第6章 結(jié)構(gòu)化程序的正確性證明.ppt

1、第6章 結(jié)構(gòu)化程序的正確性證明,本課的內(nèi)容,1.重復(fù)遞歸引理 2.正確性定理 3.結(jié)構(gòu)化程序正確性證明的代數(shù)方法 4.循環(huán)不變式產(chǎn)生的方法,結(jié)構(gòu)化程序正確性證明思路,任何結(jié)構(gòu)化程序都可以用序列、條件和循環(huán)3種結(jié)構(gòu)表示，其中循環(huán)的正確性最為復(fù)雜，若能夠用序列和條件結(jié)構(gòu)來(lái)表示循環(huán)，則可以使正確性證明得以簡(jiǎn)化。,重復(fù)遞歸引理,基本概念：基于程序函數(shù)的程序正確性概念。 假設(shè)已知一個(gè)程序P和一個(gè)預(yù)期函數(shù)f，若有 f=P 則稱程序P正確地實(shí)現(xiàn)了函數(shù)f，或說(shuō)程序P是正確的。,第二章中程序函數(shù)的定義,重復(fù)遞歸引理,重復(fù)遞歸引理內(nèi)容 引理1 while-do的正確性定理 引理2 do-until的正確性定理 引

2、理3 do-while-do的正確性定理,重復(fù)遞歸引理引理1,已知預(yù)期函數(shù)f和循環(huán)程序P while p do g 則f=P的充要條件是：對(duì)所有xD（f）， 程序P終止，且f=if p then g;f,重復(fù)遞歸引理引理1,證明： 必要性 f= P=while p do g = f=if p then g;f P=while p do g=if p then g; while p do g =if p then g;f 充分性 f=if p then g;f = f= while p do g if p then g;f =if p then g;if p then g;f = if p th

3、en g;if p then g;(if p then g) = if p then g;if p then g;I = while p do g ,重復(fù)遞歸引理引理2和引理3,引理2 已知函數(shù)f和循環(huán)程序P：do g until p ，則 f=P的充要條件是：對(duì)所有xD（f），程序P終止，且 f=g;if p then f 引理3 已知函數(shù)f和循環(huán)程序P：do1 g while p do2 h ,則 f=P的充要條件是：對(duì)所有xD（f），程序P終止，且 f=g;if p then h;f ,重復(fù)遞歸引理告訴我們，循環(huán)程序的驗(yàn)證可以通過(guò)將循環(huán)化為遞歸的方法，將程序轉(zhuǎn)化為由選擇以及序列組成的無(wú)循

4、環(huán)程序進(jìn)行驗(yàn)證！,正確性定理,已知預(yù)期函數(shù)f和基本程序P，則f=P的充要條件是： xD(f)，程序P終止，且對(duì)于不同的基本程序，函數(shù)f分別滿足下列關(guān)系： 情形a，對(duì)于序列，p=g;h,有f=(x,y)|y=hg(x) 情形b，對(duì)于if-then程序，if p then g，有 f=(x,y)|p(x) y=g(x) | p(x) y=x 情形c，對(duì)于if-then-else，if p then g else h，有 f=(x,y)|p(x) y=g(x)| p(x) y=h(x) 情形d，對(duì)while-do程序，while p do g，有 f=(x,y)|p(x) y=fg(x)| p(x)

5、 y=x 情形e，對(duì)于do-until程序，do g until p od,有 f=(x,y)|pg(x) y=g(x)| pg(x) y=fg(x) 情形f，對(duì)于do-while-do程序，do1 g while p do2 h od，有 f=(x,y)|pg(x) y= fhg(x)| pg(x) y=g(x),正確性定理證明,情形a,b,c由程序函數(shù)直接可得 情形d,由下式可得（根據(jù)引理1）： 對(duì)while-do程序,while p do g ，有 while p do g = if p then g;f = (x,y)|p(x) y=f g(x)| p(x) y=x = f 情形e,f

6、由引理2，3可證,結(jié)構(gòu)化程序正確性證明的代數(shù)方法,給定一個(gè)程序P的預(yù)期程序函數(shù)f，若xD（f），程序P是終止的，且通過(guò)正確性定理求解程序P的程序函數(shù)f，若與預(yù)期函數(shù)f相等，則得證。 證明步驟： 1：程序P是終止的； 2：f和程序P的定義域相同； 3：通過(guò)正確性定理求解程序P的程序函數(shù)f，與預(yù)期函數(shù)f相等。 對(duì)于相對(duì)簡(jiǎn)單直觀的程序，可以直接使用代數(shù)方法計(jì)算程序函數(shù)。 對(duì)于復(fù)雜的序列和條件程序、循環(huán)程序的證明，可以采取跟蹤表方法求解程序函數(shù)。,代數(shù)方法跟蹤表,1.已知程序P：x:=x+y;y:=x-y;x:=x-y;求它的程序函數(shù)。 假設(shè)變量x,y的初值是x0,y0 ，執(zhí)行第一個(gè)賦值語(yǔ)句后變量值為

7、x1,y1 ，則可以建立賦值表如下：,分析跟蹤表可知： x3=x2-y2=x1-(x1-y1)=y1=y0 y3=y2=x1- y1=x0+y0-y0=x0 通過(guò)跟蹤表法，可知程序P的程序函數(shù)為(x,y),(y,x),代數(shù)方法跟蹤表,2.序列程序 y:=a y:=x*y+b y:=x*y+c y:= x*y+d 跟蹤表為：,代數(shù)方法跟蹤表,所以， x4=x3= x2=x1=x0 y4= x3*y3+d =x2*(x2*y2+c)+d = x1*(x1*(x1*y1+b)+c)+d = x0*(x0*(x0*a+b)+c)+d 相應(yīng)的程序函數(shù)為： (x,y=x, x*(x*(x*a+b)+c)+

8、d) 即 y=ax3+bx2+cx+d,分離規(guī)則,條件語(yǔ)句 if p then g else h 可用條件規(guī)則表示出來(lái) (pg | ph)。 為了證明條件語(yǔ)句的正確性，就需要比較預(yù)期函數(shù)f和條件規(guī)則是否相等。,復(fù)合條件規(guī)則的化簡(jiǎn),(p1 (q11 r11 | q12 r12 ) | p2 (q21 r21 | q22 r22 ) ) (p1 q11) r11 | (p1 q12) r12 | (p2 q21) r21 | (p2 q22) r22 p1,p2是分離的，即p1 p2為假。 如果一個(gè)條件規(guī)則的所有謂詞都是分離的，稱它為分離規(guī)則。,將條件規(guī)則化為分離規(guī)則,在化簡(jiǎn)和比較條件規(guī)則時(shí)，分離

9、規(guī)則比一般的條件規(guī)則使用更方便一些。 一般的復(fù)合規(guī)則不一定能展開(kāi)，但分離的復(fù)合規(guī)則總可以展開(kāi)。 一般的條件規(guī)則的前后順序是不能交換的，而分離規(guī)則的順序是可以交換的。 討論程序的正確性時(shí)，總是首先將條件規(guī)則化為分離規(guī)則。,將條件規(guī)則化為分離規(guī)則,對(duì)于任意的條件規(guī)則 （p1 r1 | p2 r2 | p3 r3 | ） 化為分離規(guī)則 （p1r1 |p1p2r2|p1p2p3r3 | ）,條件語(yǔ)句的正確性證明,假設(shè)某一條語(yǔ)句的程序函數(shù)是分離規(guī)則： （p1r1|p2r2|p3r3） 預(yù)期函數(shù)是f，由于f可以是賦值的形式，例如y:=f(x)的形式給出時(shí)，為了證明條件語(yǔ)句的正確性，需證明以下兩點(diǎn)： (1)

10、 f(x)的定義域和分離規(guī)則式的定義域是相同的； (2) 利用分離規(guī)則的謂詞將f(x)的定義域分解，并有以下關(guān)系成立： p1(x)r1(x)=f(x) p2(x)r2(x)=f(x) p3(x)r3(x)=f(x),條件語(yǔ)句的正確性證明,另外，當(dāng)f是以條件規(guī)則的形式給出時(shí)，例如，是下列的分離規(guī)則 (q1 s1 | q2 s2 ) 這時(shí)，要證明它和分離規(guī)則式相同，需要證明： (1)兩個(gè)分離規(guī)則的定義域是相同的，即 p1(x)Vp2(x)Vp3(x) = q1(x)V q2(x) (2) 兩個(gè)分離規(guī)則中的謂詞成對(duì)合取后，相應(yīng)的結(jié)果是相同的： p1(x) q1 (x) r1(x) = s1 (x)

11、p1(x) q2 (x) r1(x) = s2(x) p3(x) q1 (x) r3 (x) = s1 (x) p3(x) q2 (x) r3 (x) = s2(x),例子1,預(yù)期函數(shù) f=(x:=-x) 程序P為 if x0 then x:=x-2*x else x:=x+2*abs(x) P=(x0 x:=x-2*x| x0 x:=x+2*abs(x) 證明 (1) f和P的定義域均為整數(shù)，相同。 (2) P是一個(gè)分離規(guī)則，且 x0 (x:=x-2*x) = (x:=-x) x0 (x:=x+2*abs(x)=(x:=x+2*(-x)=(x:=-x) 得證,例子2,已知預(yù)期函數(shù)f是（x,y

12、,a是整數(shù)，且x0） (x,y,a),(0,a*x+y,a) 程序P如下，其中x0： while x0 do x,y=x-1,y+a 證明程序P是正確的，即f=P 證明1：程序是終止的 證明2：定義域相同 證明3：f=(x,y)|p(x) y=fg(x) | p(x) y=x，其中，p(x)=(x0), p(x)=(x=0) 利用fg(x)的跟蹤表證明3,例子2,于是有： x2 =0 y2=a0*(x0-1)+y0+a0=a0* x0 +y0 即當(dāng)x0時(shí) x,y,a :=0,a*x+y,a; 當(dāng)x=0時(shí) x,y,a :=0,y,a = 0,a*0+y,a 因此可知，f (x,y,a),(0,a

13、*x+y,a)，與預(yù)期函數(shù)相等，因此得證。,循環(huán)不變式產(chǎn)生的方法,對(duì)于程序部分正確性證明的不變式斷言法，這一方法的關(guān)鍵是建立一個(gè)正確的不變式斷言，對(duì)一般程序來(lái)說(shuō)，不變式斷言的建立主要依靠程序員對(duì)程序的理解，尚無(wú)系統(tǒng)的方法。 但對(duì)結(jié)構(gòu)化程序來(lái)說(shuō)，如果已知它的程序函數(shù)，則可以根據(jù)不變式狀態(tài)定理，來(lái)確定它的一個(gè)循環(huán)不變式。,循環(huán)不變式產(chǎn)生的方法,不變式狀態(tài)定理： 假設(shè)f=while p(x) do g(x) ， x0是初始值，則 循環(huán)不變式q(x)為：f(x) = f(x0) 證明： 1.在進(jìn)入循環(huán)時(shí)， f(x0) = f(x0)，因此q(x)成立。 2.試證假設(shè)在每一次進(jìn)入循環(huán)前q(x) 成立，即

14、f(x) = f(x0) ，則執(zhí)行循環(huán)后q(x)也成立，即證明 p(x)q(x) = qg(x) 由p(x)為真，及正確性定理 f=(x,y)|p(x)y=fg(x)|p(x)y=x可知 即 p(x) = (f(x)=fg(x),循環(huán)不變式產(chǎn)生的方法,又進(jìn)入循環(huán)前q(x) 成立，即q(x)=(f(x0)=f(x) p(x)q(x) = (f(x0)= fg(x) 而(f(x0)= fg(x) (f g(x)=f(x0) (f(g(x) =f(x0) q(g(x) (歸納假設(shè)q(x)=(f(x)=f(x0) qg(x) p(x)q(x) = qg(x),循環(huán)不變式產(chǎn)生的方法,同理可知如下定理： 2 假設(shè) f(x)=do g(x) until p(x) ，則該循環(huán)不變式q(x)為 f(x)=fg(x0) 3假設(shè) f(x)=do1 g(x) while p(x) do2 h(x) ，則該循環(huán)不變式q(x)為 f(x)=fhg(x0),循環(huán)不變式產(chǎn)生的方法例1,對(duì)于循環(huán)程序P：while v0 do u,v=u+1,v-1 ， 其程序函數(shù)為(u,v),(u+v,0)，求其循環(huán)不變式。（設(shè)u、v0） 對(duì)循環(huán)中所有變量，分別計(jì)算f(x)和f(x0)，列表如下： 則循環(huán)不變式為f(x)=f(x0) = u+v= u0+v0,循環(huán)不變式產(chǎn)生的方法例2,求程序P： while ab do a,