2018版高中數(shù)學第三章空間向量與立體幾何3.2立體幾何中的向量方法3向量法解決空間角和距離問題學案新人教A版選修2

1、3.2解決立體幾何中的矢量法(3)矢量法空間角和距離的問題學習目的1 .理解直線與平面所成的角、二面角的概念.2.把握向量法解決空間角和距離問題.3.體會空間向量解決立體幾何問題的三步曲用知識點一空間向量求空間角思考1空間角包括什么角？答卷線角、線面角、二面角求思維2空間角的一般方法是什么？答案是傳統(tǒng)的方法和向量法卡空間的角度包含線的角度、線的平面的角度、二面角，其中，這些個的三個角度的定義確定它們的可能值的范圍，并且可以與這些可能值的范圍相結合來用向量法進行求解(1)線的線角：設兩條直線的方向矢量分別為a、b，a和b所成的角為，兩條直線所成的角為，則cos =|cos |=。(2)線面的角：

2、設n為平面的一個法向量、a為直線a的方向矢量、直線a與平面所成的角為時=(三)二面角：在二面角的兩個半平面內變換為與棱垂直的兩條直線上的方向矢量的夾角(注意：特別注意兩個矢量的方向)。如附圖表示的那樣，如果二面角-l-的大小是、a、b-l、ac、bd、ACl是a、BDl和b的話，則為=、|=、求出從二面角一個面內的一點到另一個面的距離及到棱的距離后，通過解垂直角三角形求出角如圖所示，關于二面角-l-，當在內取點p，把p設為PO、PAl，把腳分別設為o、a并連接AO時，由于已知AOl成立，所以pao在求出二面角兩個半平面法向量的夾角后，結合圖形和題意，判斷二面角的大小，還是其夾角e，確定二面角的

3、大小用知識點二空間向量求距離求出思考1點到直線的距離的一般方法是什么？(1)找到垂線段，確定其長度；(2)利用等范圍法；(3)利用矢量模型，利用數(shù)量乘積的幾何意義求解求思考從兩點到平面的距離的一般方法是什么？回答(1)決定垂線分段法(2)等體積法(3)空間向量法(1)梳理從點到直線的距離已知直線l是由向量a決定的直線，p-l，p0l，如圖所示，向l上的投影長度為|cos ，a=，從點P0到直線l的距離d=。(2)從點到平面的距離用尺空間向量求出從點到平面的距離的具體步驟如下所示如圖所示，設n=(a，b，c )為平面的法向量，P0(x0，y0，z0)為外一點，p由于線面距離、面面距離都能夠變換為

4、從點到平面的距離，所以如果把握從點到平面的距離的求出方法，則能夠解決其它的距離問題求出類型12個異面直線所成的角如圖例1那樣，在三角柱OAB-O1A1B1中，求出平面OBB1O1平面OAB、ob=60、AOB=90、OB=OO1=2、OA=、不同的面如果作成圖示那樣的空間直角坐標系，則成為o (0，0，0 )、o1(0，1，1 )、a (，0，0 )、A1(，1，)、b (0，2 )=(-、1、- )、=(、-1、- )。cos ，|=。異面直線A1B和AO1所成的角的侑弦值是反思和感知在解決立體幾何中兩異面直線所成的角問題時，如果能建構空間垂直角坐標系，就建構空間垂直角坐標系，利用矢量法求解

5、。 但是，在適用向量法時必須注意向量所成的角和異面直線所成的角的差異跟蹤訓練1在已知的立方形ABCD-A1B1C1D1中，e、f分別為A1D1、A1C1的中點，求出異面直線AE與CF所成的角的擬正弦值。解以立方形棱鏡長度為2，以分別具有DA、DC、DD1的直線為x軸、y軸、z軸，制作如圖所示的空間直角坐標系時a (2，0，0 )，c (0，2，0 )，e (1，0，2 )，f (1，1，2 )，=(1，0，2 )，=(1，- 1，2 )，|=|=、=、=、=-1 0 4=3。另外，在=|cos中，在=cos中，cos ，|，異面直線AE和CF所成的角的侑弦值為求類型2直線與平面所成的角例2已知

6、將正三角柱ABC-A1B1C1的底面邊的長度設為a、側棱的長度設為a，求出AC1與側面ABB1A1所成的角。如果解開圖示的關空間直角坐標系字，則a (0，0，0 )、B(0，a，0 )、a1(0，0，a )、C1，取方法A1B1的中點m時，M(0，a )連接了AM、MC1，有=(-a，0，0 )、=(0，a，0 )、=(0，0，a )。0，=0，、MC1AB、MC1AA1，另外，ABAA1=A，MC1平面ABB1A1。C1AM是AC1與側面ABB1A1所成的角度。=，=(0，a )，=0 2a2=，|=a，|=a，cos ，|=。(0，180 )，(，)=30，另外，直線與平面所成的角在 0，

7、90 的范圍內AC1與側面ABB1A1所成的角為30度方法=(0，a，0 )，=(0，0，a )，=。設側面ABB1A1的法向量為n=(，y，z )，n=0且n=0.ay=0且az=0。y=z=0.故障n=(，0，0 )。=，cos=-，|cos，n|=。另外，直線與平面所成的角在 0，90 的范圍內AC1與側面ABB1A1所成的角為30度使用感應向量法來求出線面角的一般的步驟是利用圖形的幾何特征來制作適當?shù)目臻g垂直角坐標系，并使用與向量相關的知識來求出線面角。關于跟蹤訓練2，如圖所示，已知有垂直角梯形ABCD，其中AB=BC=2AD、AS平面ABCD、ADBC、ABBC、AS=AB .求出直

8、線SC與底面ABCD所成的角的侑弦值解以點a為坐標原點，以AD、AB、AS所處的直線為x軸、y軸、z軸，制作空間直角坐標系(如圖所示)。假設AB=1，則a (0，0，0 )、b (0，1，0 )、c (1，1，0 )、d、s (0，0，1 )等等。=(0，0，1 )、=(-1，- 1，1 )。顯然是底面的法向量，與已知矢量所成的角=90-，sin =cos =，- 0，90；cos =。求三種類型的二面角例3在底面為平行四邊形的四角錐P-ABCD中，ABAC、PA平面ABCD、且PA=AB、e是PD的中點，求出平面EAC和平面ABCD所成的角。如解方法1圖那樣，以a為原點，分別以AC、AB、A

9、P所處的直線為x軸、y軸、z軸來作成空間直角坐標系。設PA=AB=a、AC=b，將BD和AC連結而與點o相交，取AD中點f，C(b，0，0 )，B(0，a，0 )，=。D(b，-a，0 )，p (0，0，a )，e、o、=、=(b、0、0 )。=0，、=、=0。是啊。eof等于平面EAC與平面ABCD所成的角(或補角)。cos ，等于。平面EAC與平面ABCD所成的角為45度。方法2的建構與方法1相同pa平面ABCD，=(0，0，a )是平面ABCD的法向量，=(b，0，0 )。設平面AEC的法向量為m=(x，y，z )。由得到取x=0，y=z.m=(0，1，1 )，cosm，等于=。平面AE

10、C和平面ABCD的夾角是45。反省和知覺(1)空間直角坐標系容易制作(有特殊的位置關系)的情況下，用矢量法解二面角不需要制作二面角的平面角，只需求出平面的法向量，就能通過簡單的運算求出，有時很難判斷二面角的大小(相等還是互補)，但可以從圖形觀察中得到結論跟蹤訓練PA平面ABC、ACBC、PA=AC=1、BC=，求出二面角A-PB-C的侑弦值。如圖所示作成空間直角坐標系a (0，0，0 )，b (1，0 )，c (0，1，0 )，p (0，0，1 )，因此，=(0，0，1 )、=(，1，0 )、=(，0，0 )、=(0，- 1，1 )，設平面PAB的法向量為m=(x，y，z )，當x=1時，因為

11、y=-所以m=(1，-，0 )。設平面PBC的法向量為n=(x ，y ，z )，原則假設y=-1，則z=-1，n=(0，-1，-1)，cosm，n=。此外，二面角A-PB-C是鈍二面角，二面角A-PB-C的侑弦值為-。類型4向量法解決距離問題命題角度1點線距離例4在立方形ABCD-A1B1C1D1中，e、f分別在C1C、D1A1的中點，求出從點a到直線EF的距離.解以d為坐標原點，分別以DA、DC、DD1所處的直線為x軸、y軸、z軸作成空間直角坐標系。假設DA=2，則a (2，0，0 )、e (0，2，1 )、f (1，0，2 )、=(1，- 2，1 )、|=，=11 0(-2) (-2)1=

12、-1，向上的心理投射是=.從點a到直線EF的距離d=。反省根據(jù)感化用向量法求出從點到直線的距離的一般步驟(一)編制空間直角坐標系；(2)求直線的方向矢量(3)修正由求出的點和直線上的某點構成的向量的直線向方向向量的投影。(4)利用鎖定理求從點到直線的距離另外，必須注意平行直線間的距離和點到直線的距離之間的轉換跟蹤訓練4如圖所示，在空間直角坐標系上有長方體ABCD-abcd、AB=1、BC=2、aa=3，求出從點b到直線ac的距離。求解AB=1、BC=2、aa=3。a (0，0，3 )、c (1，2，0 )、b (1，0，0 )，=(1、2、-3)。另外，=(0，2，0 )，向上的心理投射是=.

13、從點b到直線ac的距離d=。命題角度兩點面距離例5已知四邊形ABCD是邊長為4的正方形，e、f分別是邊AB、AD的中點，CG與正方形ABCD所在的平面垂直，且CG=2，求出從點b到平面EFG的距離.如果制作圖示那樣的關空間直角坐標系字，則為g (0，0，2 )、E(4，- 2，0 )、F(2，- 4，0 )、b (4，0，0 )、設平面EFG的法向量為n=(x，y，z )。得到x=-y、z=-3y。假設y=1，則n=(-1，1，1，-3)。從點b到平面EFG的距離d=。用反省和知覺向量法求點到平面的距離的一般程序(一)編制空間直角坐標系；(2)求出該平面的法向量(3)找到與該點連接平面內的一點

14、而形成的斜線段相對應的向量。(4)與法向量和斜線段對應的矢量的數(shù)量積的絕對值除以法向量的地震震級，即從點到平面的距離。跟蹤訓練5在正三角柱ABC-A1B1C1中，d是BC的中點，且AA1=AB=2。(1)尋求證據(jù)： A1C平面AB1D；(2)求出從點C1到平面AB1D的距離。(1)如證明圖那樣，如果將d作為坐標原點，將DC、DA分別存在的直線作為通過x軸、y軸、點d且與AA1平行的直線作為z軸來制作空間垂直角坐標系，則成為d (0，0，0 )、c (1，0，0 )設平面AB1D的法向量為n=(x，y，z )時也就是說假設z=1，則y=0，x=2.n=(2，0，1 )。n=12 (-)0 (-2

15、)1=0，n。a1c平面AB1D，A1C平面AB1D。(2)解知道(1)平面AB1D的法向量n=(2，0，1 )，從點C1到平面AB1D的距離d=。命題角度3線面距離和面面距離例6在垂直角柱ABCD-A1B1C1D1中，底面為垂直角梯形，ABCD且ADC=90、AD=1、CD=、BC=2、AA1=2、e為CC1的中點如解圖所示，設d為坐標原點，分別設DA、DC、DD1所在的直線為x軸、y軸、z軸，如果制作空間直角坐標系，則a1(1，0，2 )、a (1，0，0 )、eb (一，二，零)，=(0，2，0 )、=(-1，-，1 )。設平面ABE的法向量為n=(x，y，z )，則可以采用y=0、x=

16、z、n=(1，0，1 )。(0，0，2 )，從A1B1到平面ABE的距離d=。反省與知覺(1) -求線面距離可以變換為求出從直線上的任意點到平面的距離，只要用求出從點到平面的距離的方法來求出即可(2)將兩個平行平面間的距離轉換為從點到平面的距離，用求出從點到平面的距離的方法求解即可。跟蹤訓練部6得知立方形ABCD-A1B1C1D1的棱鏡長度為1，求出平面A1BD和平面B1CD1之間的距離。解以d為坐標原點，分別以DA、DC、DD1所處的直線為x軸、y軸、z軸，若制作如圖所示的空間直角坐標系，則為d (0，0，0 )、a1 (1，0，1 )、b ()設平面A1BD的法向量為n=(x，y，z )，則假設z=1，則y=1，x=-1， n=(-1，1，1 )。從點D1到平面A1BD的距離d=。平面A1BD和平面B