第3章 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)

1、1,第三章 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué),第一節(jié) 概述 第二節(jié) 機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)基本問(wèn)題 第三節(jié) 機(jī)器人的雅可比矩陣,2,第一節(jié) 概述,常見(jiàn)的機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題可歸納如下： 1對(duì)一給定的機(jī)器人，已知桿件幾何參數(shù)和關(guān)節(jié)角矢量求機(jī)器人末端執(zhí)行器相對(duì)于參考坐標(biāo)系的位置和姿態(tài)。 2已知機(jī)器人桿件的幾何參數(shù)，給定機(jī)器人末端執(zhí)行器相對(duì)于參考坐標(biāo)系的期望位置和姿態(tài) (位姿)，機(jī)器人能否使其末端執(zhí)行器達(dá)到這個(gè)預(yù)期的位姿？如能達(dá)到，那么機(jī)器人有幾種不同形態(tài)可滿足同樣的條件?,3,第一個(gè)問(wèn)題常稱為運(yùn)動(dòng)學(xué)正問(wèn)題(直接問(wèn)題); 第二個(gè)問(wèn)題常稱為運(yùn)動(dòng)學(xué)逆問(wèn)題(解臂形問(wèn)題)。這兩個(gè)問(wèn)題是機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)中的基本問(wèn)題。,4,第二節(jié) 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)的

2、基本問(wèn)題,一、運(yùn)動(dòng)學(xué)基本問(wèn)題 圖31所示為2自由度機(jī)器人手部的連桿機(jī)構(gòu)。,5,圖中的連桿機(jī)構(gòu)是兩桿件通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)副聯(lián)接的關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu)，通過(guò)確定連桿長(zhǎng)度，以及關(guān)節(jié)角，可以定義該連桿機(jī)構(gòu)。在分析機(jī)器人的末端手爪的運(yùn)動(dòng)時(shí)，若把作業(yè)看作主要依靠機(jī)器人手爪來(lái)實(shí)現(xiàn)的，則應(yīng)考慮手爪的位置（圖中點(diǎn)的位置）。一般場(chǎng)合中，手爪 姿勢(shì)也表示手指位置。從 幾何學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)處理這個(gè) 手指位置與關(guān)節(jié)變量的關(guān) 系稱為運(yùn)動(dòng)學(xué)（Kinematics）。,6,引入向量分別表示手爪位置和關(guān)節(jié)變量， 因此，利用上述兩個(gè)向量來(lái)描述一下 這個(gè)2自由度機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題。 手爪位置的各分量，按幾何學(xué)可表示為：,(3-1),(3-2),7,用向量表示

3、這個(gè)關(guān)系式，其一般可表示為 式中 表示向量函數(shù)。已知機(jī)器人的關(guān)節(jié)變量 ，求其手爪位置的運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題稱為正運(yùn)動(dòng)學(xué)（direct kinematics）。該公式被稱為運(yùn)動(dòng)方程式。如果，給定機(jī)器人的手爪位置，求為了到達(dá)這個(gè)預(yù)定的位置，機(jī)器人的關(guān)節(jié)變量的運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題稱為逆運(yùn)動(dòng)學(xué)（inverse kinematics）。其運(yùn)動(dòng)方程式可以通過(guò)以下分析得到。,(3-3),8,如圖所示，根據(jù)圖中描述的幾何學(xué)關(guān)系，可得,式中,(3-4),(3-5),(3-6),9,同樣，如果用向量表示上述關(guān)系式，其一般可表示為,如圖所示，機(jī)器人到達(dá)給定的手爪位置 r,有兩個(gè)姿態(tài)滿足要求，即圖中的 也是其解。 這時(shí) 和 變成為另外的

4、值。 即逆運(yùn)動(dòng)學(xué)的解不是惟一的， 可以有多個(gè)解。,(3-7),10,二、機(jī)器人位置與關(guān)節(jié)變量的關(guān)系,1表示方法 以手爪位置與關(guān)節(jié)變量之間的關(guān)系為例，要想正確表示機(jī)器人的手爪位置和姿態(tài)，就要首先建立坐標(biāo)系，如圖33所示，應(yīng)分別定義固定機(jī)器人的基座和手爪的坐標(biāo)系，這樣才能很好地描述它們之間的位置和姿態(tài)之間的關(guān)系。,11,圖33 基準(zhǔn)坐標(biāo)系和手爪坐標(biāo)系,基準(zhǔn)坐標(biāo)系,固定在基座上,手爪坐標(biāo)系 ，固定在手爪上,12,2姿態(tài)的變換矩陣 如圖34所示，給出原點(diǎn)重合的兩坐標(biāo)系,則假設(shè)點(diǎn) P 的位置p 向量的分量在兩坐標(biāo)系中分別表示為,13,則從 向 的變換為：,其中：,它是從 坐標(biāo)向坐標(biāo)進(jìn)行位置向 量姿態(tài)變換

5、的矩陣，稱為姿態(tài)變換矩陣（或旋轉(zhuǎn)矩陣）。,14,為了加深印象，現(xiàn)在分析如圖35所示坐標(biāo)系 ，它是將 圍繞 Z軸沿正方向旋轉(zhuǎn)角 后構(gòu)成的坐標(biāo)系。,圖35 兩個(gè)坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換,因此，在坐標(biāo)系 上表示的坐標(biāo) 與在將坐標(biāo)系 繞Z軸沿正方向旋轉(zhuǎn)角得到的坐標(biāo)系 上表示的坐標(biāo) 之間，存在下列關(guān)系式：,15,由上面知從 坐標(biāo)系向坐標(biāo)系 的坐標(biāo)變換矩陣為：,16,因?yàn)樯鲜鲎儞Q是把某一坐標(biāo)系上表示的坐標(biāo)，表示到另一坐標(biāo)系中，因此有時(shí)也稱它為坐標(biāo)變換。在該例子中是從 坐標(biāo)系向坐標(biāo)系 的坐標(biāo)變換，由于坐標(biāo)系 是 圍繞Z軸旋轉(zhuǎn)角后構(gòu)成的坐標(biāo)系，則該坐標(biāo)變換矩陣也可用 來(lái)表示,17,同理，上述例子中，當(dāng)考慮圍繞著

6、x軸旋轉(zhuǎn)時(shí)（設(shè)其旋轉(zhuǎn)量為），可得到如下關(guān)系式：,另外，當(dāng)圍繞著軸y旋轉(zhuǎn)時(shí)（設(shè)其旋轉(zhuǎn)量為），可表示為如下關(guān)系式,18,可以驗(yàn)證,該矩陣為單位矩陣式中*表示 x、y 、z中的任何一個(gè)。所以有下列等式成立 在分析機(jī)器人運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)只用圍繞一個(gè)軸旋轉(zhuǎn)不能表示時(shí)，可以通過(guò)圍繞幾個(gè)軸同時(shí)旋轉(zhuǎn)的組合方式進(jìn)行表示。,均滿足,19,3齊次變換,前面討論了機(jī)器人在進(jìn)行旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)的坐標(biāo)變換，一般來(lái)說(shuō)，機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)不僅是旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，有時(shí)要做平行移動(dòng)，或以上兩種運(yùn)動(dòng)的合成，因此也應(yīng)考慮平移運(yùn)動(dòng)時(shí)的坐標(biāo)變換，即齊次變換。,20,現(xiàn)在來(lái)看下圖的兩個(gè)坐標(biāo)系，坐標(biāo)系 是將坐標(biāo)系 單獨(dú)地平行移動(dòng) 后，再進(jìn)行適當(dāng)?shù)匦D(zhuǎn)得到的坐標(biāo)系。,

7、21,這時(shí)，某一點(diǎn)P其在坐標(biāo)系 和 上的坐標(biāo)分別為p 1 、p2 ，可以認(rèn)為 p 1 是由p2旋轉(zhuǎn)而進(jìn)行坐標(biāo)變換后，即乘以旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換 R，在加上表示平移的向量 p0而得到的，因此可寫(xiě)出下列表達(dá)式：,22,因旋轉(zhuǎn)而進(jìn)行的坐標(biāo)變換，與因平移而進(jìn)行的坐標(biāo)變換，可以用一個(gè)坐標(biāo)變換矩陣來(lái)表示，記為A ，稱這個(gè)矩陣 A為齊次坐標(biāo)變換矩陣，或簡(jiǎn)稱為坐標(biāo)變換矩陣，表示為：,23,三、機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)的一般表示,前面所介紹的是任意兩個(gè)坐標(biāo)系之間的坐標(biāo)變換，我們知道，機(jī)器人一般是有多個(gè)關(guān)節(jié)組成的，各關(guān)節(jié)之間的坐標(biāo)變換可以通過(guò)坐標(biāo)變換相乘后，結(jié)合在一起進(jìn)行求解。如前所述，可以把機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)模型看作是一系列由關(guān)節(jié)連接

8、起來(lái)的連桿機(jī)構(gòu)。一般機(jī)器人具有個(gè)自由度，為了分析其運(yùn)動(dòng)，可將上述方法擴(kuò)展一下。,24,通常把描述一個(gè)連桿與下一個(gè)連桿間相對(duì)關(guān)系的齊次變換稱為A矩陣。一個(gè)A矩陣就是一個(gè)描述連桿坐標(biāo)系間相對(duì)平移和旋轉(zhuǎn)的齊次變換。如果用 表示第一個(gè)連桿在基系的位置和姿態(tài)， 表示第二個(gè)連桿相對(duì)第一個(gè)連桿的位置和姿態(tài)，那么第二個(gè)連桿在基系的位置和姿態(tài)可由下列矩陣的乘積求得,25,同理，若 表示第三個(gè)連桿相對(duì)第二個(gè)連桿的位置和姿態(tài)，那么第三個(gè)連桿在基系的位置和姿態(tài)可由下列矩陣的乘積求得,26,于是，對(duì)于六連桿的機(jī)器人，有下列矩陣 成立 一般，每個(gè)連桿有一個(gè)自由度，則六連桿組成的機(jī)器人具有六個(gè)自由度，并能在其運(yùn)動(dòng)范圍內(nèi)任意

9、定位與定向。其中，三個(gè)自由度用于規(guī)定位置，另外三個(gè)自由度用來(lái)規(guī)定姿態(tài)。所以，表示了機(jī)器人的位置和姿態(tài)。,27,對(duì)于具有n個(gè)關(guān)節(jié)的機(jī)器人，若設(shè)坐標(biāo)系 為固定在指尖上的坐標(biāo)系時(shí)，則從坐標(biāo)系 到基準(zhǔn)坐標(biāo)系 的坐標(biāo)變換矩陣T可由下式給出： T 不僅是從 坐標(biāo)系到坐標(biāo)系 的坐標(biāo)變換，而且同時(shí)還可以解釋為在基準(zhǔn)坐標(biāo)系 上看到的表示指尖位置和方向的矩陣。,28,四、機(jī)器人運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的示例,1機(jī)器人正運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題 機(jī)器人正運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題就是求機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)的正解（forward kinematics），即在給定組成運(yùn)動(dòng)副的相鄰連桿的相對(duì)位置情況下，確定機(jī)器人末端執(zhí)行器的位置和姿態(tài)。通過(guò)上述分析可知，運(yùn)動(dòng)學(xué)正解可用一個(gè)反

10、映此相對(duì)關(guān)系的變換矩陣來(lái)表示，這里一般是指開(kāi)式鏈的機(jī)器人結(jié)構(gòu)。,29,以一個(gè)6自由度的機(jī)器人為例，如圖所示，在該機(jī)器人中，除第3個(gè)關(guān)節(jié)為平移關(guān)節(jié)外，其余均為旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)。,30,對(duì)于這個(gè)機(jī)器人，根據(jù)圖中表示的坐標(biāo)系 為基準(zhǔn)坐標(biāo)系，正運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題就是求該機(jī)器人末端手指關(guān)節(jié)6的位置和姿態(tài)，也就是在基準(zhǔn)坐標(biāo)系上看關(guān)節(jié)6，因此找出由 到 的坐標(biāo)變換矩陣T即可。也就是表示這個(gè)機(jī)器人的末端指尖的位置和方向，可以由下式給出：,31,其中,32,33,34,上式即為該6自由度機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解。對(duì)于不同類型的機(jī)器人，其坐標(biāo)變換矩陣的形式不同，要根據(jù)實(shí)際結(jié)構(gòu)求得。,35,2機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué),機(jī)器人的逆解問(wèn)題比較復(fù)雜，為

11、了說(shuō)明問(wèn)題，下面先以2自由度的機(jī)器人為例。 如圖所示，已知機(jī)器人末端的坐標(biāo)值（x,y） ，試?yán)?x,y表示 2,36,根據(jù)圖中的幾何關(guān)系可知：,（338）,（339）,37,聯(lián)立求解上述兩方程，可分別求出 的表達(dá)式。,因此可進(jìn)一步得到：,將該式代入前面的幾何表達(dá)式就可求出的 表達(dá)式。,38,從機(jī)器人的手爪末端位置姿態(tài)出發(fā)，可以求出機(jī)器人對(duì)應(yīng)的各關(guān)節(jié)的角度。該例的機(jī)器人是屬于平面多關(guān)節(jié)機(jī)器人，對(duì)于一般的機(jī)械手來(lái)講，其求解過(guò)程比較復(fù)雜，往往其解不是唯一的。請(qǐng)有興趣的愛(ài)好者參考相關(guān)的文獻(xiàn)書(shū)籍。,39,第三節(jié) 機(jī)器人的雅可比矩陣,一、雅可比矩陣的定義 前面討論了機(jī)器人的指尖位置和方向與各關(guān)節(jié)的變化位

12、置之間的關(guān)系。在本節(jié)將進(jìn)一步討論指尖的速度與各關(guān)節(jié)的速度（轉(zhuǎn)動(dòng)或平移）之間的關(guān)系。 考慮機(jī)械手的手爪位置r和關(guān)節(jié)變量的關(guān)系用正運(yùn)動(dòng)學(xué)方程表示如下：,40,假定這里考慮的是,的一般情況，并設(shè)手爪位置包含表示姿態(tài)的變量，以及關(guān)節(jié)變量由回轉(zhuǎn)角和平移組合而成的情況。,（355）,41,若用每個(gè)分量表示，則變?yōu)?在 的情況下，將變?yōu)槭肿ξ恢玫年P(guān)節(jié)變量有無(wú)限個(gè)解的冗余機(jī)器人。而工業(yè)上常用的多關(guān)節(jié)機(jī)器人手臂，通常用于作業(yè)的所需手爪應(yīng)有3個(gè)位置變量和3個(gè)姿態(tài)變量，總計(jì)6個(gè)變量。而且由于不采用冗余機(jī)器人結(jié)構(gòu)，所以,42,將式（355）的兩邊對(duì)時(shí)間微分，可得到下式,（357）,其中,（358）,43,稱 為雅可比

13、矩陣（Jacobian matrix）。若在式（357）的兩邊乘以微小時(shí)間 ，則可得到,（359）,該式是用雅可比矩陣表示微小位移間關(guān)系的關(guān)系式。,44,二、與平移速度相關(guān)的雅可比矩陣,現(xiàn)在設(shè)基準(zhǔn)坐標(biāo)系為 ，固定于指尖的坐標(biāo)系為 ，在 上表示的的坐標(biāo)為 ，則 可以表示如下：,（360）,45,這時(shí)，指尖的平移速度可以寫(xiě)成：,（361）,式中， ，其中 是關(guān)節(jié)的數(shù)目。這里的 稱為與平移速度相關(guān)的雅可比矩陣。,46,下面以2自由度機(jī)械手為例，如前面圖32所示的2自由度機(jī)械手的雅可比矩陣。前面已推導(dǎo)過(guò)，該機(jī)器人的指尖位置可以表示為,47,則與這個(gè)機(jī)器人的平移速度相關(guān)的雅可比矩陣，可以下列形式給出：,

14、（363）,48,現(xiàn)在，我們來(lái)討論一下 的各列向量的幾何學(xué)意義，即在 時(shí)，考慮 ， 的幾何學(xué)意義。根據(jù)式（363）， 是在時(shí) ，也就是第2關(guān)節(jié)固定時(shí)，僅在第1關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)的情況下，指尖平移速度在基準(zhǔn)坐標(biāo)系上表示出的向量。 同樣， 是第1關(guān)節(jié)固定時(shí)，僅在第2關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)的情況下，指尖平移速度在基準(zhǔn)坐標(biāo)系上表示出的向量。,49,因此，當(dāng)用圖表示 和 時(shí)，就變成了如圖所示的情況。,圖39 和 的幾何學(xué)說(shuō)明,50,三、與旋轉(zhuǎn)速度相關(guān)的雅可比矩陣,一般來(lái)講，指尖的旋轉(zhuǎn)速度表示方法，有以下兩種類型：,1考慮由表示指尖方向的三變量組合（例如為歐拉角）構(gòu)成向量 ，然后由它對(duì)時(shí)間的微分 進(jìn)行表示的一種方法。 2以基準(zhǔn)坐

15、標(biāo)系的各坐標(biāo)軸作為旋轉(zhuǎn)軸，以分別圍繞各旋轉(zhuǎn)軸的角速度作為分量構(gòu)成向量 ，然后用 進(jìn)行表示的方法。,51,在第二種表示方法中，可以把 解釋為在基準(zhǔn)坐標(biāo)系上，圍繞x軸，y軸和 z軸的旋轉(zhuǎn)速度的合成，因?yàn)槲锢硪饬x明確。這時(shí)，公式,（364）,其中矩陣JA稱為與旋轉(zhuǎn)速度相關(guān)的雅可比矩陣。,52,四、雅可比矩陣的計(jì)算方法,考慮一般情況，如六維向量，它可以指尖的平移速度和旋轉(zhuǎn)速度作為其向量的分量，即,（365）,這時(shí)，若采用 和 表示機(jī)器人的雅可比矩陣，則表示,（366）,53,這里，為了計(jì)算雅可比矩陣中的各分量，需對(duì)進(jìn)一步作下列分割,式中，n為機(jī)器人的關(guān)節(jié)數(shù)， 和 分別表示 和 的第個(gè)列向量。而 和 則分別表示只有第i個(gè)關(guān)節(jié)以速度 運(yùn)行，其他的關(guān)節(jié)都固定時(shí)的指尖平移速度向量和旋轉(zhuǎn)速度向量。,（367）,54,這時(shí)， 和 可以求解如下： 第 個(gè)關(guān)節(jié)為平移關(guān)節(jié)時(shí) 第 個(gè)關(guān)節(jié)為旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)時(shí),（368）,（369）,55,式中， 是第i關(guān)節(jié)的運(yùn)行軸方向，在基準(zhǔn)坐標(biāo)系上表示的單位向量。 是從固定在第i關(guān)節(jié)上的坐標(biāo)系 的原點(diǎn)，到指尖的位置向量，在基準(zhǔn)坐標(biāo)系上表示的向量，如圖310所示。,圖310 與,56,此外，如果 表示向量的外積，則可以進(jìn)行下列計(jì)算：,（370）,57,如