條件概率全概率貝葉斯公式

1、條件概率及乘法公式 全概率公式 貝葉斯公式,例1 設(shè)口袋里裝有 8 個(gè)球，5 個(gè)紅的，3 個(gè)白的。先從中隨機(jī),取出一球，然后把另一白球放入，再隨機(jī)抽取一球。,試求以下事件的概率：,A：第一次取的是白球。 B：第二次取的是白球。,解：,其中：,記作,記作,條件概率及乘法公式,乘法公式,例2 為防止意外，礦出內(nèi)設(shè)有兩種報(bào)警系統(tǒng)，單獨(dú)使用時(shí)，,系統(tǒng) A 有效的概率為0.92，系統(tǒng) B 有效的概率為0.93，,在系統(tǒng) A 失靈的情況下，系統(tǒng) B 有效的概率為0.85，,（1）C：發(fā)生意外時(shí)，這兩個(gè)系統(tǒng)至少一個(gè)有效。,求以下事件的概率。,（2）D：系統(tǒng) B 失靈的情況下，系統(tǒng) A 有效。,解：設(shè) A 表

2、示 “A 系統(tǒng)有效”，B 表示“ B 系統(tǒng)有效”。,由題目已知：,再由：,例2 為防止意外，礦出內(nèi)設(shè)有兩種報(bào)警系統(tǒng)，單獨(dú)使用時(shí)，,系統(tǒng) A 有效的概率為0.92，系統(tǒng) B 有效的概率為0.93，,在系統(tǒng) A 失靈的情況下，系統(tǒng) B 有效的概率為0.85，,（1）C：發(fā)生意外時(shí)，這兩個(gè)系統(tǒng)至少一個(gè)有效。,求以下事件的概率。,（2）D：系統(tǒng) B 失靈的情況下，系統(tǒng) A 有效。,解：設(shè) A 表示 “A 系統(tǒng)有效”，B 表示“ B 系統(tǒng)有效”。,由題目已知：,乘法公式還可以推廣至有限個(gè)事件的乘積的情形,例3 在一個(gè)化妝舞會(huì)上，有 20 個(gè)男同學(xué)，10 個(gè)女同學(xué)，試問(wèn)：,其中男同學(xué)GG請(qǐng)的第三個(gè)舞伴還不

3、是女同學(xué)的概率。,解：“請(qǐng)的第三個(gè)舞伴還不是女同學(xué)”相當(dāng)于“第一、第二、,第三次請(qǐng)的都是男同學(xué)”。,設(shè) 表示“第 次請(qǐng)的是男同學(xué)”。,則所求事件的概率是：,例4 在空戰(zhàn)中，甲機(jī)向乙機(jī)開火，擊落乙機(jī)的概率為 0.4，,若乙機(jī)未被擊落，就進(jìn)行還擊，擊落甲機(jī)的概率為0.5，,若甲機(jī)仍未被擊落，則再進(jìn)攻乙機(jī)，擊落乙機(jī)的概率為0.6，,求這幾個(gè)回合中，（1）甲機(jī)被擊落的概率；,（2）乙機(jī)被擊落的概率。,解：設(shè) A 表“乙機(jī)受第一次襲擊就被擊落”,B 表“甲機(jī)被擊落”,C 表“乙機(jī)受第二次進(jìn)攻時(shí)被擊落”,則“甲機(jī)被擊落”的概率,“乙機(jī)被擊落”的概率,先下手為強(qiáng)！,例1 設(shè)口袋里裝有 8 個(gè)球，5 個(gè)紅的，

4、3 個(gè)白的。先從中隨機(jī),取出一球，然后把另一白球放入，再隨機(jī)抽取一球。,試求以下事件的概率：,A：第一次取的是白球。 B：第二次取的是白球。,解：,回顧例1：,去解決問(wèn)題。,全概率公式,則對(duì)任一隨機(jī)事件 B ，有,（全概率公式）,證明：,定理 設(shè) 構(gòu)成一個(gè)完備事件組，且諸,例5 設(shè)播種用的麥種由一等、二等、三等、四等的種子混合而成，,四等種子長(zhǎng)出的麥穗含 50 粒以上麥粒的概率分別為,。求由這些種子所結(jié)的麥穗含 50 粒以上,麥粒的概率。,解：設(shè) 表示“此種子是第 等的”。,表示“所結(jié)的麥穗含 50 粒以上麥?！?則,例6 如上圖所示，求小孩取到紅球的概率。,解：設(shè) A 表示“從甲盒中取出紅球

5、”，,C 表示“從丙盒中取出紅球”。,則有：,B 表示“從乙盒中取出紅球”，,例6 如上圖所示，求小孩取到紅球的概率。,解：.,例6 如上圖所示，求小孩取到紅球的概率。,解：.,答案：,方法：數(shù)學(xué)歸納法。,有些問(wèn)題，利用它的層次感去看問(wèn)題是方便的，如前面 各例，但有些問(wèn)題則適宜整個(gè)面地去看。,例如：某班有20 個(gè)同學(xué)，采取抽簽的方式分配三張音樂(lè)會(huì) 門票, 求第二位同學(xué)MM抽到門票的概率.,方法一：第二位同學(xué)MM抽到門票的概率為,方法二：第二位同學(xué)MM抽到門票的概率為,例5* 設(shè)播種用的麥種由一等、二等、三等、四等的種子混合而成，,四等種子長(zhǎng)出的麥穗含 50 粒以上麥粒的概率分別為,。若某粒種子

6、所結(jié)的麥穗含 50 粒以上,表示“所結(jié)的麥穗含 50 粒以上麥?！?則,麥粒，問(wèn)它是一等品的概率是多少？,所求的概率為：,解：設(shè) 表示“此種子是第 等的”。,設(shè)播種用的麥種由一等、二等、三等、四等的種子混合而成，,四等種子長(zhǎng)出的麥穗含 50 粒以上麥粒的概率分別為,。,表示“所結(jié)的麥穗含 50 粒以上麥?！?設(shè) 表示“此種子是第 等的”。,在這個(gè)問(wèn)題中,則 稱為驗(yàn)前概率，,稱為驗(yàn)后概率。,求驗(yàn)后概率的公式,貝葉斯(Bayes)公式,（貝葉斯公式）,證明：,定理 設(shè) 構(gòu)成一個(gè)完備事件組，且諸,則對(duì)任一概率不為零的隨機(jī)事件 B ， 有,例7 某保險(xiǎn)公司針對(duì)人群中的某一類事故進(jìn)行一項(xiàng)經(jīng)營(yíng)分析，,認(rèn)為人可以分為“易出事故的”和“比較謹(jǐn)慎的”兩類。前者,在一年內(nèi)發(fā)生一起事故的概率是0.06，而后者在一年內(nèi)發(fā),發(fā)生一起事故的概率是0.02（假定不存在一年內(nèi)發(fā)生兩次,以上事故的情形），如果第一類人占人群的 ，那么，,一保險(xiǎn)新客戶在購(gòu)買保單的一年內(nèi)將發(fā)生一起事故的概,率是多少？若他（她）在一年內(nèi)真發(fā)生了一起事故，問(wèn),他（她）是易出事故的人的概率是多少？,解：設(shè) A 表示“該人屬于易出事故的那一類”，,B 表示“該人出事故了”。,則：,例8 艾滋病普查：使用一種血液試驗(yàn)來(lái)檢測(cè)人體內(nèi)是否有攜帶 艾滋病病毒。設(shè)這種試驗(yàn)的假陰性比例為 ，假陽(yáng)