概率及概率密度分布函數(shù)

1、第一章概率和概率密度分布函數(shù)、系統(tǒng)狀態(tài)宏命令量、系統(tǒng)狀態(tài)微量、集成修正方法、最基本的概念、概率、1.1概率的基本概念、集成修正規(guī)定性、隨機現(xiàn)象和隨機上通告、隨機上通告發(fā)生的可能性的定義、概率的基本性質(zhì)， 由于概率的簡單的修正隨機現(xiàn)象：只能確定影響它們進化的一些因素，而不能確定或者不能特羅爾定某些因素，所以現(xiàn)象發(fā)展的結(jié)局不是唯一的，并且不能預(yù)測到究竟如何。 例如，容器中的氣體能夠控制容器的容積、氣體的壓力及其溫度，但由于我們無法控制氣體分子在熱運動中如何與其他分子以及如何與容器壁碰撞，因此無法預(yù)言各分子在每個時刻的空間位置和速度，氣體中的一個分子所處的空間位置及其隨機上通告：將在某些條件下可能發(fā)

2、生隨機現(xiàn)象的多個結(jié)果中的每一個稱為隨機上通告。 實驗性地觀測隨機現(xiàn)象，把在1次實驗中出現(xiàn)的不能再“分解”的上通告稱為基本隨機上通告。 例如，擲骰可能出現(xiàn)分數(shù)不同的隨機現(xiàn)象，在1次實驗中分別出現(xiàn)1分、2分、3分、4分、5分、6分，這是其6個基本的隨機上通告。 隨機現(xiàn)象的所有基本隨機上通告構(gòu)成基本上通告組，擲骰子的基本上通告組由上述6個基本上通告構(gòu)成。 復(fù)雜的隨機上通告3360某些隨機上通告b包括隨機上通告A1、A2、以及Am，即3360僅當(dāng)該m個上通告中出現(xiàn)時才在上通告b中出現(xiàn)。 這種隨機上通告b是復(fù)雜的隨機上通告。 以擲骰子為例，也可以將“擲出分數(shù)為5以上”作為隨機上通告記為b。 很明顯，不管

3、投出來的分數(shù)是5還是6，都會被訂正為發(fā)生了上通告b。 b上通告由“被投分數(shù)為5”的基本隨機上通告和另一個“被投分數(shù)為6”的基本隨機上通告構(gòu)成。 在這種情況下，隨機上通告b屬于復(fù)雜隨機上通告的基本隨機上通告組中的上通告彼此不兼容。 通常，在一次實驗中不能在云同步中出現(xiàn)的兩個隨機上通告是不兼容的隨機上通告。 兩個隨機上通告分別具有獨立性：在所選擇的隨機上通告a和b中，如果發(fā)生一方或另一方不受到影響，則a和b相互獨立。 例如，向云同步投擲2個骰子，不管一方是否在5點出現(xiàn)和另一方是否在3點出現(xiàn)，盡管在云同步上發(fā)生了2個骰子分別在5點和3點出現(xiàn)的2個隨機上通告，但都是相互獨立的。 就骰子而言，不管“這次

4、投擲是否到5點”和“下次投擲是否到3點”，盡管連續(xù)投擲2次，這兩個隨機事件都是各自獨立的。 并且，以本過程中特別引人注目的氣體分子的速度為例，一分子速度的x成分處于多大的區(qū)間和其y成分處于多大的區(qū)間、z成分處于多大的區(qū)間，是相互獨立的。隨機現(xiàn)象、基本隨機上通告、基本上通告組、復(fù)雜隨機上通告、A1、A2、An、Am-1、Am、1這種裝置通常被稱為garton板。 加爾頓大板塊，在使球從美甲大板塊上滾動，與大板塊上的鐵元素的釘子不規(guī)則地碰撞，滾動的途中受到力的復(fù)雜的細節(jié)或者人為的控制特羅爾丟失，特別是使多個小的球向云同步或者連續(xù)地沿美甲大板塊落下時， 不能一個一個控制下落初始狀態(tài)的各個小球的運動雖

5、然遵循牛頓力學(xué)規(guī)律，但由于它們離開釘溝的速度大小和方向都具有偶然性，對于各個小球來說，不能預(yù)測其滾動下落到大木箱的哪個格子。 1 .現(xiàn)在，不改變木溝的傾斜度，先把少量的小球從美甲大板塊中撒出來，它們滾動到箱子中的各個格里分布。 盡量將同樣數(shù)量的小球再次撒一次，可知各格中小球的分布有明顯的差異。 2 .現(xiàn)在，撒了大量的小球，箱子里的各格接受的小球的數(shù)量不相等，越是兩邊的格小球的數(shù)量越少，中間的一格中掉到小球的數(shù)量最多。 到底哪個格子中最多，和樹溝的傾斜有關(guān)。 再撒一次相同數(shù)量的小球，不能如上所述地特羅爾各個小球的運動軌跡，所以考慮到箱子里的哪個方格完全具有偶然性，可能還像撒少量的小球時那樣，出現(xiàn)

6、與上次明顯不同的分布。 但是，實際上，如果樹木的槽的傾斜度一定，那么球的數(shù)量多于一盞茶，總數(shù)不變，球的擺動方式也盡可能相同，則通過多次實驗得到的結(jié)果相互非常接近。 加爾頓板實驗結(jié)論：個大球落在大盒各格中的分布不再具有偶然性，在一定條件下，整個大隨機事件，具有相對穩(wěn)定的特性是必然的規(guī)律，表明這是一種統(tǒng)訂規(guī)定性。 統(tǒng)一規(guī)定性包含個別隨機事件的偶然性：多數(shù)小球中的一個打算染成不同的顏色，但多次實驗中各格的小球數(shù)穩(wěn)定分布的話，云同步中該可識別的染色小球出現(xiàn)于哪個格完全不決定。 統(tǒng)一的規(guī)定性必然伴隨著“干滿”現(xiàn)象。 在加爾頓大板塊實驗中，每次記錄下落的球數(shù)，發(fā)現(xiàn)每次實驗中球數(shù)的實際分布與經(jīng)過極其多的實驗

7、修正的平均分布有偏差。 這被稱為“干滿”，當(dāng)投擲的小球總數(shù)較少時，這種“干滿”現(xiàn)象就會變得明顯。 大量隨機上通告必然遵循的統(tǒng)一規(guī)定性依賴于個別隨機上通告的偶然性，伴隨著波動現(xiàn)象和統(tǒng)一規(guī)定性表明偶然性和必然性之間的辯證法關(guān)系。 1.1.3隨機上通告發(fā)生的可能性概率的定義：概率是統(tǒng)一修正規(guī)律中最基本的概念。 概率-表示發(fā)生隨機上通告的可能性有多大。 在規(guī)定的條件下，對隨機現(xiàn)象在一盞茶上進行多次觀測實驗，可以看到該現(xiàn)象中各種可能的隨機上通告。 設(shè)實驗的總次數(shù)為n，這里，設(shè)上通告a出現(xiàn)的次數(shù)為NA，定義為上通告a出現(xiàn)的次數(shù)。 該度數(shù)隨n而變化，但隨著n的增大，偶然因素的作用相對降低，隨機現(xiàn)象本身的固有

8、特性變得明顯，vA在某個值附近穩(wěn)定，只有越來越小的起伏。 在n大的情況下，度數(shù)趨向極限： PA被稱為上通告a出現(xiàn)的概率。 顯然，概率反映了隨機上通告出現(xiàn)的可能性，PA越大，出現(xiàn)上通告a的可能性越高。1.1.4概率的基本性質(zhì)，1 .任何上通告的概率PA必須為0 PA 1. PA=1，這意味著a上通告必須發(fā)生在預(yù)定條件下，而必然上通告PA=0在給定a上通告的條件下完全不發(fā)生，這是不可能的上通告。 2 .將加法定理A1、A2作為相互不相容的事件，如果在出現(xiàn)A1或A2時能夠認為出現(xiàn)了事件a，則將a表示為A1和A2的or (或稱為“and”) .表示為：A=A1 A2或A=A1A2。: PA=PA1 P

9、A2式中的PA、PA1和PA2分別是出現(xiàn)a、單獨出現(xiàn)A1和單獨出現(xiàn)A2的概率。 如果a是彼此不相容的多個隨機上通告的3:A=A1A2An則為3360、3 .基本隨機上通告組內(nèi)的各上通告的概率相同。 即包括某個隨機現(xiàn)象可能獨立出現(xiàn)的所有基本隨機上通告的4 .假設(shè)乘法定理a、b的兩個上通告不相容，在a、b中都發(fā)生的上通告為c，換句話說，c是在a和b兩者出現(xiàn)時實現(xiàn)的上通告，c只是a和b的“正交”(“積”) P(B|A )是在發(fā)生了a的前提下b上通告出現(xiàn)的概率，被稱為條件概率.a、b兩上通告相互獨立的情況下，即b出現(xiàn)的概率與是否附加了出現(xiàn)a的條件無關(guān)，相反也是同樣的： p (b|a )=p (a )=

10、PAPB雙方相容的獨立事件出現(xiàn)的概率等于兩獨立事件單獨出現(xiàn)的概率的乘積，這被稱為乘法定理。 校正多個不相容的獨立上通告出現(xiàn)的概率：1.1.5概率的簡單校正、1 .經(jīng)典隨機現(xiàn)象的概率的簡單校正：經(jīng)典隨機現(xiàn)象是： (1)該隨機現(xiàn)象的基本隨機上通告組的上通告數(shù)有限；(2)出現(xiàn)每個基本隨機上通告的概率相等例：投擲均質(zhì)、形狀規(guī)則的骰子，它有6個對稱面，投擲的分數(shù)為何，可能有6種等概率。 這是經(jīng)典的隨機現(xiàn)象。 例：容器內(nèi)有n個氣體分子，用假想截面把容器分成容積相等的a、b兩個部分，各個分子可以在a、b之間自由往來，n個分子可以相互區(qū)別，但只要分別獨立地具有同樣的熱運動，這些個的氣體分子在a、b兩個部分的分

11、布是可能的假設(shè)在古典隨機現(xiàn)象的基本隨機上通告組中包含n個基本上通告，則根據(jù)古典隨機現(xiàn)象應(yīng)滿足的條件，各基本上通告發(fā)生的概率為：- -(1.1.8)如果該具有隨機現(xiàn)象的復(fù)雜的隨機上通告c是m個基本上通告復(fù)合而成的，則c的概率為3360 為了討論隨機上通告和對應(yīng)概率之間的關(guān)系，1.2隨機變量和概率分布、隨機變量離散型隨機變量的概率分布連續(xù)型隨機變量的概率密度分布函數(shù)、1.2.1隨機變量首先對隨機上通告進行數(shù)值化，所以引入隨機變量在：觸摸的3個球中查找黑球的數(shù)量。 現(xiàn)在，加上這些個5個球號，(1)、(2)、(3)號是白球，(4)、(5)號是黑球。 有10種可能“接觸3個球”的結(jié)果w，參照表1.2.1

12、的第1列，分別列出了10種可能接觸的3個球的編號。 將隨機變量X(w )作為在每個可能的情況下接觸的黑球的數(shù)量，其值也如表1.2.1所示。 表1.2.1隨機上通告w和隨機變量X(w )、其中，所選擇的隨機變量可以取0、1、2三個實數(shù)值，并且可以區(qū)分三個不同的復(fù)雜的隨機上通告。 每個可能性是在給定條件下滿足明確要求的基本隨機上通告，它對應(yīng)的決策值，但是一個決策值可以對應(yīng)多個基本隨機上通告。 例如，X=1可能是六種對應(yīng)的不同類型。 例1-2-2硬幣的一方刻有國徽，另一方刻有貨幣價值。 扔硬幣。 落地時哪個面朝上是隨機的?？梢允孪燃s定刻有國徽的面朝上地與隨機變量X=1相對應(yīng)，刻有貨幣價值的面朝上地與

13、隨機變量X=0相對應(yīng)。 因此，類似地，可通過隨機變量識別某一數(shù)目不出現(xiàn)為任何隨機上通告。 例1-2-3瓦斯氣體分子在不斷的不規(guī)則的熱運動中，每個分子所處的空間位置和運動速度都是隨機時刻變化的。 各個分子的速率可以是隨機變量，其速度成分可以是隨機變量組，其空間位置坐標(biāo)也可以是隨機變量組。隨機變量分類：離散型隨機變量3360隨機變量(或隨機變量組)取的值可一個一個地列舉非離散型隨機變量：隨機變量(或隨機變量定徑套)取的值在無法一個一個地列舉的3360例1-2-3中，分子位置坐標(biāo)可以取某范圍內(nèi)的全部實數(shù)值，網(wǎng)羅性地分子的速度和速度這3個成分取值也是同樣的。 實際遇到的許多非離散型隨機變量具有良好的數(shù)

14、學(xué)性質(zhì)，根據(jù)數(shù)學(xué)家的定義，有被稱為連續(xù)型隨機變量的1.2.2離散型隨機變量的概率分布，為了完全描寫一個隨機現(xiàn)象，僅僅是其隨機變量x取哪個值是不一盞茶的，更重要的是知道取各個值的概率可取的值是將相應(yīng)的概率設(shè)為pi=p (x=Xi ) (I=1，2，n )來適當(dāng)?shù)剡x擇隨機變量，將不同的隨機上通告的概率p設(shè)定為對應(yīng)于各上通告的隨機變量x的函數(shù)： P=f(x )，將各自的概率設(shè)定為p和q，根據(jù)概率性正規(guī)化條件將p q=1(n=2，n )。 現(xiàn)從整體上看這種隨機現(xiàn)象的n次獨立實驗結(jié)果。 求出在該n次獨立測試序列中有n-1次出現(xiàn)上通告a (自然N-n1次出現(xiàn)b )的概率。 基于互不相容上通告的邏輯和的概率

15、相加定理： (1.2.2)式中的因子是在各種不同順序的n次實驗中出現(xiàn)n-1次a的組合的數(shù)量，通常記為。 利用二項式定理和公式(1-2-1)可以容易地證明由公式(1-2-2)給出的概率分布函數(shù)滿足歸一化條件：由于概率分布函數(shù)PN(n1 )是二項式展開中p的第n-1個冪的通項，因此將該分布稱為二項式分布從電線桿走n步后，試著求出到電線桿的距離為x的概率。 “隨機行走”是一個著名的概率問題。 不僅限于一維，即使每個步驟不相等，也需要更多的隨機變量。 物理上有很多問題的數(shù)學(xué)模型是“隨機行走”。 例如，布朗粒子的運動就像喝醉了，用“隨機步行”模型討論它們的位移是合適的。 要解決基本的隨機上通告，只有向東還是向西兩個方向。 他向東，向西，走道兒概率分別為p和q。 p可以相等也可以不等于q，例如，如果這條街的路面傾斜，則醉漢朝向上坡的概率比朝向下坡的概率小，另一方面，如果是街道水平，則可以認為p