高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文 利用幾何畫板探索軌跡的教學(xué)（通用）

1、教學(xué)，利用幾何畫板探索軌跡，通過探究學(xué)習(xí)獲得研究性學(xué)習(xí)是指學(xué)生在教師的指導(dǎo)下，從學(xué)生的生活和社會經(jīng)驗中選擇和確定研究課題，模仿科學(xué)研究的方法和過程，積極獲取知識，運用知識解決問題的學(xué)習(xí)活動。研究性學(xué)習(xí)是一門探索性、實踐性和開放性的課程，它以主題或問題為中心，以小組學(xué)習(xí)為主要形式。研究性學(xué)習(xí)是以解決問題為主要形式的學(xué)習(xí)活動，問題是其重要載體。整個學(xué)習(xí)活動自然會形成一系列問題?；谘芯康膶W(xué)習(xí)強調(diào)實踐、經(jīng)驗和結(jié)果。其特點是內(nèi)容強調(diào)開放性，學(xué)習(xí)強調(diào)主體性，學(xué)生之間合作學(xué)習(xí)，體驗和活動。下面，通過對一道數(shù)學(xué)題的探索，我將談?wù)勎业捏w會。老師：求曲線的方程和通過方程研究曲線的性質(zhì)是解析幾何中的兩個主要問題。

2、今天，我將和同學(xué)們討論一個問題：如何探索點的軌跡。問題是數(shù)學(xué)的核心，思考從問題開始。讓我們先看一個具體的例子：如圖1所示，穿過橢圓()的左焦點F1是和弦AB?，F(xiàn)在讓我們學(xué)習(xí)焦點和弦中與AB相關(guān)的問題。軌跡1通過原點o，作為弦AB的垂直線，垂直的腳是m，所以找到點m的軌跡方程。圖1圖2幾何畫板演示：拖動驅(qū)動點A在橢圓上旋轉(zhuǎn)，或者制作一個動畫按鈕讓點A在橢圓上移動，然后跟蹤點M，得到點M的軌跡是一個小圓。圖2如何找到這個小圓的方程？學(xué)生：按照一般的思路，假設(shè)弦AB所在直線的斜率為k，那么弦AB的垂線的斜率為，列出這兩條直線的方程，結(jié)合這兩個方程求解交點(即垂足)m的坐標(biāo)，最后通過去掉參數(shù)k得到m點

3、的軌跡方程。哇！這很復(fù)雜。學(xué)生們埋頭于復(fù)雜的計算中。一個學(xué)生看著投影屏幕，既不動手也不說話。老師：“你為什么不自己做呢？”學(xué)生：“我想知道.這條軌道是一個直徑為1的圓。有什么簡單的方法嗎？”。哦，我明白了。解決問題的總體思路很容易想出來，但操作也很復(fù)雜。我有一個非常好且簡單的方法：因為OMAB，|OM|2 |F1M|2=|OF1|2，如果點m的坐標(biāo)是(x，y ),點F1的坐標(biāo)是(c，0 ),那么X2y2 (x-c) 2y2=C2，即。這是軌跡方程?！鞍。∵@么簡單？”學(xué)生們都很驚訝。立刻，另一個學(xué)生說：“每個人都被橢圓的外觀迷惑了。事實上，這個問題只與原點和F1點的坐標(biāo)有關(guān)，與橢圓的弦無關(guān)。也就

4、是說，“給定兩個點o和F1，通過這兩個點畫兩條垂直線，找到交點的軌跡方程?！边@當(dāng)然很容易解決。老師：“很好。學(xué)生們剛才進行了一次很好的討論。在尋找點的軌跡時，必須注意找出移動點所滿足的幾何條件以及移動點與不動點之間的幾何關(guān)系。平面幾何的相關(guān)結(jié)論對尋找點的軌跡非常有用。讓我們改變下面的問題：軌跡2如圖3所示，找到弦AB中點p的軌跡方程。猜猜點P的軌跡是什么？許多學(xué)生已經(jīng)用幾何畫板證明了這一點：幾何畫板演示：拖動活動點a，得到點p的軌跡如下一個小橢圓，這個小橢圓的長軸是線段OF1，即半焦距。參見圖4?！八且粋€橢圓?！睂W(xué)生的興趣被激發(fā)了。如何求出這個小橢圓的方程？老師觀察了下面學(xué)生的答案，但是發(fā)現(xiàn)

5、很多學(xué)生圖3沒有辦法開始這種問題。老師：“根據(jù)解軌跡方程的一般步驟，我們應(yīng)該假設(shè)這個點的坐標(biāo)是(x，y)，所以我們把點p的坐標(biāo)設(shè)為(x，y)。為了建立由點p的坐標(biāo)(x，y)所滿足的方程，觀察該圖，有四個點A(x1，y1)、B(x2，y2)、P和F1，其中點F1是固定點，并且點A、B和P都是移動點，但是點A是活動點，這由于點A在橢圓上的移動而導(dǎo)致點P的移動。因此，有必要找出點p與點a、b和F的坐標(biāo)之間的關(guān)系.這是解決問題的關(guān)鍵?！秉cP與A和B的坐標(biāo)有什么關(guān)系？學(xué)生：“根據(jù)中點坐標(biāo)公式，”如何連接甲、乙、丙和F1的坐標(biāo)？利用直線的斜率.直線AB的斜率是如何表示的？“是的，有?！薄霸趺吹玫剿?？”“a

6、、b兩點鐘？滿足什么方程？“圖4“在橢圓上。滿意?！薄澳阒涝趺磫枂幔俊睂W(xué)生很快得到以下解決方案(完成后):設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，因為a點和b點都在橢圓上，那么，減去這兩個公式，所以有，為了簡化，這是軌跡方程。老師：“以上解決方案是典型的。在這里，我們設(shè)置點A和B的坐標(biāo)，但是我們不需要問它們，只需要用A和B的坐標(biāo)來轉(zhuǎn)換。這是解析幾何中求軌跡的常用方法。尋找運動點之間的關(guān)系是解決軌跡問題的關(guān)鍵。還有其他解決辦法嗎？”一名學(xué)生：“因為直線AB穿過點F1，所以可以將直線AB的方程設(shè)置為y=k(x，c)，然后將這些方程與橢圓方程一起求解，以獲得兩點A和B的坐標(biāo)”另一個學(xué)生

7、：“你不必解A和B的坐標(biāo)，直線AB的方程是y=k(x c)。把兩個二次方程代入橢圓方程得到的是點A和B的橫截x1和x2，它們可以用維埃塔定理得到。點A和B的橫坐標(biāo)表示為直線AB的斜率K的函數(shù)，參數(shù)K可以去掉?！崩蠋煟骸昂芎谩Ｕ垖懗鼋鉀Q方案。”以下是給學(xué)生的另一個解決方案(完成后):解2:假設(shè)直線AB的斜率為K，直線AB的方程為y=K(x c)，這是通過將其代入橢圓方程得到的設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，然后，=，從 中得到并替換y=k(x c)。完成后，這是等式。學(xué)生：“我改變了原來橢圓的長軸或短軸的長度，期望軌跡的形狀也改變了，但兩個橢圓的形狀仍然非常相似，我想知道是否

8、有什么必然的聯(lián)系？”學(xué)生：“和的比例正好等于，哇！我發(fā)現(xiàn)這兩個橢圓的偏心率是一樣的！所以它們的形狀是一樣的?！崩蠋煟骸昂芎?。似乎每個人都掌握了找到軌跡的鑰匙，。找出被動點和主動點之間的關(guān)系。我們剛剛探索的是弦AB上特殊點的軌跡。學(xué)生可以使用幾何畫板探索其他點的軌跡嗎？請根據(jù)這個橢圓和和弦AB自己發(fā)現(xiàn)、提問和解決問題。學(xué)生們立即投入探索。一個學(xué)生：軌道3”在弦AB上隨意取一個q點，跟蹤q點，動畫哇！問的軌跡是怎樣的？”許多學(xué)生發(fā)現(xiàn)了同樣的問題。老師將學(xué)生電腦上的圖片切換到大屏幕，幾何畫板演示：在AB弦上取一個Q點，跟蹤Q點，拖動活動點A，得到如下幾何圖形(如圖5 7所示):圖5圖6圖7“啊！這是

9、什么數(shù)字？”“怎么會有這樣的數(shù)字？”自從我學(xué)習(xí)解析幾何以來，從未見過這樣的人物.“我應(yīng)該給這條賽道取什么名字？”學(xué)生們很驚訝。拖動點Q，發(fā)現(xiàn)點Q的軌跡也會改變。當(dāng)點Q靠近中點P時，點Q的軌跡圖形靠近中點P的軌跡的小橢圓(如圖6所示)，而當(dāng)點Q靠近點A或點B時，軌跡圖形靠近大橢圓(如圖7所示)。軌道4“老師，我發(fā)現(xiàn)如果弦AB的兩端A和B與橢圓長軸的兩端A1和A2相連，這兩條直線A2A和A1B的交點C似乎在橢圓的準(zhǔn)直線上?！绷硪粋€學(xué)生哭了?！袄蠋煟琿點的軌跡不是我們熟悉的圓、橢圓、雙曲線或拋物線，它的軌跡方程一定很復(fù)雜。點C的軌跡非常簡單，所以應(yīng)該可以找到它的方程?！崩蠋煟骸霸囈辉?。”采用常規(guī)方法

10、“交叉跟蹤法”解決問題：讓直線AA2和BA1的方程為y=k1(x-a)，y=k2(x-a)，將AA2方程代入橢圓方程，我們得到,這個方程的兩個根是橫坐標(biāo)x1和A2的，因此，點A(x1，y1)的坐標(biāo)可以如下獲得，圖8以同樣的方式，點B(x2，y2)的坐標(biāo)可以如下獲得。它可以通過三個點A、F1和B的共線性來獲得，即，將A和B的坐標(biāo)代入并排序a2(a c)k12k 2 a2(c-a)k1k 22 B2(a c)k1 B2(c-a)k2=0，代入上述公式,通過分解這些因素，因為直線AA2和BA1的交點在橢圓之外，因此，即。即直線AA2和BA1相交的軌跡方程，這是橢圓的準(zhǔn)線方程?！巴瑯樱本€A2B和A1

11、A的交點d也在準(zhǔn)線上。“老師，不管C和D怎么在左邊對齊，樣本移動，CF1D是一個固定值。如圖9所示表演?！绷硪粋€學(xué)生發(fā)現(xiàn)了一個結(jié)論。學(xué)生受益隨著最后一個問題的解決，它很快被證明。老師：“我很高興看到你能探索這么多數(shù)字9?！钡贸鼋Y(jié)論。使用幾何畫板你還能探索什么姚的結(jié)論呢？如果是圓、橢圓等常見軌跡，請課后嘗試給出證明。軌跡5“教師，如圖10所示，使重心G為OAB，其軌跡也是一個橢圓。”一個學(xué)生說。(以下是學(xué)生課后提供的答案流程：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，G(x，y)，AB的中點是M(x0，y0)，那么，由，不得不，這是圖10中直線AB的斜率k再次，完成因此，OAB重心g的軌跡方程為：)

12、學(xué)生們得到了一些奇怪的曲線：軌跡6“OAB的內(nèi)部軌跡是一個蛋形曲線(如圖11所示)?！避壽E7“OAB的垂直軌跡是一條“”形曲線(如圖12所示)。”圖11圖12軌跡8“OAB外中心的軌跡是一條倒形曲線(如圖13所示)?！痹谲壍?”O(jiān)AB中，交點A為OB的垂線，垂足的軌道為二葉花形(如圖14所示)圖13圖14軌跡10“教師，如圖15所示，使重心G為ABF2，其軌跡也是一個橢圓?！?以下是課后的答案：如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，G(x，y)，AB中點m的坐標(biāo)可以從F2(c，0)和G(x，y)得到。因為，所以，整理一下，就是。這是ABF 2重心g的軌跡方程。)圖15有幾條美妙的曲線：軌道1

13、1“abf 2”的內(nèi)軌道是類似于橢圓的曲線(如圖16所示)。軌跡12“abf 2的垂直軌跡是形狀的曲線(如圖17所示)?！避壽E13“abf 2外中心的軌跡是一條倒形曲線(如圖18所示)?！痹谲壽E14”abf 2中，交點A為bf2的垂直線，垂足軌跡為二葉花狀(如圖19所示)圖16圖17圖18圖19軌跡15-18“將AF2的橢圓延伸至另一點C，BF2的重心、內(nèi)中心、垂直中心和外中心以及ABC的軌跡為未知曲線(如圖20 23所示)?！眻D20圖21圖22圖23“老師，橢圓、雙曲線和拋物線都是圓錐曲線行，它們有許多相似的性質(zhì)。上述問題存在于雙曲線中拋物線有類似的結(jié)論嗎？“這個問題問得好。學(xué)生討論這位同學(xué)

14、提出的問題問題。以下是學(xué)生在探索后得出的結(jié)論(僅限于長度，本文省略了問題解決過程):軌跡19是雙曲線，如圖24所示弦AB的右焦點F2，那么弦AB的中點M的軌跡是24軌跡是以O(shè)F2為實軸的雙曲線，即實半軸長度。它的方程是，它的求解過程與省略號相似，這里省略。這條雙曲線和最初的雙曲線是一樣的螺紋的偏心率是一樣的。如果在弦AB上取點p，那么點p的軌跡圖如圖25-26所示，當(dāng)點p如圖25所示時，當(dāng)接近中點m時，點p的軌跡接近中點m的軌跡。雙曲線；當(dāng)點P接近點A或點B時，點P軌跡接近原始雙曲線。軌跡20是圖27中OAB的重心g的軌跡軌跡是雙曲線，它的方程是。軌跡21如圖28所示，ABF1重心的軌跡是雙曲線，其方程如圖26所示圖27圖28軌道21如圖28所示。ABF1的重心軌跡為雙曲線，其方程為。軌道22如圖29所示。如果拋物線的焦點f取為弦ab，弦AB中點m的軌跡是以f為頂點的拋物線，其方程為。圖29圖30圖31如圖30-31所示，如果在弦AB上的任何一點取點P，當(dāng)點P接近中點M時，