2018年高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 2.1.2 反證法學(xué)案 新人教A版選修2-2

1、21.2反證法預(yù)習(xí)課本P8991，思考并完成下列問題(1)反證法的定義是什么？有什么特點(diǎn)？(2)利用反證法證題的關(guān)鍵是什么？步驟是什么？1反證法的定義及證題的關(guān)鍵點(diǎn)睛對反證法概念的理解(1)反證法的原理是“否定之否定等于肯定”第一個否定是指“否定結(jié)論(假設(shè))”；第二個否定是指“邏輯推理結(jié)果否定”(2)反證法屬“間接解題方法”2“反證法”和“證逆否命題”的區(qū)別與聯(lián)系(1)聯(lián)系：通過證明逆否命題成立來證明原命題成立和通過反證法說明原命題成立屬于間接證明，都是很好的證明方法(2)區(qū)別：證明逆否命題實(shí)際上就是從結(jié)論的反面出發(fā)，推出條件的反面成立而反證法一般是假設(shè)結(jié)論的反面成立，然后通過推理導(dǎo)出矛盾1判

2、斷(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)反證法屬于間接證明問題的方法()(2)反證法的證明過程既可以是合情推理也可以是一種演繹推理()(3)反證法的實(shí)質(zhì)是否定結(jié)論導(dǎo)出矛盾()答案：(1)(2)(3)2應(yīng)用反證法推出矛盾的推導(dǎo)過程中，要把下列哪些作為條件使用()結(jié)論的否定即假設(shè)；原命題的條件；公理、定理、定義等；原命題的結(jié)論ABC D答案：C3如果兩個實(shí)數(shù)之和為正數(shù)，則這兩個數(shù)()A一個是正數(shù)，一個是負(fù)數(shù)B兩個都是正數(shù)C至少有一個正數(shù)D兩個都是負(fù)數(shù)答案：C4用反證法證明“如果ab，那么 ”，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)是_答案：用反證法證明否定性命題典例已知三個正數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，但不成等差數(shù)列求證：，不成

3、等差數(shù)列證明假設(shè)，成等差數(shù)列，則2，即ac24b.a，b，c成等比數(shù)列，b2ac，即b，ac24，()20，即.從而abc，與a，b，c不成等差數(shù)列矛盾，故，不成等差數(shù)列1用反證法證明否定性命題的適用類型結(jié)論中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等詞語的命題稱為否定性命題，此類問題的正面比較模糊，而反面比較具體，適合使用反證法2用反證法證明數(shù)學(xué)命題的步驟 活學(xué)活用已知f(x)ax(a1)，證明方程f(x)0沒有負(fù)數(shù)根證明：假設(shè)x0是f(x)0的負(fù)數(shù)根，則x00且x01，且ax0，由0ax0101，解得x02，這與x00矛盾，所以假設(shè)不成立，故方程f(x)0沒有負(fù)數(shù)根用反證法證明“至多”“至少

4、”問題典例已知a1，求證三個方程：x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0中至少有一個方程有實(shí)數(shù)解證明假設(shè)三個方程都沒有實(shí)根，則三個方程中：它們的判別式都小于0，即：這與已知a1矛盾，所以假設(shè)不成立，故三個方程中至少有一個方程有實(shí)數(shù)解一題多變1變條件，變設(shè)問將本題改為：已知下列三個方程x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0至少有一個方程有實(shí)數(shù)根，如何求實(shí)數(shù)a的取值范圍？解：若方程沒有一個有實(shí)根，則解得故三個方程至少有一個方程有實(shí)根，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.2變條件，變設(shè)問將本題條件改為三個方程中至多有2個方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：假設(shè)三個方程都有實(shí)數(shù)

5、根，則即解得即a.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為實(shí)數(shù)R.3變條件，變設(shè)問已知a，b，c，dR，且abcd1，acbd1，求證：a，b，c，d中至少有一個是負(fù)數(shù)證明：假設(shè)a0，b0，c0，d0.abcd1，(ab)(cd)1，acbdbcad1.而acbdbcadacbd1，與上式矛盾，假設(shè)不成立，a，b，c，d中至少有一個是負(fù)數(shù)用反證法證明“至多”“至少”等問題的兩個關(guān)注點(diǎn)(1)反設(shè)情況要全面，在使用反證法時，必須在假設(shè)中羅列出與原命題相異的結(jié)論，缺少任何一種可能，反證法都是不完全的(2)常用題型：對于否定性命題或結(jié)論中出現(xiàn)“至多”“至少”“不可能”等字樣時，常用反證法 用反證法證明唯一性命題典例求證

6、：兩條相交直線有且只有一個交點(diǎn)證明假設(shè)結(jié)論不成立，則有兩種可能：無交點(diǎn)或不止一個交點(diǎn)若直線a，b無交點(diǎn)，則ab或a，b是異面直線，與已知矛盾若直線a，b不只有一個交點(diǎn)，則至少有兩個交點(diǎn)A和B，這樣同時經(jīng)過點(diǎn)A，B就有兩條直線，這與“經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線”相矛盾綜上所述，兩條相交直線有且只有一個交點(diǎn)巧用反證法證明唯一性命題(1)當(dāng)證明結(jié)論有以“有且只有”“當(dāng)且僅當(dāng)”“唯一存在”“只有一個”等形式出現(xiàn)的命題時，由于反設(shè)結(jié)論易于推出矛盾，故常用反證法證明(2)用反證法證題時，如果欲證明命題的反面情況只有一種，那么只要將這種情況駁倒了就可以；若結(jié)論的反面情況有多種，則必須將所有的反面情況一一駁倒，

7、才能推斷結(jié)論成立(3)證明“有且只有一個”的問題，需要證明兩個命題，即存在性和唯一性活學(xué)活用求證：過直線外一點(diǎn)只有一條直線與它平行證明：已知：直線ba，Aa，Ab，求證：直線b唯一假設(shè)過點(diǎn)A還有一條直線ba.根據(jù)平行公理，ba，bb，與bbA矛盾，假設(shè)不成立，原命題成立層級一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1用反證法證明命題：“若直線AB，CD是異面直線，則直線AC，BD也是異面直線”的過程歸納為以下三個步驟：則A，B，C，D四點(diǎn)共面，所以AB，CD共面，這與AB，CD是異面直線矛盾；所以假設(shè)錯誤，即直線AC，BD也是異面直線；假設(shè)直線AC，BD是共面直線則正確的序號順序?yàn)?)ABC D解析：選B根據(jù)反證法的三個

8、基本步驟“反設(shè)歸謬結(jié)論”可知順序應(yīng)為.2用反證法證明命題“如果a，bN，ab可被5整除，那么a，b中至少有一個能被5整除”時，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為()Aa，b都能被5整除Ba，b都不能被5整除Ca，b不都能被5整除Da不能被5整除解析：選B“至少有一個”的否定是“一個也沒有”，即“a，b都不能被5整除”，故選B.3用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角中至多有一個鈍角”時，反設(shè)正確的是()A三個內(nèi)角中至少有一個鈍角B三個內(nèi)角中至少有兩個鈍角C三個內(nèi)角都不是鈍角D三個內(nèi)角都不是鈍角或至少有兩個鈍角解析：選B“至多有一個”即要么一個都沒有，要么有一個，故反設(shè)為“至少有兩個”4已知a，b是異面直線，直線c平行于直

9、線a，那么c與b的位置關(guān)系為()A一定是異面直線 B一定是相交直線C不可能是平行直線 D不可能是相交直線解析：選C假設(shè)cb，而由ca，可得ab，這與a，b異面矛盾，故c與b不可能是平行直線，故應(yīng)選C.5已知a，b，c，d為實(shí)數(shù)，且cd，則“ab”是“acbd”的()A充分而不必要條件 B必要而不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：選Bcd，cd，ab，ac與bd的大小無法比較可采用反證法，當(dāng)acbd成立時，假設(shè)ab，cd，acbd，與題設(shè)矛盾，ab.綜上可知，“ab”是“acbd”的必要不充分條件6否定“自然數(shù)a，b，c中恰有一個偶數(shù)”時，正確的反設(shè)是_答案：自然數(shù)a，b，c中至少

10、有兩個偶數(shù)或都是奇數(shù)7命題“a，bR，若|a1|b1|0，則ab1”用反證法證明時應(yīng)假設(shè)為_解析：“ab1”的反面是“a1或b1”，所以設(shè)為a1或b1.答案：a1或b18和兩條異面直線AB，CD都相交的兩條直線AC，BD的位置關(guān)系是_解析：假設(shè)AC與BD共面于平面，則A，C，B，D都在平面內(nèi)，AB，CD，這與AB，CD異面相矛盾，故AC與BD異面答案：異面9求證：1，2不能為同一等差數(shù)列的三項(xiàng)證明：假設(shè)1，2是某一等差數(shù)列的三項(xiàng)，設(shè)這一等差數(shù)列的公差為d，則1md,2nd，其中m，n為兩個正整數(shù)，由上面兩式消去d，得n2m(nm)因?yàn)閚2m為有理數(shù)，而(nm)為無理數(shù)，所以n2m(nm)，矛盾

11、，因此假設(shè)不成立，即1，2不能為同一等差數(shù)列的三項(xiàng)10已知函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，a，bR.(1)求證：如果ab0，那么f(a)f(b)f(a)f(b)；(2)判斷(1)中的命題的逆命題是否成立？并證明你的結(jié)論解：(1)證明：當(dāng)ab0時，ab且ba.f(x)在R上是增函數(shù)，f(a)f(b)，f(b)f(a)，f(a)f(b)f(a)f(b)(2)(1)中命題的逆命題為“如果f(a)f(b)f(a)f(b)，那么ab0”，此命題成立用反證法證明如下：假設(shè)ab0，則ab，f(a)f(b)同理可得f(b)f(a)f(a)f(b)f(a)f(b)，這與f(a)f(b)f(a)f(b)矛盾，故假設(shè)不

12、成立，ab0成立，即(1)中命題的逆命題成立層級二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1用反證法證明命題“關(guān)于x的方程axb(a0)有且只有一個解”時，反設(shè)是關(guān)于x的方程axb(a0)()A無解B有兩解C至少有兩解 D無解或至少有兩解解析：選D“唯一”的否定是“至少兩解或無解”2下列四個命題中錯誤的是()A在ABC中，若A90，則B一定是銳角B.，不可能成等差數(shù)列C在ABC中，若abc，則C60D若n為整數(shù)且n2為偶數(shù)，則n是偶數(shù)解析：選C顯然A、B、D命題均真，C項(xiàng)中若abc，則ABC，若C60，則A60，B60，ABC180與ABC180矛盾，故選C.3設(shè)a，b，c(，0)，則a，b，c()A都不大于2B都不小于

13、2C至少有一個不大于2D至少有一個不小于2解析：選C假設(shè)都大于2，則abc6，但2(2)(2)6，矛盾4若ABC能被一條直線分成兩個與自身相似的三角形，那么這個三角形的形狀是()A鈍角三角形 B直角三角形C銳角三角形 D不能確定解析：選B分ABC的直線只能過一個頂點(diǎn)且與對邊相交，如直線AD(點(diǎn)D在BC上)，則ADBADC，若ADB為鈍角，則ADC為銳角而ADCBAD，ADCABD，ABD與ACD不可能相似，與已知不符，只有當(dāng)ADBADCBAC時，才符合題意5用反證法證明命題“設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，則方程x3axb0至少有一個實(shí)根”時，要做的假設(shè)是_解析：至少有一個實(shí)根的否定是沒有實(shí)根，故要做的假設(shè)是

14、“方程x3axb0沒有實(shí)根”答案：方程x3axb0沒有實(shí)根6完成反證法證題的全過程設(shè)a1，a2，a7是1,2，7的一個排列，求證：乘積p(a11)(a22)(a77)為偶數(shù)證明：假設(shè)p為奇數(shù)，則a11，a22，a77均為奇數(shù)因奇數(shù)個奇數(shù)之和為奇數(shù)，故有奇數(shù)_0.但0奇數(shù)，這一矛盾說明p為偶數(shù)解析：據(jù)題目要求及解題步驟，a11，a22，a77均為奇數(shù)，(a11)(a22)(a77)也為奇數(shù)即(a1a2a7)(127)為奇數(shù)又a1，a2，a7是1,2，7的一個排列，a1a2a7127，故上式為0，所以奇數(shù)(a11)(a22)(a77)(a1a2a7)(127)0.答案：(a11)(a22)(a77)(a1a2a7)(127)7設(shè)x，y都是正數(shù)，且xy2，試用反證法證明：2和2中至少有一個成立證明：假設(shè)2和2都不成立，即2，2.又x，y都是正數(shù)，1x2y,1y2x.兩式相加得到2(xy)2(xy)，xy2.與已知xy2矛盾，所以假設(shè)不成立，所以2和2中至少有一個成立8已知數(shù)列an滿足：a1，anan10(n1)；數(shù)列bn滿足：bnaa(n1)(1)求數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式；(2)證明：數(shù)列bn中的任意三項(xiàng)不可能成等差數(shù)列解：(1)由題意可知，1a(1a)令cn1a，則cn1cn.又c11a，則數(shù)列cn是首項(xiàng)為c