M（），直線ME的斜率為，則直線MF的斜率為，直線ME的方程為。由消x得。解得同理可得，（定值