2018學高考數(shù)學二輪復習 第四板塊 拓視野 巧遷移練酷專題教學案 文

1、第四板塊 拓視野 巧遷移第一講創(chuàng)新應用問題一、實際應用問題(1)應用性問題敘述中往往含有文字語言、符號語言、圖表語言，要明確題中已知量與未知量的數(shù)學關系，要理解生疏的情境、名詞、概念，將實際問題數(shù)學化.(2)建立數(shù)學模型后，運用恰當?shù)臄?shù)學方法解模(如借助不等式、導數(shù)等工具加以解決).典例(1)一個邊長為6的正方形鐵片，鐵片的四角分別截去邊長為x的小正方形，然后做成一個無蓋方盒，當無蓋方盒的容積最大時，x的值應為()A6B3C1 D.解析無蓋方盒的底面邊長為62x，高為x，其容積V(x)(62x)2x4x324x236x(0x3)，則V(x)12x248x3612(x1)(x3)，當x(0,1)

2、時，V(x)0，函數(shù)V(x)單調遞增；當x(1,3)時，V(x)0，函數(shù)V(x)單調遞減故當x1時，無蓋方盒的容積最大答案C(2)(2016四川高考)某公司為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)資金投入，若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是()(參考數(shù)據(jù)：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)A2018年 B2019年C2020年 D2021年解析設2015年后的第n年該公司投入的研發(fā)資金開始超過200萬元由130(112%)n200，得1.12n，兩邊取常用對數(shù)，得

3、n，n4，從2019年開始，該公司投入的研發(fā)資金開始超過200萬元答案B反思領悟解答應用性問題要先審清題意，然后將文字語言轉化為數(shù)學符號語言，最后建立恰當?shù)臄?shù)學模型求解其中，函數(shù)、數(shù)列、不等式、概率統(tǒng)計是較為常見的模型創(chuàng)新預測為了整頓道路交通秩序，某地考慮將對行人的交通違規(guī)行為進行處罰教育為了更加詳細地研究處罰金額對闖紅燈人數(shù)的作用，在某一個路口進行了五天試驗，得到當天的處罰金額與闖紅燈人數(shù)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：當天處罰金額x(單位：元)05101520當天闖紅燈人數(shù)y8050402010(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，建立當天闖紅燈人數(shù)y關于當天處罰金額x的回歸直線方程；(2)現(xiàn)按照處罰金額用分層抽樣的方法

4、，從這五天闖紅燈的人中抽取40人進行交通安全教育，再從這40人中被處罰的金額為15元和20元的行人中，隨機抽取2人進行重點教育，求所抽取的2人被處罰金額不同的概率參考公式：，.解：(1)由題意得(05101520)10，(8050402010)40，iyi0805501040152020101 150，025100225400750，所以3.4，403.41074，所以當天闖紅燈人數(shù)y關于當天處罰金額x的回歸直線方程為3.4x74.(2)這五天中闖紅燈的行人共計200人，從中抽取40人，則抽樣比為，故應從被處罰金額為15元的行人中抽取204(人)，記為A1，A2，A3，A4；應從被處罰金額為2

5、0元的行人中抽取102(人)，記作B1，B2.從上述6人中隨機抽取2人的基本事件有A1，A2，A1，A3，A1，A4，A1，B1，A1，B2，A2，A3，A2，A4，A2，B1，A2，B2，A3，A4，A3，B1，A3，B2，A4，B1，A4，B2，B1，B2，共15個記“所抽取的2人被處罰金額不同”為事件M，則M包含的基本事件有A1，B1，A1，B2，A2，B1，A2，B2，A3，B1，A3，B2，A4，B1，A4，B2，共8個故P(M).二、創(chuàng)新性問題(1)以新概念、新定義給出的信息遷移型創(chuàng)新題，運用“老知識”解決新問題是關鍵.(2)以新運算給出的發(fā)散型創(chuàng)新題，檢驗運算能力、數(shù)據(jù)處理能力.

6、(3)以命題的推廣給出的類比、歸納型創(chuàng)新題，要注意觀察特征、尋找規(guī)律，充分運用特殊與一般的辯證關系進行求解.典例設D是函數(shù)yf(x)定義域內(nèi)的一個區(qū)間，若存在x0D，使得f(x0)x0，則稱x0是f(x)的一個“次不動點”，也稱f(x)在區(qū)間D上存在“次不動點”若函數(shù)f(x)ax23xa在區(qū)間1,4上存在“次不動點”，則實數(shù)a的取值范圍是()A(，0B.C. D.解析由題意，方程ax23xax在區(qū)間1,4上有解，顯然x1，所以方程ax23xax在區(qū)間(1,4上有解，即求函數(shù)a在區(qū)間(1,4上的值域，令t4x5，則t(1,11，a，當t(1,0時，a0；當t(0,11時，0a，當且僅當t3時取等

7、號綜上，實數(shù)a的取值范圍是.答案C反思領悟高中數(shù)學創(chuàng)新試題呈現(xiàn)的形式是多樣化的，但是考查的知識和能力并沒有太大的變化，解決創(chuàng)新性問題應注意三點：認真審題，確定目標；深刻理解題意；開闊思路，發(fā)散思維，運用觀察、比較、類比、猜想等進行合理推理，以便為邏輯思維定向方向確定后，又需借助邏輯思維，進行嚴格推理論證，這兩種推理的靈活運用，兩種思維成分的交織融合，便是處理這類問題的基本思想方法和解題策略創(chuàng)新預測1定義：如果一個列從第二項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常，那么這個列叫作等差列，這個常叫作等差列的公差已知向量列an是以a1(1,3)為首項，公差為d(1,0)的等差向量列，若向量an與非零

8、向量bn(xn，xn1)(nN*)垂直，則_.解析：易知an(1,3)(n1,0)(n,3)，因為向量an與非零向量bn(xn，xn1)(nN*)垂直，所以，所以.答案：2(2017青島一模)如果對定義在R上的函數(shù)f(x)，對任意兩個不相等的實數(shù)x1，x2，都有x1f(x1)x2f(x2)x1f(x2)x2f(x1)，則稱函數(shù)f(x)為“H函數(shù)”給出下列函數(shù)：yx2；yex1；y2xsin x；f(x)以上函數(shù)是“H函數(shù)”的所有序號為_解析：由不等式x1f(x1)x2f(x2)x1f(x2)x2f(x1)，得x1f(x1)f(x2)x2f(x2)f(x1)0，即(x1x2)f(x1)f(x2)

9、0.所以函數(shù)f(x)為定義域R上的單調增函數(shù)yx2在(，0上單調遞減，在0，)上單調遞增，不合題意；因為yex1，所以yex0，故該函數(shù)在R上為單調增函數(shù)，滿足題意；因為y2xsin x，所以y2cos x0，故該函數(shù)在R上為單調增函數(shù)，滿足題意；顯然，函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，而偶函數(shù)在y軸兩側的單調性相反，故不合題意綜上，為“H函數(shù)”答案：3.如圖，在平面斜坐標系xOy中，xOy，平面上任意一點P關于斜坐標系的斜坐標這樣定義：若xe1ye2(其中e1，e2分別是x軸，y軸正方向上的單位向量)，則點P的斜坐標為(x，y)，向量的斜坐標為(x，y)給出以下結論：若60，P(2，1)，則|；若P(x

10、1，y1)，Q(x2，y2)，則(x1x2，y1y2)；若(x1，y1)，(x2，y2)，則x1x2y1y2；若60，以O為圓心、1為半徑的圓的斜坐標方程為x2y2xy10.其中所有正確結論的序號是_解析：對于，OP是兩鄰邊長分別為2,1，且一內(nèi)角為60的平行四邊形較短的對角線，解三角形可知|，故正確；對于，若P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則(x1x2，y1y2)，故正確；對于，(x1，y1)，(x2，y2)，所以(x1e1y1e2)(x2e1y2e2)，因為e1e20，所以x1x2y1y2，故錯誤；對于，設圓O上任意一點為P(x，y)，因為|OP|1，所以(xe1ye2)21，所以x2

11、y2xy10，故正確故填.答案：三、數(shù)學文化問題高考中數(shù)學文化問題，往往以古代數(shù)學名著如九章算術數(shù)書九章算數(shù)書等為背景，考查高中數(shù)學中的三角函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、算法等知識，體現(xiàn)數(shù)學的科學價值和人文價值.1三角函數(shù)中的數(shù)學文化典例第24屆國際數(shù)學家大會會標是以我國古代數(shù)學家趙爽的弦圖為基礎進行設計的如圖，會標是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較大的銳角為，那么tan_.思路分析本題先根據(jù)題意確定大、小正方形的邊長，再由直角三角形中銳角的三角函數(shù)值確定角滿足的條件，由此依據(jù)相關的三角函數(shù)公式進行計算即可解析依題意得大

12、、小正方形的邊長分別是1,5，于是有5sin 5cos 1，即有sin cos .從而(sin cos )22(sin cos )2，則sin cos ，因此sin ，cos ，tan ，故tan7.答案7相關鏈接1 700多年前，趙爽繪制了極富創(chuàng)意的弦圖，采用“出入相補”原理使得勾股定理的證明不證自明該題取材于第24屆國際數(shù)學家大會會標，題干大氣，設問自然，流露出豐富的文化內(nèi)涵既巧妙地考查了三角函數(shù)的相關知識，又豐富了弦圖的內(nèi)涵，如正方形四邊相等寓言各國及來賓地位平等，小正方形和三角形緊緊簇擁在一起，表明各國數(shù)學家要密切合作交流等等創(chuàng)新預測歐拉公式eixcos xisin x是由瑞士著名數(shù)學

13、家歐拉發(fā)明的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)之間的關系，它在復變函數(shù)論里占有非常重要的地位，被譽為“數(shù)學中的天橋”根據(jù)歐拉公式，復數(shù)ee(1i)2的虛部是()A1B1C2 D2解析：選D依題意得，ee(1i)22i12i，其虛部是2.2數(shù)列中的數(shù)學文化典例(2017全國卷)我國古代數(shù)學名著算法統(tǒng)宗中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈()A1盞 B3盞C5盞 D9盞思路分析此問題實質是等比數(shù)列問題，相當于已知S7，求a1.解析每層

14、塔所掛的燈數(shù)從上到下構成等比數(shù)列，記為an，則前7項的和S7381，公比q2，依題意，得S7381，解得a13.答案B相關鏈接我國古代數(shù)學強調“經(jīng)世濟用”，注重算理算法，其中很多問題可轉化為等差(或等比)數(shù)列問題，因此，各級各類考試試卷中涉及等差(或等比)數(shù)列的數(shù)學文化題也頻繁出現(xiàn)解決這類問題的關鍵是將古代實際問題轉化為現(xiàn)代數(shù)學問題，運用等差、等比數(shù)列的概念、通項公式和前n項和公式求解創(chuàng)新預測中國古代數(shù)學著作算法統(tǒng)宗中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還”其意思為：有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每

15、天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地，請問第二天走了()A192里 B96里C48里 D24里解析：選B依題意，每天走的路程成公比為等比數(shù)列，設等比數(shù)列an的首項為a1，公比為q，依題意有378，解得a1192，則a219296，即第二天走了96里3立體幾何中的數(shù)學文化典例(1)“牟合方蓋”是我國古代數(shù)學家劉徽在研究球的體積的過程中構造的一個和諧優(yōu)美的幾何體它由完全相同的四個曲面構成，相對的兩個曲面在同一個圓柱的側面上，好似兩個扣合(牟合)在一起的方形傘(方蓋)其直觀圖如圖所示，當其正視圖和側視圖完全相同時，它的正視圖和俯視圖分別是()Aa，bBa，cCc，bDb，d思路分析觀察題目

16、所給直觀圖，理解題干中有關“牟合方蓋”的特征敘述，結合“當其正視圖和側視圖完全相同時”這個關鍵條件作答解析當正視圖和側視圖完全相同時，“牟合方蓋”相對的兩個曲面正對前方，正視圖為一個圓，俯視圖為一個正方形，且兩條對角線為實線，故選A.答案A相關鏈接“牟合方蓋”是我國古代利用立體幾何模型和數(shù)學思想方法解決數(shù)學問題的代表之一本題取材于“牟合方蓋”，通過加工改造，添加解釋和提供直觀圖的方式降低了理解題意的難度解題從識“圖”到想“圖”再到構“圖”，考生要經(jīng)歷分析、判斷的邏輯過程(2)我國南北朝時期數(shù)學家、天文學家祖暅，提出了著名的祖暅原理“冪勢既同，則積不容異”“冪”是截面積，“勢”是幾何體的高，意思

17、是兩等高立方體，若在每一等高處的截面積都相等，則兩立方體體積相等已知某不規(guī)則幾何體與如圖所對應的幾何體滿足“冪勢同”，則該不規(guī)則幾何體的體積為()A4 B8C8 D82思路分析根據(jù)題設所給的三視圖，可知其所對應幾何體是從一個正方體中挖去一個半圓柱，再根據(jù)祖暅原理和有關數(shù)據(jù)計算即可解析由祖暅原理可知，該不規(guī)則幾何體的體積與已知三視圖的幾何體體積相等根據(jù)題設所給的三視圖，可知圖中的幾何體是從一個正方體中挖去一個半圓柱，正方體的體積為238，半圓柱的體積為(12)2，因此該不規(guī)則幾何體的體積為8.答案C相關鏈接祖暅原理是我國古代數(shù)學家祖暅提出的一個有關幾何求積的著名定理，祖暅提出這個原理，要比其他國

18、家的數(shù)學家早一千多年人民教育出版社數(shù)學必修2(A版)第30頁“探究與發(fā)現(xiàn)”中專門介紹了祖暅原理本題取材于祖暅原理，考查幾何體的三視圖和體積計算，既檢測了考生的基礎知識和基本技能，又展示了中華民族的優(yōu)秀傳統(tǒng)文化創(chuàng)新預測(2017武漢模擬)中國古代數(shù)學名著九章算術中記載了公元前344年商鞅監(jiān)制的一種標準量器商鞅銅方升，其三視圖如圖所示(單位：寸)，若取3，其體積為12.6(單位：立方寸)，則圖中的x為()A1.2 B1.6C1.8 D2.4解析：選B該幾何體是一個組合體，左邊是一個底面半徑為的圓柱，右邊是一個長、寬、高分別為5.4x,3，1的長方體，組合體的體積VV圓柱V長方體2x(5.4x)31

19、12.6(其中3)，解得x1.6.4算法中的數(shù)學文化典例(1)秦九韶是我國南宋時期的數(shù)學家，普州(現(xiàn)四川省安岳縣)人，他在所著的數(shù)書九章中提出的多項式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進的算法如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項式值的一個實例若輸入n，x的值分別為3,2，則輸出v的值為()A9 B18C20 D35思路分析讀懂程序框圖，按程序框圖依次執(zhí)行即可解析由程序框圖知，初始值：n3，x2，v1，i2，第一次循環(huán)：v4，i1；第二次循環(huán)：v9，i0；第三次循環(huán)：v18，i1.結束循環(huán)，輸出當前v的值18.故選B.答案B相關鏈接九章算術系統(tǒng)總結了我國古代人民的優(yōu)秀數(shù)學思想，開創(chuàng)了構造

20、算法以解決各類問題的東方數(shù)學發(fā)展的光輝道路，這與當今計算機科學的飛速發(fā)展對數(shù)學提出的要求不謀而合(2)(2017安徽二校聯(lián)考)如圖所示的程序框圖的算法思想源于數(shù)學名著幾何原本中的“輾轉相除法”，執(zhí)行該程序框圖(圖中“m MOD n”表示m除以n的余數(shù))，若輸入的m，n分別為495,135，則輸出的m()A0 B5C45 D90解析該程序框圖是求495與135的最大公約數(shù)，由495135390,13590145,90452，所以495與135的最大公約數(shù)是45，所以輸出的m45.答案C創(chuàng)新預測公元263年左右，我國數(shù)學家劉徽發(fā)現(xiàn)當圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時，多邊形面積可無限逼近圓的面積，并創(chuàng)

21、立了“割圓術”，利用“割圓術”劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點后兩位的近似值3.14，這就是著名的“徽率”如圖是利用劉徽的“割圓術”思想設計的一個程序框圖，則輸出n的值為_(參考數(shù)據(jù)：sin 150.258 8，sin 7.50.130 5)解析：n6，S6sin 602.598 13.1，不滿足條件，進入循環(huán)；n12，S12sin 3033.1，不滿足條件，繼續(xù)循環(huán)；n24，S24sin 15120.258 83.105 63.1，滿足條件，退出循環(huán)，輸出n的值為24.答案：241(2017大連二模)定義運算：xy例如：343，(2)44，則函數(shù)f(x)x2(2xx2)的最大值為()A0B1C2

22、 D4解析：選D由題意可得f(x)x2(2xx2)當0x2時，f(x)0,4；當x2或x0時，f(x)(，0)綜上可得函數(shù)f(x)的最大值為4.2朱載堉(15361611)，是中國明代一位杰出的音樂家、數(shù)學家和天文歷算家，他的著作律學新說中制成了最早的“十二平均律”十二平均律是目前世界上通用的把一組音(八度)分成十二個半音音程的律制，各相鄰兩律之間的頻率之比完全相等，亦稱“十二等程律”即一個八度13個音，相鄰兩個音之間的頻率之比相等，且最后一個音是最初那個音的頻率的2倍設第三個音的頻率為f1，第七個音的頻率為f2.則()A. B.C4 D.解析：選A設13個音的頻率所成的等比數(shù)列an的公比為q

23、，則依題意，有a13a1q122a1，所以q2，所以q42.3(2017宜昌三模)已知甲、乙兩車間的月產(chǎn)值在2017年1月份相同，甲車間以后每個月比前一個月增加相同的產(chǎn)值，乙車間以后每個月比前一個月增加產(chǎn)值的百分比相同到2017年7月份發(fā)現(xiàn)兩車間的月產(chǎn)值又相同，比較甲、乙兩個車間2017年4月份月產(chǎn)值的大小，則()A甲車間大于乙車間 B甲車間等于乙車間C甲車間小于乙車間 D不確定解析：選A設甲車間以后每個月比前一個月增加相同的產(chǎn)值a，乙車間每個月比前一個月增加產(chǎn)值的百分比為x，甲、乙兩車間的月產(chǎn)值在2017年1月份均為m，則由題意得m6am(1x)6.4月份甲車間的月產(chǎn)值為m3a,4月份乙車間

24、的月產(chǎn)值為m(1x)3，由知，(1x)61，即4月份乙車間的月產(chǎn)值為m，(m3a)2(m26ma)9a20，m3a，即4月份甲車間的月產(chǎn)值大于乙車間的月產(chǎn)值4.如圖，某廣場要規(guī)劃一矩形區(qū)域ABCD，并在該區(qū)域內(nèi)設計出三塊形狀、大小完全相同的小矩形綠化區(qū)，這三塊綠化區(qū)四周均設置有1 m寬的走道，已知三塊綠化區(qū)的總面積為200 m2，則該矩形區(qū)域ABCD占地面積的最小值為()A248 m2 B288 m2C328 m2 D368 m2解析：選B設綠化區(qū)域小矩形的寬為x，長為y，則3xy200，y，故矩形區(qū)域ABCD的面積S(3x4)(y2)(3x4)2086x2082288，當且僅當6x，即x時取

25、“”，矩形區(qū)域ABCD的面積的最小值為288 m2.5已知函數(shù)yf(x)(xR)，對函數(shù)yg(x)(xR)，定義g(x)關于f(x)的“對稱函數(shù)”為函數(shù)yh(x)(xR)，yh(x)滿足：對任意的xR，兩個點(x，h(x)，(x，g(x)關于點(x，f(x)對稱若h(x)是g(x)關于f(x)3xb的“對稱函數(shù)”，且h(x)g(x)恒成立，則實數(shù)b的取值范圍是_解析：根據(jù)“對稱函數(shù)”的定義可知，3xb，即h(x)6x2b，h(x)g(x)恒成立，等價于6x2b，即3xb恒成立，設F(x)3xb，m(x)，作出兩個函數(shù)對應的圖象如圖所示，當直線和上半圓相切時，圓心到直線的距離d2，即|b|2，b

26、2或b2(舍去)，即要使h(x)g(x)恒成立，則b2，即實數(shù)b的取值范圍是(2，)答案：(2，)6三國魏人劉徽，自撰海島算經(jīng)，專論測高望遠其中有一題：今有望海島，立兩表齊，高三丈，前后相去千步，令后表與前表相直從前表卻行一百二十三步，人目著地取望島峰，與表末參合從后表卻行百二十七步，人目著地取望島峰，亦與表末參合問島高及去表各幾何？譯文如下：要測量海島上一座山峰A的高度AH，立兩根高均為3丈的標桿BC和DE，前后標桿相距1 000步，使后標桿桿腳D與前標桿桿腳B與山峰腳H在同一直線上，從前標桿桿腳B退行123步到F，人眼著地觀測到島峰，A，C，F(xiàn)三點共線，從后標桿桿腳D退行127步到G，人眼

27、著地觀測到島峰，A，E，G三點也共線，問島峰的高度AH_步(古制：1步6尺，1里180丈1 800尺300步)解析：如圖所示，由題意知BCDE5步，BF123步，DG127步，設AHh步，因為BCAH，所以BCFHAF，所以，所以，即HF.因為DEAH，所以GDEGHA，所以，所以，即HG，由題意(HG127)(HF123)1 000，即41 000，h1 255，即AH1 255步答案：1 2557對于定義在區(qū)間D上的函數(shù)f(x)，若存在閉區(qū)間a，bD和常數(shù)c，使得對任意x1a，b，都有f(x1)c，且對任意x2D，當x2a，b時，f(x2)c恒成立，則稱函數(shù)f(x)為區(qū)間D上的“平頂型”函

28、數(shù)給出下列結論：“平頂型”函數(shù)在定義域內(nèi)有最大值；函數(shù)f(x)x|x2|為R上的“平頂型”函數(shù)；函數(shù)f(x)sin x|sin x|為R上的“平頂型”函數(shù)；當t時，函數(shù)f(x)是區(qū)間0，)上的“平頂型”函數(shù)其中正確的結論是_(填序號)解析：由于“平頂型”函數(shù)在區(qū)間D上對任意x1a，b，都有f(x1)c，且對任意x2D，當x2a，b時，f(x2)c恒成立，所以“平頂型”函數(shù)在定義域內(nèi)有最大值c，正確；對于函數(shù)f(x)x|x2|，當x2時，f(x)2，當x2時，f(x)2x22，所以正確；函數(shù)f(x)sin x|sin x|是周期為2的函數(shù)，所以不正確；對于函數(shù)f(x)，當x1時，f(x)2，當x

29、1時，f(x)2，所以正確答案：8(2018屆高三蘭州八校聯(lián)考)某公司為了變廢為寶，節(jié)約資源，新研發(fā)了一個從生活垃圾中提煉生物柴油的項目，經(jīng)測算，該項目月處理成本y(單位：元)與月處理量x(單位：噸)之間近似滿足函數(shù)關系y且每處理一噸生活垃圾，可得到能利用的生物柴油的價值為200元，若該項目不獲利，政府將給予補貼(1)當x200,300時，判斷該項目能否獲利如果能獲利，求出最大利潤；如果不能獲利，則政府每個月至少需要補貼多少元才能使該項目不虧損(2)該項目每月處理量為多少噸時，才能使每噸生活垃圾的平均處理成本最低？解：(1)當x200,300時，設該項目所獲利潤為S，則S200x(x400)2

30、，所以當x200,300時，S0，因此該項目不能獲利當x300時，S取得最大值5 000，所以政府每個月至少需要補貼5 000元才能使該項目不虧損(2)由題意可知，每噸生活垃圾的平均處理成本為f(x)當x120,144)時，f(x)x280x5 040(x120)2240，所以當x120時，f(x)取得最小值240；當x144,500時，f(x)x2002200200，當且僅當x，即x400時，f(x)取得最小值200，因為200240，所以當每月處理量為400噸時，才能使每噸生活垃圾的平均處理成本最低9為了維持市場持續(xù)發(fā)展，壯大集團力量，某集團在充分調查市場后決定從甲、乙兩種產(chǎn)品中選擇一種進

31、行投資生產(chǎn)，打入國際市場已知投資生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的有關數(shù)據(jù)如下表(單位：萬美元)：年固定成本每件產(chǎn)品的成本每件產(chǎn)品的銷售價每年可最多生產(chǎn)的件數(shù)甲產(chǎn)品20a10200乙產(chǎn)品40818120其中年固定成本與年生產(chǎn)的件數(shù)無關，a為常數(shù)，且6a8.另外，當年銷售x件乙產(chǎn)品時需上交0.05x2萬美元的特別關稅，假設所生產(chǎn)的產(chǎn)品均可售出(1)寫出該集團分別投資生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品的年利潤y1，y2與生產(chǎn)相應產(chǎn)品的件數(shù)x(xN*)之間的函數(shù)關系式；(2)分別求出投資生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的最大年利潤；(3)如何決定投資可使年利潤最大解：(1)y1(10a)x20(1x200，xN*)，y20.05x210x40(1x1

32、20，xN*)(2)10a0，故y1為增函數(shù)，當x200時，y1取得最大值1 980200a，即投資生產(chǎn)甲產(chǎn)品的最大年利潤為(1 980200a)萬美元y20.05(x100)2460(1x120，xN*)，當x100時，y2取得最大值460，即投資生產(chǎn)乙產(chǎn)品的最大年利潤為460萬美元(3)為研究生產(chǎn)哪種產(chǎn)品年利潤最大，我們采用作差法比較：由(2)知生產(chǎn)甲產(chǎn)品的最大年利潤為(1 980200a)萬美元，生產(chǎn)乙產(chǎn)品的最大年利潤為460萬美元，(1 980200a)4601 520200a，且6a8，當1 520200a0，即6a7.6時，投資生產(chǎn)甲產(chǎn)品200件可獲得最大年利潤；當1 520200

33、a0，即a7.6時，生產(chǎn)甲產(chǎn)品與生產(chǎn)乙產(chǎn)品均可獲得最大年利潤；當1 520200a0，即7.6a8時，投資生產(chǎn)乙產(chǎn)品100件可獲得最大年利潤10某校為了解校園安全教育系列活動的成效，對全校3 000名學生進行一次安全意識測試，根據(jù)測試成績，評定為“優(yōu)秀”“良好”“及格”“不及格”四個等級，現(xiàn)隨機抽取部分學生的答卷，統(tǒng)計結果如下表，其對應的頻率分布直方圖如圖所示.等級不及格及格良好優(yōu)秀成績70,90)90,110)110,130)130,150頻數(shù)6a24b(1)求a，b，c的值；(2)試估計該校安全意識測試被評定為“優(yōu)秀”的學生人數(shù)；(3)采用分層抽樣的方法，從評定等級為“優(yōu)秀”和“良好”的學

34、生中任選6人進行強化培訓然后從這6人中任選2人參加市級校園安全知識競賽，求選取的2人中有1人為“優(yōu)秀”的概率解：(1)由頻率分布直方圖可知，成績在70,90)的頻率為0.005200.1，由成績在70,90)內(nèi)的頻數(shù)為6，可知抽取的學生答卷數(shù)為60，則6a24b60，即ab30.由頻率分布直方圖可知，成績在130,150內(nèi)的頻率為0.010200.2，即0.2.由得a18，b12.進而可得c0.015.(2)由頻率分布直方圖可知，成績在130,150內(nèi)的頻率為0.2，由頻率估計概率，可知從全校答卷中任取一份，抽到“優(yōu)秀”的概率為0.2，設該校安全意識測試被評定為“優(yōu)秀”的學生人數(shù)為n，則0.2

35、，解得n600，所以估計該校安全意識測試被評定為“優(yōu)秀”的學生人數(shù)為600.(3)評定等級為“良好”和“優(yōu)秀”的學生人數(shù)之比為241221，故選取的6人中評定等級為“良好”的有4人，記為a，b，c，d，評定等級為“優(yōu)秀”的有2人，記為A，B，則從這6人中任取2人，所有基本事件為AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd，ab，ac，ad，bc，bd，cd，共15個，記事件M為“所抽取的2人中有1人為優(yōu)秀”，則事件M含有8個基本事件，為Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd，所以P(M).第二講臨界知識問題一、定義新知型臨界問題從形式上跳出已學知識的舊框框，在試卷中臨時定義一種

36、新知識，要求學生快速處理，及時掌握，并正確運用，充分考查學生獨立分析問題與解決問題的能力.多與函數(shù)、平面向量、數(shù)列聯(lián)系考查.典例(1)定義平面向量之間的一種運算“”如下，對任意的a(m，n)，b(p，q)，令abmqnp，下面說法錯誤的是()A若a與b共線，則ab0BabbaC對任意的R，有(a)b(ab)D(ab)2(ab)2|a|2|b|2解析根據(jù)題意可知若a，b共線，可得mqnp，所以abmqnp0，所以A正確；因為abmqnp，而banpmq，故二者不一定相等，所以B錯誤；對任意的R，(a)bmqnp(mqnp)(ab)，所以C正確；(ab)2(ab)2m2q2n2p22mnpqm2p

37、2n2q22mnpq(m2n2)(p2q2)|a|2|b|2，所以D正確故選B .答案B點評本題在平面向量的基礎上，加以創(chuàng)新，屬創(chuàng)新題型，考查平面向量的基礎知識以及分析問題、解決問題的能力(2)若數(shù)列an滿足：對任意的nN*，只有有限個正整數(shù)m使得amn成立，記這樣的m的個數(shù)為(an)*，則得到一個新數(shù)列(an)*例如，若數(shù)列an是1,2，3，n，則數(shù)列(an)*是0,1,2，n1，已知對任意的nN*，ann2，則(a5)*_，(an)*)*_.解析因為am5，而ann2，所以m1,2，所以(a5)*2.因為(a1)*0，(a2)*1，(a3)*1，(a4)*1，(a5)*2，(a6)*2，(

38、a7)*2，(a8)*2，(a9)*2，(a10)*3，(a11)*3，(a12)*3，(a13)*3，(a14)*3，(a15)*3，(a16)*3，所以(a1)*)*1，(a2)*)*4，(a3)*)*9，(a4)*)*16，猜想(an)*)*n2.答案2n2點評本題以數(shù)列為背景，通過新定義考查學生的自學能力、創(chuàng)新能力、探究能力創(chuàng)新預測在平面直角坐標系xOy中，是一個平面點集，如果存在非零平面向量a，對于任意P，均有Q，使得a，則稱a為平面點集的一個向量周期現(xiàn)有以下四個命題：若平面點集存在向量周期a，則ka(kZ，k0)也是的向量周期；若平面點集形成的平面圖形的面積是一個非零常數(shù)，則不存在

39、向量周期；若平面點集(x，y)|x0，y0，則b(1,2)為的一個向量周期；若平面點集(x，y)|yx0(m表示不大于m的最大整數(shù))，則c(1,1)為的一個向量周期其中真命題是_(填序號)解析：對于，取(x，y)|x0，y0，a(1,0)，則a為的向量周期，但a(1,0)不是的向量周期，故是假命題；易知是真命題；對于，任取點P(xP，yP)，則存在點Q(xP1，yP2)，所以b是的一個向量周期，故是真命題；對于，任取點P(xP，yP)，則yPxP0，存在點Q(xP1，yP1)，所以yP1xP1yP1(xP1)0，所以Q，所以c是的一個向量周期，故是真命題綜上，真命題為.答案：二、高等數(shù)學背景型

40、臨界問題以高等數(shù)學為背景，結合中學數(shù)學中的有關知識編制綜合性問題，是近幾年高考試卷的熱點之一.常涉及取整函數(shù)、最值函數(shù)、有界函數(shù)、有界泛函數(shù)等.1取整函數(shù)x設xR，用x表示不大于x的最大整數(shù)，則x稱為取整函數(shù)，也叫高斯函數(shù)(這一函數(shù)最早由高斯引入，故得名)典例設x表示不大于x的最大整數(shù)，則對任意實數(shù)x，y，有()Axx B2x2xCxyxy Dxyxy思路分析解讀取整函數(shù)的定義，取特殊值進行判斷即可解析取特殊值進行判斷當x1.1時，x2，x1，故A錯；當x1.9時，2x3,2x2，故B錯；當x1.1，y1.9時，xy3，xy2，故C錯選D.答案D點評本題是以取整函數(shù)yx為背景的新定義題型，解題

41、的關鍵是理解x的定義考查學生對信息的理解和運用能力創(chuàng)新預測設集合A和Bx|log2(x2x)2，其中符號x表示不大于x的最大整數(shù)，則AB_.解析：因為8x2 017，x的值可取3，2，1，0,1,2,3.當x3，則x21，無解；當x2，則x22，解得x；當x1，則x23，無解；當x0，則x24，無解當x1，則x25，無解；當x2，則x26，解得x；當x3，則x27，無解綜上AB，答案：，2最值函數(shù)定義1：最大值、最小值設a，bR，記mina，b為a，b中較小的數(shù)，maxa，b為a，b中較大的數(shù)若ab，則mina，bmaxa，bab.定義2：最大函數(shù)、最小函數(shù)設f(x)，g(x)均為定義在I上的

42、函數(shù)，記minf(x)，g(x)為f(x)，g(x)中值較小的函數(shù)，maxf(x)，g(x)為f(x)，g(x)中值較大的函數(shù)若f(x)g(x)，則minf(x)，g(x)maxf(x)，g(x)f(x)典例已知函數(shù)f(x)x22(a2)xa2，g(x)x22(a2)xa28.設H1(x)maxf(x)，g(x)，H2(x)minf(x)，g(x)記H1(x)的最小值為A，H2(x)的最大值為B，則AB()A16 B16Ca22a16 Da22a16思路分析理解最大、最小函數(shù)的定義，畫出二次函數(shù)f(x)，g(x)的圖象，從圖象上即可得到A，B的取值解析f(x)的圖象的頂點坐標為(a2，4a4)

43、，g(x)的圖象的頂點坐標為(a2，4a12)，并且f(x)與g(x)的圖象的頂點都在對方的圖象上，如圖所示，所以AB4a4(4a12)16.答案B點評本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質的應用，試題以信息的形式給出，增加了試題的難度，同時考查了數(shù)形結合和轉化化歸的數(shù)學思想解題過程中要能夠結合圖象特點，將問題轉化為研究函數(shù)圖象的交點問題創(chuàng)新預測記實數(shù)x1，x2，xn中的最大數(shù)為maxx1，x2，xn，最小數(shù)為minx1，x2，xn已知ABC的三邊邊長分別為a，b，c(abc)，定義它的傾斜度為maxmin，則“1”是“ABC為等邊三角形”的()A必要不充分條件 B充分不必要條件C充要條件 D既不充分

44、也不必要條件解析：選A注意到0abc，則有1，1，1，max.當傾斜度等于1時，ABC未必是等邊三角形，如取ab2，c3，此時1，maxmin1，即ABC的傾斜度等于1，但ABC顯然不是等邊三角形反過來，當ABC為等邊三角形時，1，maxmin1，傾斜度等于1.故選A.3有界函數(shù)定義在區(qū)間D上的函數(shù)f(x)，若滿足：對任意xD，存在常數(shù)M0，都有|f(x)|M成立，則稱f(x)是區(qū)間D上的有界函數(shù)，其中M稱為f(x)在區(qū)間D上的上界典例已知函數(shù)f(x)1axx，若函數(shù)f(x)在0，)上是以3為上界的有界函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍思路分析利用有界函數(shù)的定義，將問題轉化為不等式恒成立問題，再求相應函

45、數(shù)的最大值和最小值解由題意知，|f(x)|3在0，)上恒成立，即3f(x)3.所以42xxa22xx在0，)上恒成立，即maxamin.設t2x，h(t)4t，p(t)2t，且t1，)，易知h(t)4t在1，)上單調遞減，p(t)2t在1，)上單調遞增，所以h(t)在1，)上的最大值為h(1)5，p(t)在1，)上的最小值為p(1)1.故實數(shù)a的取值范圍為5,1點評本題以有界函數(shù)為背景，考查學生解決“不等式恒成立”問題的能力，其中理解有界函數(shù)的意義是解題的關鍵創(chuàng)新預測設函數(shù)yf(x)在(0，)上有定義，對于給定的正數(shù)K，定義函數(shù)fK(x)取函數(shù)f(x)，恒有fK(x)f(x)，則()AK的最大

46、值為 BK的最小值為CK的最大值為2 DK的最小值為2解析：選B函數(shù)f(x)的定義域為(0，)f(x).設g(x)ln x1，則g(x).所以g(x)0在(0，)上恒成立，即g(x)在(0，)上單調遞減又g(1)1ln 110，所以當x(0,1)時，g(x)0，即f(x)0，函數(shù)f(x)單調遞增；當x(1，)時，g(x)0，即f(x)0，函數(shù)f(x)單調遞減故函數(shù)f(x)的最大值為f(1).由fK(x)f(x)恒成立可得K.故K的最小值為.三、立體幾何中的臨界問題在立體幾何的高考題中，最主要考查點是幾何元素位置關系及角、距離的計算、三視圖等，除此之外，還有可能涉及到與立體幾何相關的臨界知識，如

47、立體幾何與其他知識的交匯，面對這些問題，需要有較強的分析判斷能力及思維轉換能力，還需要我們對這些問題作一些分析歸類，加強知識間的聯(lián)系，才能讓所學知識融會貫通.典例某幾何體的一條棱長為，在該幾何體的正視圖中，這條棱的投影是長為的線段，在該幾何體的側視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長為a和b的線段，則ab的最大值為()A2B2C4 D2解析本題可以以長方體為載體，設該幾何體中棱長為的棱與此長方體的體對角線重合，則此棱各射影分別為相鄰三面的對角線，其長度分別為，a，b，設長方體的各棱長分別為x，y，z，則有a2b28.所以2ab4，故ab的最大值為4.答案C點評空間平行投影問題本質是考查三視圖的有

48、關知識，難點是需要學生有較強的空間想象能力，因此在解決投影問題時，可以將幾何體置身于長方體中，將長方體作為背景可以增強考生的空間想象能力創(chuàng)新預測如圖，正四面體ABCD的棱長為1，棱AB平面，則正四面體上的所有點在平面內(nèi)的射影構成的圖形面積的取值范圍是_解析：如題圖，設正四面體ABCD在平面上的射影構成的圖形面積為S，因為AB平面，從運動的觀點看，當CD平面時，射影面積最大，此時射影圖形為對角線長是1的正方形，面積最大值為；若CD或其延長線與平面相交時，則當CD平面時，射影面積為最小，最小值為(證明略)，所以S.答案：1某學校要召開學生代表大會，規(guī)定各班每10人推選一名代表，當各班人數(shù)除以10的

49、余數(shù)大于6時再增選一名代表那么，各班可推選代表人數(shù)y與該班人數(shù)x之間的函數(shù)關系用取整函數(shù)yx(x表示不大于x的最大整數(shù))可以表示為()AyByCy Dy解析：選B法一：特殊值法，若x56，y5，排除C、D，若x57，y6，排除A，所以選B.法二：設x10m(09)，當06時，m，當69時，m11，所以選B.2對于定義域為R的函數(shù)f(x)，若f(x)在區(qū)間(，0)和區(qū)間(0，)上均有零點，則稱函數(shù)f(x)為“含界點函數(shù)”，則下列四個函數(shù)中，不是“含界點函數(shù)”的是()Af(x)x2bx1(bR)Bf(x)2|x1|Cf(x)2xx2Df(x)xsin x解析：選D因為f(x)x2bx1(bR)的零點即為方程x2bx10的根，所以b240，且方程x2bx10有一正根一負根，故函數(shù)f(x)x2bx1(bR)是“含界點函數(shù)”；令2|x1|0，得x3或x1，故f(x)2|x1|在區(qū)間(，0)和區(qū)間(0，)上均有零點，即f(