平面與平面垂直的判定

1、.,2.3.2平面與平面垂直的判定,二面角,知識回顧,1.在平面幾何中角是怎樣定義的？,從一點出發(fā)的兩條射線所組成的圖形叫做角。,或: 一條射線繞其端點旋轉(zhuǎn)而成的圖形叫做角。,2.在立體幾何中,異面直線所成的角是怎樣定義的？,直線a、b是異面直線,經(jīng)過空間任意一點O,分別引直線a /a, b/ b,我們把相交直線a 和 b所成的銳角 （或直角）叫做異面直線所成的角。,3.在立體幾何中,直線和平面所成的角是怎樣定義的？,平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角, 叫做這條直線和這個平面所成的角。,思考：異面直線所成的角、直線和平面所成的角與有什么共同的特征？,它們的共同特征都是將三維空間的角轉(zhuǎn)

2、化為二維空間的角,即平面角。,一個平面內(nèi)的一條直線把這個平面分成兩個部分，其中的每一部分都叫做半平面。,一條直線上的一個點把這條直線分成兩個部分，其中的每一部分都叫做射線。,定義:從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角。,這條直線叫做二面角的棱。,這兩個半平面叫做二面角的面。,平面角由射線-點-射線構(gòu)成。,二面角由半平面-線-半平面構(gòu)成。,l,A,B,P,Q,二面角的表示,l,二面角 l ,二面角CAB D,二面角的畫法,角,從一點出發(fā)的兩條射線所組成的圖形叫做角。,定義,構(gòu)成,邊點邊 （頂點）,表示法,AOB,圖形,以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，

3、這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。,二面角的度量,l,二面角的平面角的三個特征:,1.點在棱上,2.線在面內(nèi),3.與棱垂直,二面角的大小的范圍:,.,平面角是直角的二面角叫做直二面角.,例1:在正方體ABCD-A1B1C1D1中,求:二面角D-AB-D的大小,求:二面角A-AB-D的大小,A,O,D,例2:已知銳二面角 l ，A為面內(nèi)一點，A到 的距離為 2 ，到 l 的距離為 4，求二面角 l 的大小。,l,.,A,O,D,解：,過 A作 AO于O，過 O作 OD l 于D，連AD,得 AD l,AO=2 ，AD=4, AO為 A到的距離 ， AD為 A到 l 的距離,ADO就是二面角

4、l 的平面角,sinADO=, ADO=60,二面角 l 的大小為60 ,在Rt ADO中，,AO AD,l,AO,AOl,OD l,l平面AOD,.,小結(jié):二 面 角,一、二面角的定義：,二、二面角的表示方法：,三、二面角的平面角：,四、二面角的平面角的作法：,五、二面角的計算：,二 面 角 AB 二 面 角 CAB D 二 面 角 l ,1、根據(jù)定義作出來 2、利用直線和平面垂 直作出來,1、找到或作出二面角的平面角 2、證明 1中的角就是所求的 角 3、計算所求的角,一“作”二“證”三“計算”,從一條直線出發(fā)的兩個半 平面所組成的圖形叫做二 面角。這條直線叫做二面 角的棱。這兩個半平面叫

5、 做二面角的面。,1、二面角的平面角 必須滿足三個條件 2、二面角的平面角 的大小與 其頂點 在棱上的位置無關(guān) 3、二面角的大小用 它的平面角的大 小來度量,.,練習 如圖，已知A、B是120的二面角l棱l上的兩點，線段AC，BD分別在面，內(nèi)，且ACl，BDl ，AC=2，BD=1，AB=3，求線段CD的長。,l,.,練習 如圖，已知A、B是120的二面角l棱l上的兩點，線段AC，BD分別在面，內(nèi)，且ACl，BDl ，AC=2，BD=1，AB=3，求線段CD的長。,l,O,分析： OAC 120,AO=BD=1, AC=2,四邊形ABDO為矩形, DO=AB=3,在Rt COD中，,.,練習

6、如圖，已知A、B是120的二面角l棱l上的兩點，線段AC，BD分別在面，內(nèi)，且ACl，BDl ，AC=2，BD=1，AB=3，求線段CD的長。,l,BDl AOBD，四邊形ABDO為矩形, DO l ， AO=BD ACl ， AOl ， l 平面CAO AOl CODO,O,在Rt COD中，DO=AB=3,E,解：在平面內(nèi)，過A作AOl ，使 AO=BD,連結(jié)CO、DO, 則OAC就是 二面角l的平面角，即 OAC 120，, BD=1 AO=1，在OAC中，AC=2， ,.,面面垂直的判定,.,一、二面角的定義：,二、二面角的表示方法：,三、二面角的平面角：,四、二面角的平面角的作法：,

7、五、二面角的計算：,二 面 角 AB 二 面 角 CAB D 二 面 角 l ,1、根據(jù)定義作出來定義法 2、利用直線和平面垂直作出來 垂線垂面法,1、找到或作出二面角的平面角 2、證明 1中的角就是所求的 角 3、計算所求的角,一“作”二“證”三“算”,從一條直線出發(fā)的兩個半 平面所組成的圖形叫做二 面角。這條直線叫做二面 角的棱。這兩個半平面叫 做二面角的面。,22,1、二面角的平面角 必須滿足三個條件 2、二面角的平面角 的大小與 其頂點 在棱上的位置無關(guān) 3、二面角的大小用 它的平面角的大 小來度量,復習回顧：,.,觀察下面兩個圖形,它們之間有什么關(guān)系?,.,.,如果兩個平面相交所成的

8、二面角是直二面角，那么我們稱這兩個平面相互垂直.,畫法：,記作：,一、兩個平面垂直的定義,.,二、兩個平面垂直的判定定理,如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直,已知：AB，AB. 求證：。,證明：設=CD， AB，CD，ABCD 在平面內(nèi)過點B作直線BECD，則ABE是二面角-CD-的平面角， 而ABBE，故-CD-是直二面角 。,.,兩個平面垂直的判定定理：,線線垂直,線面垂直,面面垂直,如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直.,.,例1：在正方體ABCDA1B1C1D1中, 求證：平面AA1C1C平面BB1D1D,例題講解：,.,例2如右圖：A

9、是BCD所在平面外一點，AB=AD，ABC=ADC=90，E是BD的中點，求證：平面AEC平面ABD,證明： ABC=ADC=90 AB=AD，AC=AC . ABC ADC. CB=CD 又 AB=AD， E是BD的中點， AE BD， CE BD, AE EC=E， BD 平面AEC. 又BD在平面BCD內(nèi)， 平面AEC平面ABD,若將此條件改為BAC=DAC=90，則結(jié)論成立嗎？,.,例3在空間四邊形ABCD中,若AB=BC, AD=CD,E為對角線AC的中點. 求證:平面ABC平面BDE,C,A,D,B,E,.,2.如果平面內(nèi)有一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線，則.（ ）,課堂練習,1.如果平面內(nèi)有一條直線垂直于平面內(nèi)的一條 直線，則.（ ）,3. 如果平面內(nèi)的一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線, 則.（ ）,一、判斷：,4.若m，m/，則.( ),.,1.過平面的一條垂線可作_個平面 與平面垂直.,2.過一點可作_個平面與已知平面垂直.,二、填空題：,3.過平面的一條斜線，可作_個平 面與平面垂直.,4.過平面的一條平行線可作_個平面與垂直.,一,無數(shù),無數(shù),一,.,在空間四邊形ABCD，AB=BC，AD=CD， E、F、G分別是AD、CD、AC的中點. 求證:平面BEF 平面BDG。,C,A,D