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文檔簡介
1、第二節(jié) 迭代法,1,PPT學(xué)習(xí)交流,它是一種逐次逼近的方法,用某個固定公式反復(fù)校正根的近似值,使之逐步精確化,最后得到滿足精度要求的結(jié)果。,2,PPT學(xué)習(xí)交流,6.2.1 迭代法的基本思想 為求解非線性方程f(x)=0的根,先將其寫成便于迭代的等價方程,其中 為x的連續(xù)函數(shù)。,3,PPT學(xué)習(xí)交流,即如果數(shù) 使 f(x)=0,任取一個初值 ,代入式 的右端, 得到,則也有,反之, 若 ,則也有,再將 代入式 的右端,得到,4,PPT學(xué)習(xí)交流,上式稱為求解非線性方程的簡單迭代公式,依此類推, 得到一個數(shù)列,其一般表示,稱 為迭代函數(shù) 。,5,PPT學(xué)習(xí)交流,例1 試用迭代法求方程 在區(qū)間(1,2)
2、內(nèi)的實根。,解:由 建立迭代關(guān)系,計算結(jié)果如下:,k=0,1,2,3.,6,PPT學(xué)習(xí)交流,精確到小數(shù)點后五位,7,PPT學(xué)習(xí)交流,但如果由 建立迭代公式,仍取 ,則有,顯然結(jié)果越來越大, 是發(fā)散序列,8,PPT學(xué)習(xí)交流,(全局收斂定理),6.2.2 收斂性分析,9,PPT學(xué)習(xí)交流,存在唯一性,做輔助函數(shù),,則有,所以,存在點,若,,則有:,又,,10,PPT學(xué)習(xí)交流,則,所以,任意的初值都收斂,11,PPT學(xué)習(xí)交流,誤差估計,12,PPT學(xué)習(xí)交流,注:L越小,收斂越快。,13,PPT學(xué)習(xí)交流,例2 證明函數(shù) 在區(qū)間1,2上滿足迭代收斂條件。,證明:,14,PPT學(xué)習(xí)交流,15,PPT學(xué)習(xí)交流
3、,若取迭代函數(shù) 不滿足定理,故不能肯定 收斂到方程的根。,16,PPT學(xué)習(xí)交流,定理 設(shè) 是方程 的根,如果滿足條件 : (1)迭代函數(shù) 在 的鄰域可導(dǎo); (2)在 的某個鄰域 ,對于任意 ,有,局部收斂性,17,PPT學(xué)習(xí)交流,則對于任意的初始值 ,由迭代公式 產(chǎn)生的數(shù)列 收斂于方程的根。 (這時稱迭代法在 的S鄰域具有局部收斂性。),18,PPT學(xué)習(xí)交流,例3 設(shè) ,要使迭代過程 局部收斂到 ,求 的取值范圍。 解: 由在根 鄰域具有局部收斂性時, 收斂條件,19,PPT學(xué)習(xí)交流,所以,20,PPT學(xué)習(xí)交流,實際計算中當(dāng)然不可能也沒必要無窮多步地做下去, 對預(yù)先給定的精度要求,只要某個n滿
4、足,即可結(jié)束計算并取,當(dāng)然,迭代函數(shù) 的構(gòu)造方法是多種多樣的。,21,PPT學(xué)習(xí)交流,簡單迭代收斂情況的幾何解釋,22,PPT學(xué)習(xí)交流,定義 設(shè)迭代過程 收斂于 的根 ,記迭代誤差 若存在常數(shù)p(p1)和c(c0),使,則稱序列 是 p 階收斂的,c稱漸近誤差常數(shù)。特別地,p=1時稱為線性收斂,p=2時稱為平方收斂。1 p 2時稱為超線性收斂。,6.2.3 迭代法的收斂速度,23,PPT學(xué)習(xí)交流,數(shù)p的大小反映了迭代法收斂的速度的慢,p愈大,則收斂的速度愈快,故迭代法的收斂階是對迭代法收斂速度的一種度量。,24,PPT學(xué)習(xí)交流,定理 設(shè)迭代過程 ,若 在所求根 的鄰域連續(xù)且 則迭代過程在 鄰域
5、是p階收斂的。,證: 由于,所以 有局部收斂性, 將 在 處泰勒展開,即在 鄰域 ,25,PPT學(xué)習(xí)交流,根據(jù)已知條件得,由迭代公式,及,有,26,PPT學(xué)習(xí)交流,例4 已知迭代公式 收斂于 證明該迭代公式平方收斂。,證: 迭代公式相應(yīng)的迭代函數(shù)為,將 代入,,根據(jù)定理可知,迭代公式平方收斂。,27,PPT學(xué)習(xí)交流,為了使迭代過程收斂或提高收斂的速度, 可設(shè)法 提高初值的精度以減少迭代的次數(shù) 提高收斂的階數(shù) p,28,PPT學(xué)習(xí)交流,(1)迭代-加速公式(加權(quán)法) 設(shè) 是根 的某個近似值,用迭代公式校正一次得,6.2.4 迭代過程的加速,又,根據(jù)中值定理有,29,PPT學(xué)習(xí)交流,可見,若將迭代
6、值 與 加權(quán)平均,則可得到的,是比 更好的近似根,則有:,當(dāng) 范圍不大時,設(shè) 變化不大,其估計值為L,30,PPT學(xué)習(xí)交流,迭代: 改進(jìn): 或合并寫成:,31,PPT學(xué)習(xí)交流,例5 用加權(quán)法加速技術(shù)求方程 在0.5附近的一個根。,取L=-0.6,建立如下迭代公式,解: 因為在 附近,32,PPT學(xué)習(xí)交流,仍取 ,逐次計算得 =0.56658 =0.56714 。迭代4次便可得到精度 的 結(jié)果,而不用加速技術(shù)需迭代18次,效果顯著。,33,PPT學(xué)習(xí)交流,(2)埃特金(Aitken)方法 在加權(quán)法中, 估計L的值有時不太方便。假設(shè)在求得 以后, 先求出,由,利用中值定理可得,( 在求根區(qū)間變化不大, 用某個定值L近似地替代之),34,PPT學(xué)習(xí)交流,將迭代值 再迭代一次, 得新的迭代值,將上述兩個方程聯(lián)立消去常數(shù)L化簡可得,則,35,PPT學(xué)習(xí)交流,這樣得到埃特金加速公式,36,
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