平行四邊形的判定的綜合練習

1、平面幾何多解的方法與技巧,初中幾何專題復(fù)習課,授課教師：恩平市東成中學 吳根鋒,通過學習，讓學生在證明幾何題時能用添加輔助線的方法進行一題多解。,學 習 目 標,重點與難點,讓學生掌握添加輔助線的方法與技巧。,2,課前回顧,練習1、已知AE是ABC中BAC的角平分線，且AE/DF,如圖（1） 求證：AF=AG,證明：DF/AE EACF(兩直線平行，同位角相等）， EAGAGF（兩直線平行，內(nèi)錯角相等） AE是BAC的角平分線 EACEAG FAGF (等量代換） AF=AG,圖（1）,練習2、如圖（2）所示，AF=AG，D是BC的中點。 證明:BG=CF,H,D是BC的中點， FGAF DG

2、是BCH的中位線 HCA=H BG=GH, AH=AC CH/DF, GH=CF HCAF, BG=CF FGAH 又AF=AG,證明:,過點C作直線CH使CH/DF交BA的延長線于 H，連接CH.如圖（2）.,圖（2）,多解初探,例題：在ABC中，AE為BAC的角平分線,D為BC的中點， 過D作平行于AE的直線交CA于F，交AB于G。如圖（3）所示。 求證：CF=BG。,分析：（要證線段,會聯(lián)想到證明兩個 三角形全等，但由已知圖形 圖（3） 顯然不行，所以我們會聯(lián)想到 添加輔助線，如何添加呢? ）,方法一：過B直線BH,使BH/CF,交 FD的延長線于H，如圖（3）,H,可證DBH和DCF全

3、等得BH=CF,由已知可證 GBH為等腰三角形，得BH=BG,所以CF=BG.,圖（3）,方法二：如果過點C作直線CH,使CH/AB,交FD的延長線于H,如圖（4）， 能否用同樣的道理證明CF=BG?,方法三：過點B、C分別向FD作垂線， 垂足分別為H、K,如圖（5），讓學生 自己找出先證哪兩個三角形全等， 再證哪哪兩個全等即可？,H,K,H,圖（4）,圖（5）,探索多解方法與技巧,第一組：要求添加輔助線后出現(xiàn)三角形的中位線。并利用中位線性質(zhì)定理進行證明。,第二組：要求添加輔助線后使三角形（四邊形）成為等腰三角形（等腰梯形）,并利用它的性質(zhì)或定理進行證明。,第三組：要求添加輔助線后出現(xiàn)平行四邊

4、形。并利用平行四邊形的性質(zhì)或定理進行證明。,第四組：要求添加輔助線后出現(xiàn)直角三角形。并利用三角函數(shù)中解直角三角形進行證明。,過D點作直線DH使DH/CF,交AB于H,則DH是BAC底邊AC的中位線。如圖（6）。同理圖（7）中DH也是中位線。并利用練習1結(jié)論證明。,師生共同探討,H,H,H,圖（6）,圖（7）,圖（8）,（第一組:作出三角形的中位線）,延長BA到H,使BG=GH,連接CH，則DG為BCH底邊CH的中位線。 如圖（8）.證明方法參考練習2. 當然還有其他添加方法得到中位線。,（第二組：作出等腰三角形或等腰梯形）,過C作直線CH，使CH/FD并與BA的延長線交于H, 如圖（9）.則A

5、CH是等腰三角形,則AC=AH,由已知可證AF=AG,BG=GH,所以BG=CF.,H,H,過B作直線BH，使BH/FD并與CF的延長線交于H, 如圖（10）.則四邊形FHBG是等腰梯形,則FH=BG,由已知可證FH=CF,所以BG=CF.,圖（9）,圖（10）,（第三組：作出平行四邊形）,過點D作直線DH交BG于K，使DH/CF，過點F作直線FH，使FH/CB，連接HB，如圖（11）所示?？勺C四邊形DHFC為平行四邊形，得CF=HD，由已知條件得KG=KD，KH=KB，所以HD=BG，從而得出BG=FC。,K,H,H,P,圖（11）,圖（12）,過點C作直線CH,使CH/DF交BA的延長線于

6、P，過點F作直線FH， 使FH /BA交CP的延長線于H，如圖（12），四邊形GPHF為平行四邊形，得FH=GP，由已知條件可證得，BG=GP=FH=FC，從而得出BG=FC。,（第四組：作出直角三角形）,過點C、B分別向FD作垂線，垂足分別交FD于N、M兩點。如圖（13）所示，在RtGMB中， sin(BGM)= BM/BG. 在RtFNC中，sin(CFN)= CN/CF. 由已知可證， BGM= CFN，BM=CN，從而得CF=BG。,N,M,圖（13）,自我檢測,1、在上題中要求添加輔助線后出現(xiàn)圓。并利用圓形的性質(zhì)或定理進行證明。, 以C為園心，CF長為半徑作園，延長FD與園相交于H點

7、，連接CH。如圖（14）所示。則有CF=CH， 由已知條件可證BDGCDH，得CH=BG，所以BG=FC.,以F為園心，CF長為半徑作園，延長CF與園相交于H點，連接HB。 如圖（15）所示。則有CF=FH，由已知條件可證AHB和 AFG為等腰三角形，得FH=GB，所以BG=FC。,H,H,圖（14）,圖（15）,小結(jié),1、平面幾何綜合性證明題大多都可用添加輔助線方法進行證明。,2、用添加輔助線方法證明平面幾何題目時，大多都會有多解出現(xiàn)。,3、結(jié)合題目，掌握適當?shù)奶砑虞o助線的方法與技巧。,反思,讓學生總結(jié)交流本節(jié)課的學習心得，從兩個方面進行反思:(1)本節(jié)課我達到了教學目標的要求了嗎？如果沒達到，今后要如何？（2）遇到類似的題目，我能用適當?shù)奶砑虞o助線進行多解嗎？我是否