3.1.3導數的幾何意義 (2)

1、1.1.3導數的幾何意義,平均變化率,函數y=f(x)的定義域為D,x1.x2D,f(x)從x1到x2平均變化率為:,割線的斜率,以平均速度代替瞬時速度，然后通過取極限，,從瞬時速度的近似值過渡到瞬時速度的精確值。,2.導數的概念,一般地，函數 y =f(x) 在點x=x0處的瞬時變化率是,由導數的意義可知,求函數y=f(x)在點x0處的導數的基本方法是:,注意:這里的增量不是一般意義上的增量,它可正也可負. 自變量的增量x的形式是多樣的,但不論x選擇 哪種形式, y也必須選擇與之相對應的形式.,回顧,P,Q,割線,切線,T,導數的幾何意義:,我們發(fā)現,當點Q沿著曲線無限接近點P即x0時,割線

2、PQ如果有一個極限位置PT.則我們把直線PT稱為曲線在點P處的切線.,設切線的傾斜角為,那么當x0時,割線PQ的斜率,稱為曲線在點P處的切線的斜率.,即:,這個概念: 提供了求曲線上某點切線的斜 率的一種方法; 切線斜率的本質函數在x=x0處的導數.,要注意,曲線在某點處的切線:,1)與該點的位置有關;,3)曲線的切線,并不一定與曲線只有一個交點, 可以有多個,甚至可以無窮多個.,2)要根據割線是否有極限位置來判斷與求解.如有極限,則在此點有切線,且切線是唯一的;如不存在,則在此點處無切線;,因此,切線方程為y-2=2(x-1), 即y=2x.,求曲線在某點處的切線方程 的基本步驟: 求出P點

3、的坐標; 利用切線斜率的定義求 出切線的斜率; 利用點斜式求切線方程.,練習1如圖已知曲線 ,求: (1)點P處的切線的斜率; (2)點P處的切線方程.,即點P處的切線的斜率等于4.,(2)在點P處的切線方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.,2.求拋物線y=x2過點 的切線方程.,解：設切點為(x0, x02),則,x0=2,3,k=4,6,切線方程為:y=4x-4,y=6x-9,3.在曲線y=x2上過哪一點的切線 （1）.平行于直線y=4x-5 （2）.垂直于直線2x-6y+5=0,4.已知P（-1，1），Q（2，4）是曲線y=x2上的兩點，求與直線PQ平行的曲線y=x

4、2的切線方程。,在不致發(fā)生混淆時，導函數也簡稱導數,函數導函數,由函數f(x)在x=x0處求導數的過程可以看到, f(x0) 是一個確定的數.那么,當x變化時,便是x的一個函數,我們叫它為f(x)的導函數.即:,如何求函數y=f(x)的導數?,看一個例子:,下面把前面知識小結:,a.導數是從眾多實際問題中抽象出來的具有相同的數 學表達式的一個重要概念，要從它的幾何意義和物 理意義了認識這一概念的實質，學會用事物在全過 程中的發(fā)展變化規(guī)律來確定它在某一時刻的狀態(tài)。,b.要切實掌握求導數的三個步驟： （1）求函數的增 量； （2）求平均變化率； （3）取極限，得導數。,（3）函數f(x)在點x0處的導數 就是導函數 在x=x0處的函數值，即 。這也是 求函數在點x0處的導數的方法之一。,小結:,（2）函數的導數，是指某一區(qū)間內任意點x而言的, 就是函數f(x)的導函數 。,（1）函數在一點處的導數，就是在該點的函數的改 變量與自變量的改變量之比的極限，它是一個 常數，不是變數。,c.弄清“函數f(x)在點x0處的導數”、“導函數”、“導數” 之間的區(qū)別與聯系。,（1）求出函數在點x0處的變化率 ，得到曲 線在點(x0,f(x0)的切線的斜率。,（2）根據直線方程的點斜式寫出切線方程，即,d.求切線方程的步驟：,小結:,無限逼