量子力學(xué) 4.ppt

1、第四章 態(tài)和力學(xué)量的表象,在前面，我們基本是用坐標(biāo)函數(shù)描述體系的狀態(tài)并討論其性質(zhì)的，但正如在經(jīng)典力學(xué)中我們可以選擇不同的坐標(biāo)來(lái)描述粒子的運(yùn)動(dòng)一樣，量子力學(xué)中我們也可以選用其他變量的波函數(shù)來(lái)描述體系的狀態(tài)。 量子力學(xué)中態(tài)和力學(xué)量的具體表示方式稱(chēng)為表象。以前所采用的表象是坐標(biāo)表象。這一章我們討論其他表象，并介紹文獻(xiàn)中常用的狄喇克符號(hào)。,一、坐標(biāo)表象的波函數(shù),4.1 態(tài)的表象,是位置幾率,二、動(dòng)量表象的波函數(shù),和 可以互求，它們包含同樣多的信息。我們稱(chēng)這樣做是變換到了動(dòng)量表象, 可以稱(chēng)為動(dòng)量表象中的“波函數(shù)”,基諧振子基點(diǎn)：,三、 表象的波函數(shù)（ 為任意力學(xué)量）,4.2 算符的矩陣表示,在坐標(biāo)表象中

2、：,在 表象中：,于是有：,可見(jiàn) 必是一矩陣。,一、算符的矩陣表示,以 um* 乘以上式并積分，得,寫(xiě)成矩陣形式如下,1. 以二階矩陣為例：,2.厄密共軛矩陣和厄密矩陣 厄密共軛矩陣是厄密共軛算符的對(duì)應(yīng)物。對(duì)任意算符A得到下述矩陣元之間的關(guān)系,二、厄密算符的矩陣,于是我們知道，一個(gè)矩陣取其厄密共軛，相當(dāng)于矩陣轉(zhuǎn)置 后再取復(fù)共軛。即,當(dāng)一個(gè)矩陣等于它的厄密共軛矩陣，即滿(mǎn)足條件,時(shí)，稱(chēng)厄密自共軛矩陣，簡(jiǎn)稱(chēng)厄密矩陣。由(4.2-6)式和(4.2-8)式可知，厄密矩陣的矩陣元滿(mǎn)足下述關(guān)系,這一式子意味著，厄密矩陣的對(duì)角元（ ）為實(shí)數(shù)；而其余的 各個(gè)非對(duì)角元素，對(duì)于主對(duì)角線(xiàn)是復(fù)數(shù)共厄反射對(duì)稱(chēng)的。量子 力

3、學(xué)中要用厄密算符來(lái)描寫(xiě)力學(xué)量，所以同它們對(duì)應(yīng)的矩陣必 是厄密矩陣。由于厄密矩陣的對(duì)角元是實(shí)數(shù)，由此也可得到厄 密算符的本征值必定是實(shí)數(shù)的結(jié)論。,厄密算符的矩陣是厄密矩陣：,三、算符在自身表象中為對(duì)角陣,在其自身表象中的矩陣元,因此我們常說(shuō) 表象為以 為對(duì)角線(xiàn)的表象。在 ， 為對(duì)角的表象即以 ， 的共同本征函數(shù)為基矢的表象。,四、連續(xù)譜,在連續(xù)譜情況下，所有矩陣都是象征性的。,4.3 量子力學(xué)公式的矩陣表示,一、平均值公式（ 不顯含t）,二、薛定諤方程,左邊乘以 并積分：,三、本征方程,1. 本征方程,2. 求解本征值和本征矢 將(4.3-9)式中等號(hào)右邊部分移至左邊，得：,方程（4.3-10）

4、是一個(gè)線(xiàn)形齊次代數(shù)方程組：,這個(gè)方程組有非零解的條件是系數(shù)行列式等于零，即：,方程（4.3-11）稱(chēng)為久期方程。求解久期方程 可得到一組 值 它們就是F的本征值。把求得的i 分別代入 （4.3-10）式中就可以求得與這i 對(duì)應(yīng)的本征矢 其中i=1,2, n, 。,四、例題,設(shè)已知在 和 的共同表象中，算符 和 的矩陣分別為,求它們的本征值和歸一化的本征函數(shù)，最后將 和 對(duì)角化。,解：,（1）求 的本征值和本征函數(shù)。,設(shè)在 和 的共同表象中， 的本征函數(shù)為 ， 為所對(duì)應(yīng)的本征值。 本征方程為,即,齊次方程有非零解的條件是系數(shù)行列式等于零，即,展開(kāi)后整理得 即 即 的本征值為,利用歸一化條件，確定

5、常數(shù)a1.,因此，對(duì)應(yīng)于m=0 的本征函數(shù)是,利用歸一化條件求a3. 即,因此，對(duì)應(yīng)于m=0 的本征函數(shù)為,利用歸一化條件求a2, 即,因此對(duì)應(yīng)于m=-1的本征函數(shù)為,（2）求 的本征值和本征函數(shù) 設(shè) 的本征函數(shù)為 ，對(duì)應(yīng)于 。即,令 ，并將 的矩陣形式代入本征方程，即有,b1,b2,b3有非零解的條件是,由此得m=0, 1.對(duì)應(yīng)于,所以,同樣步驟得,(3)將 、 對(duì)角化,所謂對(duì)角化，即將 、 變換到自身的表象中去，,這里s為幺正變換矩陣 , 即將 在 和 的共同表象中 的本征函數(shù)按列排成矩陣而得：,于是,因?yàn)?R* = R （實(shí)數(shù)），所以：,（R+是共軛矩陣）,滿(mǎn)足上式的矩陣是幺正矩陣,對(duì)于

6、 ，幺正變換為,于是,4.4 狄喇克(Dirac)符號(hào),在幾何或經(jīng)典力學(xué)中，常用矢量形式討論問(wèn)題而不指明坐標(biāo)系。同樣，量子力學(xué)中描寫(xiě)態(tài)和力學(xué)量，也可以不用具體表象。這種描寫(xiě)的方式是狄喇克最先引用的，這樣的一套符號(hào)就稱(chēng)為狄拉克符號(hào)。,微觀體系的狀態(tài)可以用一種矢量來(lái)表示，它的符號(hào)是 ，稱(chēng)為刃矢（右矢），簡(jiǎn)稱(chēng)為刃，表示某一確定的刃 矢A，可以用符號(hào) 。微觀體系的狀態(tài)也可以用另一種 矢量來(lái)表示，這種矢量符號(hào)是 ，稱(chēng)為刁矢（左矢）， 簡(jiǎn)稱(chēng)為刁。表示某一確定的刁矢B可以用符號(hào) 。刃和 刁是兩種性質(zhì)不同的矢量，兩者不能相加，它們?cè)谕环N 表象中的相應(yīng)分量互為共厄復(fù)數(shù)。,刃和刁二者的關(guān)系是：,對(duì)于兩個(gè)態(tài) 和

7、，定義 代表一個(gè)復(fù)數(shù)，稱(chēng)為二者的內(nèi)積，并且,又，假定,態(tài)的歸一是,兩態(tài)正交是,Hermitian算符滿(mǎn)足條件,所以 是實(shí)數(shù)。本征方程是,平均值公式是:,基矢量集 的正交歸一性可表為,態(tài)矢量在表象 中的分解是,算符F在表象 中的矩陣元是,S-方程,現(xiàn)將一些公式的通常寫(xiě)法與用狄拉克符號(hào)的寫(xiě)法對(duì)照如下：,典型例題,用坐標(biāo)輪換的方法，寫(xiě)出 時(shí)， 的全部本征 函數(shù)，用球函數(shù) 表達(dá)。,例1、,解：我們知道 的全部本征函數(shù)為：,上面是 的一組本征函數(shù)。根據(jù)問(wèn)題的對(duì)稱(chēng)性， 當(dāng) 的取值同樣有 ，而 的本征函數(shù)，由上式將z 換為x, x換為y,y 換為z 得到，用 表示：,同樣的想法，通過(guò)同樣的方法，可找到對(duì)于 的 的全 部本征函數(shù)，即滿(mǎn)足,對(duì)于所得 （ ）的全部本征函數(shù)的正確性，我們 可以驗(yàn)證。例如對(duì)于,即 的確是 的本征函數(shù)，本征值是 。,選用不同的表象來(lái)描寫(xiě)態(tài)函數(shù)和經(jīng)典力學(xué)中選用不同的坐標(biāo)來(lái)表示一矢量是完全類(lèi)同的：選定力學(xué)量 （表象）相當(dāng)于選定