函數(shù)的單調(diào)性案例分析

1、案例分析,南京市金陵中學(xué) 凌惠明,函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的單調(diào)性是蘇教版高中數(shù)學(xué)必修一第二章第2.1.3節(jié)的內(nèi)容，共2課時，我講的是第一課時中一些教學(xué)內(nèi)容的處理方法,在一杯溫水中，加入適量的糖，隨著糖的不斷加入，杯中的糖水就越來越甜,問題1： 在這一現(xiàn)象中，有定量也有變量，哪些是定量，哪些是變量？,問題2： 這兩個變量之間存在函數(shù)關(guān)系嗎？,情境的創(chuàng)設(shè),通過對學(xué)生所舉的具體函數(shù)的圖象的觀察，幫助學(xué)生總結(jié)從形的角度研究函數(shù)單調(diào)性的方法，讓學(xué)生認識到研究函數(shù)單調(diào)性的必要性,yx2,觀察某城市一天24小時氣溫變化圖,f (t)，t0，24,問題3：如何描述氣溫隨時間t的變化情況？,此環(huán)節(jié)學(xué)生憑借初中時對函

2、數(shù)的了解，很容易完成用“形”刻畫函數(shù)單調(diào)性問題，用氣溫變化函數(shù)圖象不僅是為了鞏固總結(jié)的規(guī)律，更是通過這個具體的情境理解函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì),“沿著x軸的正方向圖象是上升的，函數(shù)是單調(diào)增的；沿著x軸的正方向圖象是下降的，函數(shù)是單調(diào)減的”僅就圖象角度直觀描述函數(shù)單調(diào)性的特征學(xué)生并不感到困難 困難在于，把具體的、直觀形象的函數(shù)單調(diào)性的特征抽象出來，用數(shù)學(xué)的符號語言描述即把某區(qū)間上“隨著x的增大，y也增大”(單調(diào)增)這一特征用該區(qū)間上“任意的x1x2，有f(x1)f(x2)”(單調(diào)增)進行刻畫其中最難理解的是為什么要在區(qū)間上“任意”取兩個大小不等的x1，x2,問題4： 在區(qū)間4，14上，如何用

3、數(shù)學(xué)符號語言來刻 畫“隨t的增大而增大”這一特征？,如圖，研究函數(shù)f(t)，t0，24的圖象在區(qū)間4，14上的變化情況,在4，14上，取幾個不同的輸入值，例如t15，t26，t3 8，t410，得到相對應(yīng)的輸出值1，2，3，4在t1t2t3t4時，有1234，所以在4，14上，隨t的增大而增大,取區(qū)間內(nèi)n個輸入值t1，t2，t3， tn，得到相對應(yīng)的輸出值1，2，3，n，在t1t2t3tn時，有123n，所以在區(qū)間4，14上，隨t的增大而增大,在4，14上任取兩個值t1，t2，只要t1t2，就有12，就可以說在區(qū)間4，14上，隨t的增大而增大,此環(huán)節(jié)是本節(jié)課的重點，為了形成函數(shù)單調(diào)性的嚴(yán)格定義

4、，從一個具體的例子入手，給學(xué)生鋪設(shè)一個討論交流的平臺，促使學(xué)生自己經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的形成過程，從而加深對函數(shù)單調(diào)性定義的理解,問題5： 設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域為A，區(qū)間IA,在區(qū)間I上，y隨x的增大而增大，該如何用數(shù)學(xué)符號語言來刻畫呢？,在4，14上內(nèi)任取兩個值t1，t2，只要t1t2，就有12，就可以說在區(qū)間4，14上，隨t的增大而增大,函數(shù)yf(x)的定義域為A，區(qū)間IA，如果對于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個值x1，x2， 當(dāng)x1x2時，都有f(x1)f(x2)， 那么就說函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)增函數(shù)，區(qū)間I稱為函數(shù)y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間.,問題6： 如何定義單調(diào)減函數(shù)和單調(diào)減區(qū)間呢？,函

5、數(shù)yf(x)的定義域為A，區(qū)間I A，如果對于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個值x1，x2 當(dāng)x1x2時，都有f(x1)f(x2)， 那么就說函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)減函數(shù)， 區(qū)間I稱為函數(shù)y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間.,1.函數(shù)yf(x)，x 0，3的圖象如圖所示,區(qū)間0，3是該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間嗎？,概念辨析,2.對于二次函數(shù)f(x)x2，因為1，2(，)，當(dāng)12時，f(1)f(2)，所以函數(shù)f(x)x2在區(qū)間(，)上是單調(diào)增函數(shù),3.已知函數(shù)yf(x)的定義域為0，)，若對于任意的x20，都有f(x2)f(0)，則函數(shù)yf(x)在區(qū)間0，)上是單調(diào)減函數(shù),本節(jié)課從“形”和“數(shù)”兩個方面認識了函數(shù)的單

6、調(diào)性，利用數(shù)學(xué)符號語言刻畫函數(shù)的單調(diào)性，從感性認識上升到理性認識，同時也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)符號語言在描述問題時簡約化的特點,函數(shù)的奇偶性,函數(shù)的奇偶性最大的特征就是和圖象結(jié)合,教學(xué)的主導(dǎo)思想定為 自主探究、數(shù)形結(jié)合、教給學(xué)生方法,問題情境,感受生活中的對稱之美,用對稱的觀點看函數(shù)圖象,(1),(2),(3),(4),(5)、(6)則是(1)、(2)被污漬覆蓋了一部分后的情形，你有什么辦法將被覆蓋的部分準(zhǔn)確還原嗎？,根據(jù)函數(shù)圖像的對稱性，對于圖象(5)，只要在圖象(1)中將y軸左側(cè)的點關(guān)于y軸作對稱變換，便可將圖象還原；同理對于圖象(6)，只要在圖象(2)中將第一象限內(nèi)的點關(guān)于原點做對稱變換，便可將圖象

7、還原,此情景目的在于引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖象的對稱性并用對稱性解決問題,(2),(1),此情景目的在于引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)，僅憑觀察判斷函數(shù)圖象的對稱性是不可靠的，從而引發(fā)學(xué)生探求問題本質(zhì)的動機,探索如何用數(shù)學(xué)語言表述函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱,若函數(shù)圖象上任意一點關(guān)于原點的對稱點仍在此函數(shù)的圖象上時，該圖象便關(guān)于原點對稱,不妨設(shè)函數(shù)yf(x)，M(x，y)為其圖象上任一點，則M關(guān)于原點的對稱點M的坐標(biāo)為(x，y)，因為點M在函數(shù)圖象上，所以yf(x)成立；若點M也在函數(shù)圖象上，則應(yīng)有yf(x)成立，而對任一函數(shù)而言，當(dāng)yf(x)時，未必有yf(x)，只有f(x)f(x)時，兩式才同時成立,如果對于函數(shù)

8、f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有 f(x)f(x)， 那么稱函數(shù)yf(x)是奇函數(shù),如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有 f(x)f(x)， 那么稱函數(shù)yf(x)是偶函數(shù),如果函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，我們就說 f (x)具有奇偶性,本節(jié)課在教學(xué)實施的過程中還是遇到了一定的實際困難，有的同學(xué)對奇、偶函數(shù)的定義感到比較抽象，難于理解；有的同學(xué)對奇、偶函數(shù)的證明思路不夠明確 我認為這節(jié)課如果結(jié)合多媒體教學(xué)，讓學(xué)生結(jié)合多個函數(shù)的圖象觀察奇、偶函數(shù)的圖象的對稱性效果會更好些。,用二分法求方程的近似解,引導(dǎo)學(xué)生去探究發(fā)現(xiàn)“逼近”這個重要的數(shù)學(xué)思想,引導(dǎo)學(xué)生去探索縮小區(qū)間的“方法”,逼近思想應(yīng)該讓學(xué)生去探索,前一節(jié)課已經(jīng)研究了函數(shù)零點的概念，研究了函數(shù)零點附近兩側(cè)的函數(shù)值異號的特性，這兩者就構(gòu)成了思考這節(jié)課問題的基礎(chǔ)，就能成為這節(jié)課要學(xué)習(xí)的知識的生長點因而，這節(jié)課的教學(xué)就應(yīng)該建立在這個生長點上,證明：方程lnx3x在區(qū)間(2，3)上有解,上節(jié)課我們一起研究了與函數(shù)零點有關(guān)的問題，同學(xué)們你們覺得這節(jié)課應(yīng)該研究什么問題？,求lnx3x的解 ,求方程x22x10的實數(shù)根,求函數(shù)f(x)x22x1的零點,在區(qū)間(2，3)上f(x)有惟一的零點，則方程x22x10在區(qū)間(2，3)上有惟一的實數(shù)根， 能不能不用已有的公式，來尋找一個求