2014屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專講專練：2.10函數(shù)模型及其應(yīng)用

1、1三種增長(zhǎng)型函數(shù)模型的圖像與性質(zhì),增函數(shù),增函數(shù),增函數(shù),越來越快,越來越慢,y軸,x軸,2三種增長(zhǎng)型函數(shù)之間增長(zhǎng)速度的比較 (1)指數(shù)函數(shù)yax(a1)與冪函數(shù)yxn(n0) 在區(qū)間(0，)，無論n比a大多少，盡管在x的一定范圍內(nèi)ax會(huì)小于xn，但由于ax的增長(zhǎng) xn的增長(zhǎng)，因而總存在一個(gè)x0，當(dāng)xx0時(shí)有 .,快于,axxn,(2)對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax(a1)與冪函數(shù)yxn(n0) 對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax(a1)的增長(zhǎng)速度，不論a與n值的大小如何總會(huì) yxn的增長(zhǎng)速度，因而在定義域內(nèi)總存在一個(gè)實(shí)數(shù)x0，使xx0時(shí)有 . 由(1)(2)可以看出三種增長(zhǎng)型的函數(shù)盡管均為增函數(shù)，但它們的增長(zhǎng)速度不

2、同，且不在同一個(gè)檔次上，因此在(0，)上，總會(huì)存在一個(gè)x0，使xx0時(shí)有 .,慢于,logaxxn,axxnlogax.,1(教材習(xí)題改編)f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，當(dāng) x(4，)時(shí)，對(duì)三個(gè)函數(shù)的增長(zhǎng)速度進(jìn)行比較，下列選項(xiàng)中正確的是 () Af(x)g(x)h(x) Bg(x)f(x)h(x) Cg(x)h(x)f(x) Df(x)h(x)g(x),小題能否全取,答案：B,解析：由圖象知，當(dāng)x(4，)時(shí)，增長(zhǎng)速度由大到小依次為g(x)f(x)h(x),2在某種新型材料的研制中，實(shí)驗(yàn)人員獲得了下列一組 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)現(xiàn)準(zhǔn)備用下列四個(gè)函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近

3、的一個(gè)是 (),3一根蠟燭長(zhǎng)20 cm，點(diǎn)燃后每小時(shí)燃燒5 cm，燃燒 時(shí)剩下的高度h(cm)與燃燒時(shí)間t(h)的函數(shù)關(guān)系用圖象表示為圖中的(),解析：由題意h205t,0t4.結(jié)合圖象知應(yīng)選B.,答案：B,4一種產(chǎn)品的成本原為a元，在今后的m年內(nèi)，計(jì)劃使 成本平均每年比上一年降低p%，成本y是經(jīng)過年數(shù)x(0xm)的函數(shù)，其關(guān)系式y(tǒng)f(x)可寫成_ 解析：依題意有ya(1p%)x(0xm) 答案：ya(1p%)x(0xm),5.有一批材料可以建成200 m的圍墻， 如果用此材料在一邊靠墻的地方圍 成一塊矩形場(chǎng)地，中間用同樣的材 料隔成三個(gè)面積相等的矩形(如圖所示)，則圍成的矩形最大面積為_(圍

4、墻厚度不計(jì)),答案：2 500 m2,1.解答函數(shù)應(yīng)用題的一般步驟 (1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型； (2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型； (3)求模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論； (4)還原：將數(shù)學(xué)問題還原為實(shí)際問題的意義,以上過程用框圖表示如下：,2解函數(shù)應(yīng)用題常見的錯(cuò)誤 (1)不會(huì)將實(shí)際問題抽象轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型或轉(zhuǎn)化不全面； (2)在求解過程中忽視實(shí)際問題對(duì)變量參數(shù)的限制條件,一次函數(shù)與二次函數(shù)模型,該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則國家至少需要補(bǔ)貼多少元才能使該單位

5、不虧損？,1在實(shí)際問題中，有很多問題的兩變量之間的關(guān)系是一次函數(shù)模型，其增長(zhǎng)特點(diǎn)是直線上升(自變量的系數(shù)大于0)或直線下降(自變量的系數(shù)小于0)，構(gòu)建一次函數(shù)模型，利用一次函數(shù)的圖像與單調(diào)性求解 2有些問題的兩變量之間是二次函數(shù)關(guān)系，如面積問題、利潤問題、產(chǎn)量問題等構(gòu)建二次函數(shù)模型，利用二次函數(shù)圖像與單調(diào)性解決 3在解決二次函數(shù)的應(yīng)用問題時(shí)，一定要注意定義域,1一根均勻的輕質(zhì)彈簧，已知600 N的范圍內(nèi)，其長(zhǎng) 度y(m)與所受拉力x(N)成一次函數(shù)關(guān)系，現(xiàn)測(cè)得當(dāng)它在100 N的拉力作用下，長(zhǎng)度為0.55 m；在300 N的拉力作用下長(zhǎng)度為0.65 m，那么彈簧在不受拉力作用時(shí)，其自然長(zhǎng)度是多少

6、？當(dāng)在700 N的拉力下，彈簧會(huì)出現(xiàn)什么情況？,分段函數(shù)模型,(1)該公司這種產(chǎn)品的年生產(chǎn)量為x件，生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得到的利潤關(guān)于當(dāng)年產(chǎn)量x的函數(shù)為f(x)，求f(x)； (2)當(dāng)該公司的年產(chǎn)量為多少件時(shí)，當(dāng)年所獲得的利潤最大？,1很多實(shí)際問題中變量間的關(guān)系，不能用同一個(gè)關(guān)系式給出，而是由幾個(gè)不同的關(guān)系式構(gòu)成分段函數(shù)，如出租車票價(jià)與路程之間的關(guān)系，就是分段函數(shù) 2分段函數(shù)主要是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其當(dāng)作幾個(gè)問題，將各段的變化規(guī)律分別找出來，再將其合到一起，要注意各段變量的范圍，特別是端點(diǎn)值,2某市居民自來水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：每戶每月用水不超 過4噸時(shí)，每噸為1.80元，當(dāng)

7、用水超過4噸時(shí)，超過部分每噸3.00元某月甲、乙兩戶共交水費(fèi)y元，已知甲、乙兩戶該月用水量分別為5x,3x(噸) (1)求y關(guān)于x的函數(shù)； (2)若甲、乙兩戶該月共交水費(fèi)26.4元，分別求出甲、乙兩戶該月的用水量和水費(fèi),指數(shù)函數(shù)模型,(1)求每年砍伐面積的百分比； (2)到今年為止，該森林已砍伐了多少年？ (3)今后最多還能砍伐多少年？,增長(zhǎng)率問題，在實(shí)際問題中?？梢杂弥笖?shù)函數(shù)模型yN(1p)x(其中N是基礎(chǔ)數(shù)，p為增長(zhǎng)率，x為時(shí)間)和冪函數(shù)模型ya(1x)n(其中a為基礎(chǔ)數(shù)，x為增長(zhǎng)率，n為時(shí)間)的形式解題時(shí)，往往用到對(duì)數(shù)運(yùn)算和開方運(yùn)算，要注意用已知給定的值對(duì)應(yīng)求解,3(2012梅州模擬)某

8、電器公司生產(chǎn)A種型號(hào)的家庭電 腦，2011年平均每臺(tái)電腦生產(chǎn)成本為5 000元，并以純利潤20%標(biāo)定出廠價(jià).2012年開始，公司更新設(shè)備，加強(qiáng)管理，逐步推行股份制，從而使生產(chǎn)成本逐年降低預(yù)計(jì)2015年每臺(tái)A種型號(hào)的家庭電腦的出廠價(jià)僅是2011年的出廠價(jià)的80%，實(shí)現(xiàn)了純利潤為50%的高效益,對(duì)函數(shù)實(shí)際應(yīng)用問題的考查，更多地以社會(huì)實(shí)際生活為背景，設(shè)問新穎、靈活；題型主要以解答題為主，難度中等偏高，常與導(dǎo)數(shù)、最值交匯，主要考查建模能力，同時(shí)考查分析問題、解決問題的能力,“大題規(guī)范解答得全分”系列之(一) 函數(shù)實(shí)際應(yīng)用題答題模板,動(dòng)漫演示更形象，見配套光盤,用為3千元，半球形部分每平方米建造費(fèi)用為c

9、(c3)千元設(shè)該容器的建造費(fèi)用為y千元 (1)寫出y關(guān)于r的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域； (2)求該容器的建造費(fèi)用最小時(shí)的r.,教你快速規(guī)范審題,1審條件，挖解題信息,2審結(jié)論，明解題方向,3建聯(lián)系，找解題突破口,1審條件，挖解題信息,2審結(jié)論，明解題方向,3建聯(lián)系，找解題突破口,教你準(zhǔn)確規(guī)范解題,常見失分探因,易忽視條件l2r，從而誤認(rèn)為r0，導(dǎo)致定義域錯(cuò)誤. 易忽視導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)與定義域的關(guān)系，即忽視對(duì)c的取值的討論而造成解題錯(cuò)誤. 易忽視將問題“返本還原”，即沒將函數(shù)的最小值還原為建造費(fèi)用最小而草率收兵.,教你一個(gè)萬能模板,認(rèn)真分析題目所給的有關(guān)材料，弄清題意，理順問題中的條件和結(jié)論，

10、找到關(guān)鍵量，進(jìn)而明確其中的數(shù)量關(guān)系(等量或大小關(guān)系),第一步 審清題意,可先用文字語言描述問題中所涉及的關(guān)鍵量之間的數(shù)量關(guān)系，這是解決問題的一把鑰匙,第 二 步 建立文字?jǐn)?shù)量關(guān)系式,將文字語言所表達(dá)的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型(一般要列出函數(shù)式、三角式、不等式、數(shù)列、概率以及利用幾何圖形等進(jìn)行分析)，轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)問題,第三步 轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型,利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決轉(zhuǎn)化后的數(shù)學(xué)問題(常利用導(dǎo)數(shù)、基本不等式解決，本題是利用導(dǎo)數(shù)解決的函數(shù)最值)，得到相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)論,第四步 解決數(shù)學(xué)問題,把所得到的關(guān)于應(yīng)用問題的數(shù)學(xué)結(jié)論，還原為實(shí)際問題本身所具有的意義(如本題應(yīng)還原建造費(fèi)用最小時(shí)r的值

11、),第五步 返本還原,查看關(guān)鍵點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)，如本題函數(shù)關(guān)系式的求解是否正確；定義域是否正確；導(dǎo)數(shù)的求解及分類是否準(zhǔn)確等,第六步 反思回顧,教師備選題（給有能力的學(xué)生加餐）,解題訓(xùn)練要高效見“課時(shí)跟蹤檢測(cè)（十三）”,2. (2013宜昌聯(lián)考)某醫(yī)藥研究所開 發(fā)的一種新藥，如果成年人按 規(guī)定的劑量服用，據(jù)監(jiān)測(cè)：服 藥后每毫升血液中的含藥量y (微克)與時(shí)間t(小時(shí))之間近似滿足如圖所示的曲線 (1)寫出第一次服藥后y與t之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)f(t)； (2)據(jù)進(jìn)一步測(cè)定：每毫升血液中含藥量不少于0.25 微克時(shí)，治療有效求服藥一次后治療有效的時(shí)間 是多長(zhǎng)？,3 (2012浙江金華階段性檢測(cè))某民營企業(yè)生產(chǎn)A，B兩 種產(chǎn)品，根據(jù)市