用判別式求解幾何最值問題

1、用求解幾何最值問題江蘇省睢寧縣雙溝中學趙光朋（221212） 通過恰當的途徑，構建一元二次方程模型，在其有解的前提下，應用或去探討某些幾何最值（或不等）問題，有時可收到條理清晰、簡捷明快的解題效果.舉例說明如下：例1.當斜邊一定時，求直角三角形周長的最大值.分析：.當三角形的斜邊一定時，兩條直角邊的和與積都可表示為周長與的代數式，由此想到以為實數根構造一元二次方程，再通過判別式求解.解：設直角三角形的兩條直角邊長分別為，斜邊為，周長為.則， （1）.所以，即.又，所以 （2）.由（1）、（2）知是方程的兩個實數根.所以.整理，得,求得，所以周長的最大值是.點評：上述解法中，以三角形的斜邊和周長

2、表示兩條直角邊，并利用韋達定理構造一元二次方程，再巧用判別式“” 化“相等”為“不等”，為求得周長的最大值疏通了渠道.例2.三角形有一個內角為，此角所對的邊長為，求證其余兩邊的和不大于.證明：如圖1，中，,.過作于，設，通過,得，.令，整理，得關于的一元二次方程.由，得，所以，的最大值為，即其余兩邊的和不大于.點評：在此解法中，適時地引入變量，并將他們的關系用一個等式表達出來，為構造一元二次方程明確了目標，為應用埋下了伏筆.更體現了幾何問題代數化的轉換思想.例3.如圖2，已知的面積為,作一條直線,且與分別交于兩點。記的面積為,證明：.證明：因為,則可令.又和是以為頂點的等高三角形，所以，即.同

3、理可證,所以整理，得關于的方程.因為是實數，所以，而,所以，即.點評：在上述解法中，以線段比為未知數， 并用表示三角形的面積比，通過等式變形得一元二次方程，構思巧妙.再應用，所證的結論則一目了然.例4.如圖3，中，分別是上的點, , .設,求證.分析：設，由已知的平行線可得兩對相似三角形，再利用相似三角形的性質可找到各個三角形的面積與的關系，由此會萌生構造一元二次方程，再應用探討證明思路的念頭.證明：設，則，.易證,所以，.即,.易得,整理，得關于的一元二次方程.因為是實數，所以.化簡得,所以.例5.如圖4，四邊形是一給定矩形，均不為，是過點的動直線，與的延長線交于.求面積的最小值. 解：設,

4、則，.即.因為為實數，所以，得.因為,所以.即面積的最小值是.點評：以角度為變量，以正切函數為主元，構造一元二次方程，再應用，為這道題的快速求解增添了色彩.例6.如圖5，過正方形的頂點作一直線與的延長線交于，設，求的最小值.解：設，根據面積關系，有，即.設，則，所以是方程的兩個實數根，所以.因為，所以.當時，故的最小值是.注：一般地，在解題過程中，如果能出現型的關系式，則可考慮利用一元二次方程的根與系數的關系構造方程.例7.如圖6，已知四邊形的對角線相交于,若,則四邊形面積的最小值為（ ） 分析：若設,則問題就轉化為求的最小值.設，再求出的值，就可構造以為兩個實數根的一元二次方程，根據，可求出

5、的取值范圍，進而求出的最小值.解：設，（1）.因為,所以（2）.由（1）、（2）知是方程的兩個實數根.所以，即，又，所以.因此，=.即的最小值是.此時，.例8.如圖7，與是兩個直角邊都等于，且疊在一起的等腰直角三角形.其中，固定，直角邊的中點分別為,保持斜邊在直線上可使位置左右移動.求兩個三角形重疊部分的六邊形面積的最大值. 解析：直接求解，難以入手，而由分別為的中點，可知也為的中點.于是若記多邊形的面積為,則.再設，則，所以.則有，變形可得關于的方程.因為是實數，所以，所以.故，此時.由于，符合條件，所以，兩個三角形重疊部分面積的最大值是.例9.如圖8，切于點，直線交于點,求證.分析：“”及

6、給出暗示，構造一元二次方程，應用也許可得巧證.證明：由割線定理，得,于是是方程的兩個根.因為,所以,由此可得.例10.當直角三角形的周長一定時，求其內切圓面積的最大值.解析:設直角三角形的三邊長為（為斜邊），其周長為，內切圓半徑為，則有，由（1）、（3）得，從而 （4）.又 （5）.由（4）、（5）知是一元二次方程的兩個根.要使此方程有實數根，必須，即，所以.因為與矛盾，故取.所以當時，內切圓半徑最大，并推得時內切圓有最大面積平方單位.注：這一解法中，盡力尋找兩數的和與積，是構造方程、應用求得結果的關鍵.例11.如圖9，是的直徑，過引圓的切線,又過上任意一點的切線與交于,求證.證明：如圖，連結

7、，因為、均為的切線，且,所以，,又,易證,可得.又,可知是關于的方程的兩個根.由，知.例12.如圖，半圓的半徑為，,且,是半圓上任意一點，求封閉圖形面積的最大值.分析:先添輔助線，把封閉圖形分割成規(guī)則圖形.利用他們的面積關系構造一元二次方程，在應用將是一個可取的途徑.解：如圖10，過作,設，封閉圖形面積為,則，=，.兩邊平方、化簡得關于的一元二次方程.由,得,解得.故封閉圖形面積的最大值是.例13.有一塊圓心角為，半徑長為米的扇形余料，打算利用此扇形余料鋸一個面積最大的矩形，求這個最大面積.解：為了使矩形的面積盡可能大，此矩形應為扇形的內接矩形.為此，分以下兩種情況討論，如圖11（1）、（2），先研究第一種情況，如圖11（1），連結,設米，平方米，則=，所以，所以，兩邊平方，整理得.由，得所以為最大.再研究第二種情況，如圖11（2）.作的平分線交,連結,設米，平方米，則=.所以.所以，兩邊平方，整理得，由，得所以為最大.由=，知所鋸矩形的最