大學高數(shù)課件 6.6第六節(jié)方向導數(shù)與梯度

1、第六節(jié) 方向導數(shù)與梯度,一、方向導數(shù)的定義,二、梯度的概念,一、方向導數(shù)的定義,t 表示點 P 到點 Q 的有向距離,當 Q 沿著 l 趨于 P 時,是否存在？,1、方向導數(shù)的定義,函數(shù) f ( x , y ) 在點 P 沿著 x 軸正向 、y 軸正向 的方向導數(shù)分別為：fx , fy .,沿著 x 軸、y 軸負向的方向導數(shù)分別是：fx , fy .,說明: 函數(shù)在一點可偏導, 未必可推出函數(shù)在該點處沿各方向的方向導數(shù)存在.,2、方向導數(shù)的計算,函數(shù)可微是方向導數(shù)存在的充分不必要條件.,證明,由于函數(shù)可微, 則全增量可表示為：,解,所求方向導數(shù),3、推廣可得三元函數(shù)方向導數(shù)的定義,若u=f(x

2、,y,z) 在P0(x0,y0,z0)可微時,則函數(shù)在該點沿任意方向的方向導數(shù)都存在.,二、梯度的概念 1、定義,定點 P 處有無窮多個方向, 函數(shù) f ( x , y )在該點沿哪個方向的方向導數(shù)最大? 最大值為多少?,定義 設函數(shù)z=f(x,y)在點P0(x0,y0)可微, 稱向量,為函數(shù)z=f(x,y)在點P0(x0, y0) 處的梯度(gradient) ,記為 grad f (x0,y0)或 f (x0,y0).,方向：f (x,y) 變化率最大的方向,模: f (x,y) 的最大變化率之值,2、方向導數(shù)與梯度的關系,1) 函數(shù)在某點沿梯度方向的方向導數(shù)最大且最大值為梯度的模:,2)

3、 z=f ( x , y )在點( x , y )處沿 f ( x , y )方向的方向導數(shù)最小,為 |f |；沿垂直于梯度f ( x , y )方向的方向導數(shù)等于零.,3) z=f (x, y)在點 P0 沿方向 的方向導數(shù)等于梯度在方向 上的投影.,3、梯度的概念可以推廣到三元函數(shù),若三元函數(shù)u=f(x,y,z)在點P0(x0,y0,z0)可微, 則,類似于二元函數(shù), 此梯度也是一個向量, 其方向與取得最大方向導數(shù)的方向一致,其模為方向導數(shù)的最大值.,解,解,解,4、梯度應用實例,例5 設某金屬板上電壓分布為 V=50 2x2 4y2, (1) 在點(1, 2) 處,沿哪個方向電壓升高最快? (2) 沿哪個方向電壓下降最快? (3) 上升或下降的最大數(shù)率是多少? (4) 沿哪個方向電壓變化得最慢?,*5. 梯度的基本運算公式,(Page98 ex7),三、物理意義,函數(shù),數(shù)量場 (數(shù)量值函數(shù)),場,向量場(向量值函數(shù)),可微函數(shù) f ( P ),梯度場 grad f ( P ),( 勢 ),如: 溫度場, 電位場等,如: 力場,速度場等,(向量場),注意: 任意一個向量場不一定是梯度場.,1、方向導數(shù)的概念,2、梯度的概念,3、方向導數(shù)與梯度的關系,