定積分在幾何中的應(yīng)用

1、17定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用 17.1定積分在幾何中的應(yīng)用,【課標(biāo)要求】 1會(huì)通過(guò)定積分求由兩條或多條曲線圍成的圖形的面積 2在解決問(wèn)題的過(guò)程中，通過(guò)數(shù)形結(jié)合的思想方法，加深對(duì)定積分的幾何意義的理解 【核心掃描】 由多條曲線圍成的分割型圖形的面積的求解是考查的重點(diǎn),(2)如圖2，陰影部分的面積為 所以，曲邊梯形的面積等于 的定積分,形上、下兩個(gè)邊界所表示的函數(shù)的差,曲邊梯,想一想：當(dāng)f(x)0時(shí)，f(x)與x軸所圍圖形的面積怎樣表示？ 提示如圖，因?yàn)榍吿菪紊线吔绾瘮?shù)為g(x)0，下邊界函數(shù)為f(x)，所以S (0f(x)dx f(x)dx.,名師點(diǎn)睛 利用定積分求曲邊圖形面積的步驟 一般來(lái)說(shuō)，利用定

2、積分求曲邊圖形面積的基本步驟如下： 第一步：畫出圖形； 第二步：確定圖形范圍，通過(guò)解方程組求出交點(diǎn)橫坐標(biāo)，確定積分上、下限； 第三步，確定被積函數(shù)，特別要注意分清被積函數(shù)的上、下位置； 第四步，寫出平面圖形面積的積分表達(dá)式； 第五步，運(yùn)用微積分基本定理計(jì)算定積分，求出平面圖形的面積,注意：由于定積分是一種和式的極限，它可以為正，也可以為0，還可以為負(fù)但平面圖形的面積一般來(lái)說(shuō)總是為正的因此，當(dāng)定積分為負(fù)值時(shí)，一定要通過(guò)取絕對(duì)值處理為正,題型一不分割型圖形面積的求解 【例1】 求由拋物線yx24與直線yx2所圍成圖形的面積,不分割型圖形面積的求解步驟： (1)準(zhǔn)確求出曲線的交點(diǎn)橫坐標(biāo)； (2)在坐

3、標(biāo)系中畫出由曲線圍成的平面區(qū)域； (3)根據(jù)圖形寫出能表示平面區(qū)域面積的定積分； (4)計(jì)算得所求面積,法二若選積分變量為y，則三個(gè)函數(shù)分別為 xy2，x2y，x3y. 因?yàn)樗鼈兊慕稽c(diǎn)分別為(1,1)，(0,0)，(3，1),由兩條或兩條以上的曲線圍成的較為復(fù)雜的圖形，在不同的區(qū)間段內(nèi)位于上方或下方的函數(shù)有所變化時(shí)，可通過(guò)解方程組求出曲線的不同的交點(diǎn)坐標(biāo)，可以將積分區(qū)間進(jìn)行細(xì)化區(qū)間段，然后根據(jù)圖象對(duì)各個(gè)區(qū)間段分別求面積進(jìn)而求和，在每個(gè)區(qū)段上被積函數(shù)均是由上減下；若積分變量選取x運(yùn)算較為復(fù)雜，可以選y為積分變量，同時(shí)更改積分的上下限,得交點(diǎn)橫坐標(biāo)為x0及x1. 因此，所求圖形的面積為,題型三定積

4、分的綜合應(yīng)用 【例3】 設(shè)yf(x)是二次函數(shù)，方程f(x)0有兩個(gè)相等的實(shí)根，且f(x)2x2. (1)求yf(x)的表達(dá)式； (2)求yf(x)的圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積,(2)畫函數(shù)yf(x)的圖象如圖 由圖象知所求面積為,【題后反思】 由定積分求平面區(qū)域面積的方法求不規(guī)則圖形的面積是一種基本的運(yùn)算技能在這種題型中往往與導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的最值、不等式等相關(guān)知識(shí)進(jìn)行融合,切點(diǎn)為(1,1)，切線方程為y2x1.,方法技巧化歸與轉(zhuǎn)化在求定積分中的應(yīng)用 在應(yīng)用定積分時(shí)，定積分的計(jì)算是其中的重點(diǎn)也是難點(diǎn)為計(jì)算定積分，要細(xì)心觀察，有時(shí)某個(gè)定積分整體表示某些易求面積的圖形的面積，求定積分的值就可轉(zhuǎn)化為求圖形的面