2018版高中數(shù)學 第一章 常用邏輯用語疑難規(guī)律方法學案 蘇教版選修1-1

1、第一章 常用邏輯用語1怎樣解邏輯用語問題1利用集合理清關系充分(必要)條件是高中學段的一個重要概念，并且是理解上的一個難點要解決這個難點，將抽象的概念用直觀、形象的圖形表示出來，看得見、想得通，才是最好的方法下面通過使用集合模型對充要條件的外延與內(nèi)涵作了直觀形象的解釋，實踐證明效果較好集合模型解釋如下：A是B的充分條件，即AB.(如圖1)A是B的必要條件，即BA.(如圖2)A是B的充要條件，即AB.(如圖3)A是B的既不充分又不必要條件，即AB或A、B既有公共元素也有非公共元素(如圖4)或圖4例1設集合A，B是全集U的兩個子集，則AB是(UA)BU的_條件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要

2、”“既不充分又不必要”)解析當AB時，如圖1所示，則(UA)BU成立；當AB時，如圖2所示，則(UA)B(UB)BU成立，即當(UA)BU成立時，可有AB.故AB是(UA)BU的充分不必要條件答案充分不必要2抓住量詞，對癥下藥全稱命題與存在性命題是兩類特殊的命題，這兩類命題的否定又是這部分內(nèi)容中的重要概念，解決有關此類命題的題目時一定要抓住決定命題性質(zhì)的量詞，理解其相應的含義，從而對癥下藥例2(1)已知命題p：“任意x1,2，x2a0”與命題q：“存在xR，x22ax2a0”都是真命題，則實數(shù)a的取值范圍為_(2)已知命題p：“存在x1,2，x2a0”與命題q：“存在xR，x22ax2a0”都

3、是真命題，則實數(shù)a的取值范圍為_解析(1)將命題p轉化為“當x1,2時，(x2a)min0”，即1a0，即a1.由命題q知，方程有解，即(2a)24(2a)0，解得a1或a2.綜上所述，a1.(2)命題p轉化為“當x1,2時，(x2a)max0”，即4a0，即a4.命題q：a1或a2.綜上所述，a1或2a4.答案(1)(，1(2)(，12,4點評認真比較兩題就會發(fā)現(xiàn)，兩題形似而神異，所謂失之毫厘，謬之千里，需要我們抓住這類問題的本質(zhì)量詞，有的放矢3挖掘等價轉化思想，提高解題速度在四種命題的關系、充要條件、簡單的邏輯聯(lián)結詞、全稱量詞與存在量詞中，時時刻刻滲透著等價轉化思想，例如互為逆否命題的兩個

4、命題(原命題與逆否命題或逆命題與否命題)一定同真或同假，它們就是等價的；但原命題與逆命題不等價，即原命題為真，其逆命題不一定為真例3設p：q：x2y2r2 (r0)，若q是綈p的充分不必要條件，求r的取值范圍分析“q是綈p的充分不必要條件”等價于“p是綈q的充分不必要條件”設p、q對應的集合分別為A、B，則可由ARB出發(fā)解題解設p、q對應的集合分別為A、B，將本題背景放到直角坐標系中，則點集A表示平面區(qū)域，點集RB表示到原點距離大于r的點的集合，即圓x2y2r2外的點的集合ARB表示區(qū)域A內(nèi)的點到原點的最近距離大于r，直線3x4y120上的點到原點的最近距離大于等于r.原點O到直線3x4y12

5、0的距離為d，r的取值范圍為00)在p：所對應的區(qū)域的外部，也是可以解決的但以上解法將“q是綈p的充分不必要條件”等價轉化為“p是綈q的充分不必要條件”，更好地體現(xiàn)了等價轉化思想2辨析“命題的否定”與“否命題”一、知識梳理1定義定義命題的否定對原命題的結論進行否定得到的新命題否命題對原命題的條件和結論同時否定得到的新命題2.真假關系表原命題、命題的否定與否命題的真假關系表：原命題否定否命題真假與原命題的真假沒有關系假真3.常用正面敘述詞語及它的否定詞語等于大于()小于()是都是詞語的否定不等于不大于()不小于()不是不都是詞語至多有一個至少有一個任意的所有的至多有n個p且qp或q詞語的否定至少

6、有兩個一個也沒有某個某些至少有n1個非p或非q非p且非q二、典例剖析例1寫出下列各命題的否定形式及否命題：(1)面積相等的三角形是全等三角形；(2)若xy0，則x0或y0；(3)若x，y都是奇數(shù)，則xy是奇數(shù)分析分清題設和條件，命題的否定只否定結論，而否命題既否定題設，又否定結論解(1)命題的否定：面積相等的三角形不是全等三角形；否命題：面積不相等的三角形不是全等三角形(2)命題的否定：若xy0，則x0且y0；否命題：若xy0，則x0且y0.(3)命題的否定：若x，y都是奇數(shù)，則xy不是奇數(shù)；否命題：若x，y不都是奇數(shù)，則xy不是奇數(shù)點評首先掌握“命題的否定”和“否命題”的區(qū)別和聯(lián)系，把握關鍵

7、詞的否定，然后分清命題的條件和結論即可例2寫出下列命題的否命題與命題的否定，并判斷原命題、否命題和命題的否定的真假：(1)若x24，則2x0且n0，則mn0.分析依據(jù)定義分別寫出否命題與命題的否定根據(jù)不等式及方程的性質(zhì)逐個判斷其真假解(1)否命題：“若x24，則x2或x2”；命題的否定：“若x20且n0，則mn0”由不等式的性質(zhì)可以知道，原命題為真，否命題為假，命題的否定為假3判斷條件四策略1定義法定義法是判斷充要條件最基本、最適用的方法步驟如下：(1)分清條件與結論(p與q)；(2)找推式：即判斷pq及qp的真假；(3)下結論：p是q的充分不必要條件，p是q的必要不充分條件，p是q的充要條件

8、，p是q的既不充分又不必要條件例1設集合Mx|x2，Px|x3，那么“xM或xP”是“xPM”的_條件解析條件p：xM或xP；結論q：xPM.若xM，則x不一定屬于P，即x不一定屬于PM，所以pq；若xPM，則xM且xP，所以qp.綜上可知，“xM或xP”是“xPM”的必要不充分條件答案必要不充分2利用傳遞性充分、必要條件在推導的過程當中具有傳遞性，即：若pq，qr，則pr.例2如果A是B的必要不充分條件，B是C的充要條件，D是C的充分不必要條件，那么A是D的_條件解析依題意知，有ABCD且ABCDD，由命題的傳遞性可知DA，但AD.于是A是D的必要不充分條件答案必要不充分3集合法適用于“當所

9、要判斷的命題與方程的根、不等式的解集以及集合有關，或所描述的對象可以用集合表示時”的情況Pp，Qq，利用集合間的包含關系加以判斷，具體情況如下：(1)若PQ，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；(2)若PQ，則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件；(3)若PQ，則p是q的充要條件(q也是p的充要條件)；(4)PQ且QP，則p是q的既不充分又不必要條件例3設p：(2x1)20)，q：(x1)(2x1)0，若p是q的充分不必要條件，則實數(shù)m的取值范圍是_解析由題意得p：x1或x0，0m2.答案(0,24等價法適用于“直接從正面判斷不方便”的情況，可將命題轉化為另一個等價的又便于判斷真假

10、的命題，再去判斷常用的是逆否等價法(1)綈q是綈p的充分不必要條件p是q的充分不必要條件；(2)綈q是綈p的必要不充分條件p是q的必要不充分條件；(3)綈q是綈p的充要條件p是q的充要條件；(4)綈q是綈p的既不充分又不必要條件p是q的既不充分又不必要條件例4給定兩個命題p，q，若綈p是q的必要不充分條件，則p是綈q的_條件解析因為綈p是q的必要不充分條件，所以綈q是p的必要不充分條件，即p是綈q的充分不必要條件答案充分不必要4充分必要條件知識交匯例析充分必要條件是邏輯關系的重要知識點，主要用來討論條件和結論的關系，是理解或判斷一個命題與其相關命題之間關系的重要工具，也是命題轉化的主要依據(jù)充分

11、必要條件問題幾乎可以融匯所有不同的數(shù)學知識，因此用途極為廣泛下面通過具體例子進行分析1與集合的交匯例1若集合A1，m2，B2,4，則“m2”是“AB4”的_條件解析當m2時，集合A1,4，又B2,4，所以AB4當AB4時，m24，m2或m2，所以“m2”是“AB4”的充分不必要條件答案充分不必要2與函數(shù)性質(zhì)的交匯例2已知函數(shù)f(x)則“2a0”是“f(x)在R上單調(diào)遞增”的_條件解析因為當2a0時，01，所以當x1時，f(x)單調(diào)遞增；當x1時，f(x)不一定單調(diào)遞增，故“2a0”不是“f(x)在R上單調(diào)遞增”的充分條件當f(x)在R上單調(diào)遞增時，則a0，所以“2a0”是“f(x)在R上單調(diào)遞

12、增”的必要不充分條件答案必要不充分3與不等式的交匯例3“1a0，所以2x2.又a1，所以221，所以“1a2”是“對任意正數(shù)x,2x1”的充分條件對任意正數(shù)x,2x1，即21，解得a，所以“對任意正數(shù)x,2x1”不是“1a2”的必要條件所以“1a2”是“對任意正數(shù)x,2x1”的充分不必要條件答案充分不必要4與平面向量的交匯例4若a，b為非零向量，則“函數(shù)f(x)(axb)2為偶函數(shù)”是“ab”的_條件解析f(x)(axb)2a2x22abxb2.如果函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，則f(x)f(x)，由此求得ab0，即ab.反之，也成立所以“函數(shù)f(x)(axb)2為偶函數(shù)”是“ab”的充要條件答案充要

13、5與數(shù)列的交匯例5設an是等比數(shù)列，則“a1a2a3”是“數(shù)列an是遞增數(shù)列”的_條件解析由a1a2a3，即a1a1qa1q2，得a1(1q)0，a1(qq2)0時，q1；當a10時，0q”是“sin A”的_條件解析在ABC中，當A且A時，sin A”不是“sin A”的充分條件但當sin A時，A一定成立，所以“A”是“sin A”的必要不充分條件答案必要不充分7與立體幾何的交匯例7已知E，F(xiàn)，G，H是空間四個點，命題甲：E，F(xiàn)，G，H四點不共面，命題乙：直線EF和GH不相交，則甲是乙成立的_條件解析由空間點的位置關系知，E，F(xiàn)，G，H四點不共面，則直線EF和GH不相交，反之，未必成立，故

14、甲是乙成立的充分不必要條件答案充分不必要5命題和充要條件錯誤剖析1考慮不周出錯例1判斷命題的真假：函數(shù)f(x)ax22x1只有一個零點，則a1.錯解因為函數(shù)f(x)ax22x1只有一個零點，所以224(1)a0，即a1.所以該命題是真命題剖析出現(xiàn)上述錯解的主要原因是由于沒考慮到函數(shù)f(x)的最高次項系數(shù)含字母參數(shù)a，應對字母參數(shù)是否為零進行討論正解當a0時，函數(shù)f(x)為一次函數(shù)，此時函數(shù)只有一個零點；當a0時，函數(shù)f(x)ax22x1只有一個零點，所以224(1)a0，即a1.所以，函數(shù)f(x)ax22x1只有一個零點，則a1或a0.故原命題為假命題2否命題否定錯誤例2寫出命題“若m2n2a

15、2b20，則實數(shù)m、n、a、b全為零”的否命題錯解否命題為：若m2n2a2b20，則實數(shù)m、n、a、b全不為零剖析否命題是將原命題的條件和結論分別否定錯解是條件沒有否定，而結論否定為“不全為零”，卻錯誤地寫為“全不為零”正解該命題的否命題為：“若m2n2a2b20，則實數(shù)m、n、a、b不全為零”3判斷充要條件時出錯例3(1)設xR，則x2成立的必要條件有_(填上所有正確的序號)x1；x3；x0.錯解因為x3x2，所以x2的一個必要條件為x3.答案剖析錯解的主要原因是沒弄清“a是b的必要條件”和“a的必要條件是b”的真正含義，前者等價于ba；后者等價于“b是a的必要條件”，即ab.正解因為x2x

16、1，所以x2的一個必要條件為x1.同理x2x0，所以x2的一個必要條件為x0.答案(2)命題p：“向量a與向量b的夾角為銳角”是命題q：“ab0”的_條件錯解若向量a與向量b的夾角為銳角，則cos 0，即ab0；反之也成立，所以p是q的充要條件答案充要剖析判斷兩個命題是否可以相互推導時，要注意特殊情況的判斷，以防判斷出現(xiàn)錯誤正解若向量a與向量b夾角為銳角，則cos 0ab0；而當ab0時，0也成立，但此時a與b夾角不為銳角故p是q的充分不必要條件答案充分不必要6例析邏輯用語中的常見誤區(qū)誤區(qū)1所有不等式、集合運算式都不是命題例1判斷下列語句是不是命題，若是命題，判斷其真假：(1)x20；(2)x

17、220；(3)ABAB；(4)AAB.錯解(1)、(2)、(3)、(4)都不是命題剖析(1)中含有未知數(shù)x，且x不確定，所以x2的值也不確定，故無法判斷x20是否成立，不能判斷其真假，故(1)不是命題；(2)x雖為未知數(shù)，但x20，所以x222，故可判斷x220成立，故(2)為真命題(3)若AB，則ABABAB；若AB，則ABAABB.由于A，B的關系未知，所以不能判斷其真假，故(3)不是命題(4)A為AB的子集，故AAB成立，故(4)為真命題正解(2)、(4)是命題，且都為真命題誤區(qū)2原命題為真，其否命題必為假例2判斷下列命題的否命題的真假：(1)若a0，則ab0；(2)若a2b2，則ab.

18、錯解(1)因為原命題為真命題，故其否命題是假命題；(2)因為原命題為假命題，故其否命題為真命題剖析否命題的真假與原命題的真假沒有關系，否命題的真假不能根據(jù)原命題的真假來判斷，應先寫出命題的否命題，再判斷正解(1)否命題：若a0，則ab0，是假命題；(2)否命題：若a2b2，則ab，是假命題誤區(qū)3用“且”“或”聯(lián)結命題時只聯(lián)結條件或結論例3(1)已知p：方程(x11)(x2)0的根是x11；q：方程(x11)(x2)0的根是x2，試寫出pq.(2)p：四條邊相等的四邊形是正方形；q：四個角相等的四邊形是正方形，試寫出pq.錯解(1)pq：方程(x11)(x2)0的根是x11或x2.(2)pq：四

19、條邊相等且四個角相等的四邊形是正方形剖析(1)(2)兩題中p，q都是假命題，所以“pq”，“pq”也都應是假命題而上述解答中寫出的兩命題卻都是真命題錯誤原因：(1)只聯(lián)結了兩個命題的結論；(2)只聯(lián)結了兩個命題的條件正解(1)pq：方程(x11)(x2)0的根是x11或方程(x11)(x2)0的根是x2.(2)pq：四條邊相等的四邊形是正方形且四個角相等的四邊形是正方形誤區(qū)4對含有一個量詞的命題否定不完全例4已知命題p：存在一個實數(shù)x，使得x2x20，寫出綈p.錯解一綈p：存在一個實數(shù)x，使得x2x20.錯解二綈p：對任意的實數(shù)x，都有x2x24，則x2；(2)p：可以被5整除的數(shù)末位是0；(

20、3)p：能被8整除的數(shù)也能被4整除錯解(1)綈p：若2x4，則x2.(2)綈p：可以被5整除的數(shù)末位不是0.(3)綈p：能被8整除的數(shù)不能被4整除剖析由于有些全稱命題或存在性命題隱含了量詞，從而導致未變化量詞而直接否定結論出現(xiàn)錯誤正解(1)綈p：存在x，使得若2x4，則x2.(2)綈p：存在可以被5整除的數(shù)末位不是0.(3)綈p：存在能被8整除的數(shù)不能被4整除.7解“邏輯”問題的三意識1轉化意識由于互為逆否的兩個命題同真假，因此，當原命題的真假不易判斷或證明原命題較困難時，可以轉化為逆否命題的真假來判斷或證明例1證明：若a2b22a4b30，則ab1.分析本題直接證明原命題是真命題，顯然不太容易，可考慮轉化為證明它的逆否命題是真命題證明命題“若a2b22a