2019屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第4單元平面向量數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入聽課學(xué)案理

1、第四單元 平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入第24講平面向量的概念及其線性運(yùn)算課前雙擊鞏固1.向量的有關(guān)概念及表示名稱定義表示向量在平面中,既有又有的量用a,b,c,或,表示向量的模向量a的,也就是表示向量a的有向線段的(或稱模)或零向量長度為的向量用表示單位向量長度等于個單位的向量用e表示,|e|=平行向量方向或相反的非零向量(或稱共線向量)ab相等向量相等且方向的向量a=b相反向量相等,方向的向量向量a的相反向量是說明:零向量的方向是、.規(guī)定:零向量與任一向量.2.向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個向量的運(yùn)算法則法則(1)加法交換律:a+b=;(2)加法結(jié)合律:(a

2、+b)+c= 減法減去一個向量相當(dāng)于加上這個向量的 法則a-b=數(shù)乘實(shí)數(shù)與向量a的積是一個,這種運(yùn)算叫作向量的,記作(1)|a|=.(2)當(dāng)0時,a與a的方向;當(dāng)|b|0,則向量a+b的方向與向量a的方向相同;設(shè)a0為單位向量,則平面內(nèi)向量a=|a|a0.其中正確結(jié)論的序號是.6.若四邊形ABCD滿足=且|=|,則四邊形ABCD的形狀是.7.已知向量a,b,若|a|=2,|b|=4,則|a-b|的取值范圍為.課堂考點(diǎn)探究探究點(diǎn)一平面向量的基本概念1 (1)設(shè)a,b都是非零向量,下列條件中一定能使+=0成立的是()A.a=2b B.abC.a=-bD.ab(2)給出下列說法:若|a|=|b|,則

3、a=b;若ab,bc,則ac;a與b是非零向量,若a與b同向,則a與-b反向;若與共線,則A,B,C三點(diǎn)在同一條直線上.其中錯誤說法的序號是. 總結(jié)反思 對于平面向量的有關(guān)概念應(yīng)注意以下幾點(diǎn):(1)平行向量就是共線向量,二者是等價的,它們均與起點(diǎn)無關(guān);非零向量的平行具有傳遞性;相等向量一定是平行向量,而平行向量則未必是相等向量;相等向量具有傳遞性.(2)向量與數(shù)量不同,數(shù)量可以比較大小,向量則不能,但向量的模是非負(fù)數(shù),可以比較大小.(3)向量可以平移,平移后的向量與原向量是相等向量,解題時,不要把它與函數(shù)圖像的移動混為一談.(4)非零向量a與的關(guān)系:是與a同方向的單位向量.式題 (1)如圖4-

4、24-3,等腰梯形ABCD中,對角線AC與BD交于點(diǎn)P,點(diǎn)E,F分別在AD,BC上,EF過點(diǎn)P,且EFAB,則下列等式中成立的是()A.=B.=C.=D.=圖4-24-3 (2)給出下列說法:若A,B,C,D是不共線的四個點(diǎn),則=是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件;若a,b都是單位向量,則a=b;向量與相等;若a=b,b=c,則a=c.其中正確說法的序號是()A.B.C.D.探究點(diǎn)二平面向量的線性運(yùn)算考向1平面向量加減法的幾何意義2 (1)2017南昌重點(diǎn)學(xué)校模擬 已知O為ABC內(nèi)一點(diǎn),滿足4=+2,則AOB與AOC的面積之比為()A.11B.12C.13D.21(2)已知ABC,若|+|

5、=|-|,則ABC的形狀為. 總結(jié)反思 利用向量加減法的幾何意義解決問題通常有兩種方法:(1)根據(jù)兩個向量的和與差,構(gòu)造相應(yīng)的平行四邊形,再結(jié)合其他知識求解相關(guān)問題;(2)平面幾何中如果出現(xiàn)平行四邊形或可能構(gòu)造出平行四邊形的問題,可考慮利用向量知識來求解.考向2平面向量的線性運(yùn)算3 (1)2017西寧一模 如圖4-24-4所示,圖4-24-4在ABC中,點(diǎn)D在BC邊上,且CD=2DB,點(diǎn)E在AD上,且AD=3AE,則=()A.+B.-C.+D.-(2)2017長春二模 在ABC中,D為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),且=+,則=()A.B.C.D. 總結(jié)反思 向量線性運(yùn)算的解題策略:(1)常用的法則是平

6、行四邊形法則和三角形法則,一般共起點(diǎn)的向量求和用平行四邊形法則,求差用三角形法則,求首尾相連的向量的和用三角形法則.(2)找出圖形中的相等向量、共線向量,將所求向量與已知向量轉(zhuǎn)化到同一個平行四邊形或三角形中求解.(3)用幾個基本向量表示某個向量問題的基本技巧:觀察各向量的位置;尋找相應(yīng)的三角形或多邊形;運(yùn)用法則找關(guān)系;化簡結(jié)果.考向3利用向量的線性運(yùn)算求參數(shù)4 2017運(yùn)城三模 在ABC中,=,P是直線BN上一點(diǎn),且=m+,則實(shí)數(shù)m的值為()A.-2B.-4C.1D.4 總結(jié)反思 與向量的線性運(yùn)算有關(guān)的參數(shù)問題,一般是構(gòu)造三角形,利用向量運(yùn)算的三角形法則進(jìn)行加法或減法運(yùn)算,然后通過建立方程組即

7、可求得相關(guān)參數(shù)的值.強(qiáng)化演練1.【考向1】設(shè)D,E,F分別為ABC的邊BC,CA,AB的中點(diǎn),則+=()A.B.C.D.2.【考向1】2017長沙長郡中學(xué)三模 已知O是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),D為BC邊的中點(diǎn),且2+=0,則()A.=B.=2C.=3D.2=3.【考向2】在ABC中,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),點(diǎn)E是AC的中點(diǎn),點(diǎn)F在線段AD上,且AF=2DF,設(shè)=a,=b,則=()A.a-bB.a-bC.a-bD.a-b4.【考向1】已知向量a,b滿足|a|=|b|=1,且|a-b|=,則|a+b|=.5.【考向3】2017山東濱州二模 如圖4-24-5所示,在ABC中,O為BC的中點(diǎn),過點(diǎn)O的直線分別

8、交AB,AC所在直線于點(diǎn)M,N.若=m,=n,則m+n=.圖4-24-5探究點(diǎn)三共線向量定理及應(yīng)用考向1向量共線的問題5 已知e1,e2是兩個不共線的向量,若a=2e1-e2與b=e1+e2共線,則=()A.-B.-2C.D.2 總結(jié)反思 兩個向量共線是指兩個向量的方向相同或相反,因此共線包含兩種情況:同向共線或反向共線.一般地,若a=b(a0),則a與b共線:(1)當(dāng)0時,a與b同向; (2)當(dāng)0,反之不成立(因?yàn)閍與b夾角為0時不成立);(2)兩個向量a與b的夾角為鈍角,則有ab0,反之不成立(因?yàn)閍與b夾角為時不成立).題組一常識題1.教材改編 已知向量a=(1,-2),b=(3,-4)

9、,則a(a-b)=.2.教材改編 已知|a|=,|b|=,ab=,則向量a與b的夾角為.3.教材改編 已知=1,=2,且向量a與b的夾角為120,則|2a-b|=.4.教材改編 已知兩個單位向量e1,e2的夾角為45,且滿足e1(e2-e1),則=.5.教材改編 在長江南岸渡口處,江水以12.5 km/h的速度向東流,渡船的速度為25 km/h.若渡船要垂直渡過長江,則渡船的航向應(yīng)為.題組二常錯題索引:向量的夾角沒有找準(zhǔn)導(dǎo)致出錯;向量的數(shù)量積的幾何意義不理解致誤;向量的數(shù)量積的有關(guān)性質(zhì)應(yīng)用不熟練.6.在邊長為1的等邊三角形ABC中,設(shè)=a,=b,=c,則ab+bc+ca=.7.已知=(2,1)

10、,點(diǎn)C(-1,0),D(4,5),則向量在方向上的投影為.8.若四邊形ABCD滿足+=0,(-)=0,則該四邊形一定是.課堂考點(diǎn)探究探究點(diǎn)一平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算1 (1)2017長沙模擬 已知向量a=(2,-1),b=(3,x),若ab=3,則x=.(2)2017江西重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考 在邊長為1的正三角形ABC中,設(shè)=2,=2,則=. 總結(jié)反思 向量數(shù)量積的運(yùn)算問題可從三個方面考慮:(1)直接使用定義(已知兩個向量的模與夾角)或利用數(shù)量積的坐標(biāo)公式求解;(2)把兩個向量各自使用已知的向量表示,再按照法則計(jì)算;(3)建立平面直角坐標(biāo)系,把求解的兩個向量使用坐標(biāo)表示,再按照坐標(biāo)法計(jì)算.式題 (1)2

11、017資陽期末 已知菱形ABCD的邊長為2,B=,點(diǎn)P滿足=,R.若=-3,則=()A.B.-C.D.-(2)2017襄陽四中月考 已知向量a,b滿足|a|=3,|b|=5,|a-b|=7,則ab=.探究點(diǎn)二向量的夾角與向量的?？枷?平面向量的模2 (1)2017蕪湖、馬鞍山聯(lián)考 已知向量a=(1,-3),b=(2,m),若ab,則|a-2b|=()A.45B.90C.3D.3(2)2017河南新鄉(xiāng)三模 已知向量,滿足|=|=2,=2,若=+(,R),且+=1,則|的最小值為()A.1B.C.D. 總結(jié)反思 (1)利用數(shù)量積求解向量模的問題常用的公式:a2=aa=|a|2或|a|=;|ab|=

12、;若a=(x,y),則|a|=.(2)最值問題是在變化中求得一個特殊情況,在此情況下求解目標(biāo)達(dá)到最值,因此函數(shù)方法是最基本的方法之一.考向2平面向量的垂直3 (1)已知向量a=(2,-1),b=(1,7),則下列結(jié)論正確的是()A.ab B.abC.a(a+b)D.a(a-b)(2)2017重慶外國語學(xué)校月考 已知向量a=(5,m),b=(2,-2),(a+b)b,則m=()A.-9 B.9C.6 D.-6(3)如圖4-26-1所示,等腰梯形ABCD中,AB=4,BC=CD=2,若E,F分別是BC,AB上的點(diǎn),且滿足=,當(dāng)=0時,則的值為.圖4-26-1 總結(jié)反思 (1)當(dāng)向量a與b是坐標(biāo)形式

13、時,若證明ab,則只需證明ab=0x1x2+y1y2=0.(2)當(dāng)向量a,b是非坐標(biāo)形式時, 要把a(bǔ),b用已知的不共線向量作為基底來表示,且不共線的向量要知道其模與夾角,進(jìn)行運(yùn)算證明ab=0.(3)數(shù)量積的運(yùn)算ab=0ab是對非零向量而言的,若a=0,雖然有ab=0,但不能說ab.考向3平面向量的夾角4 (1)2017北京朝陽區(qū)期末 已知平面向量a=(1,0),b=-,則a與a+b的夾角為()A.B.C.D.(2)已知向量a=(m,3),b=(,1),若向量a,b的夾角為30,則實(shí)數(shù)m=.(3)2017四川綿陽中學(xué)模擬 平面向量a=(1,2),b=(6,3),c=ma+b(mR),且c與a的夾

14、角與c與b的夾角相等,則m=. 總結(jié)反思 (1)研究向量的夾角應(yīng)注意“共起點(diǎn)”;兩個非零共線向量的夾角分別是0與180;求角時,注意向量夾角的取值范圍是0,;若題目給出向量的坐標(biāo)表示,可直接利用公式cos =求解.(2)數(shù)量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角,數(shù)量積等于0說明不共線的兩向量的夾角為直角,數(shù)量積小于0說明不共線的兩向量的夾角為鈍角.強(qiáng)化演練1.【考向1】已知向量a,b滿足=2,=3,向量a與b的夾角為60,則|a-b|=()A.B.19C.D.72.【考向3】已知向量a=,b=(,-1),則a與b的夾角為()A.B.C.D.3.【考向3】2018益陽調(diào)研 已知向量a,b滿足|

15、a|=1,|b|=2,a+b=(1,),記向量a,b的夾角為,則tan =.4.【考向2】2018德州期中 已知向量與的夾角為60,且|=2,|=1,若=+,且,則實(shí)數(shù)的值是.5.【考向1】已知直角梯形ABCD中,ADBC,ADC=90,AD=2,BC=1,P是腰DC上的動點(diǎn),則|+3|的最小值為.6.【考向3】ABC的外接圓的半徑為1,圓心為O,且2+=0,|=|,則=.探究點(diǎn)三平面向量與三角函數(shù)的綜合5 2018洛陽期中 已知向量a=(sin x,-),b=(1,cos x).(1)若ab,求tan 2x的值;(2)令f(x)=ab,把函數(shù)f(x)的圖像上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都縮短為原來的一半(

16、縱坐標(biāo)不變),再把所得的圖像沿x軸向左平移個單位長度,得到函數(shù)g(x)的圖像,求函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間及其圖像的對稱中心. 總結(jié)反思 平面向量與三角函數(shù)的綜合問題的解題思路:(1)題目條件給出向量的坐標(biāo)中含有三角函數(shù)的形式,運(yùn)用向量共線或垂直或等式成立的條件,得到三角函數(shù)的關(guān)系式,然后求解;(2)給出用三角函數(shù)表示的向量坐標(biāo),求解的是向量的?；蛘咂渌蛄康谋磉_(dá)式,經(jīng)過向量的運(yùn)算,利用三角函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性求得值域等.式題 已知向量a=(sin x,cos x),b=(-1,1),c=(1,1),其中x0,.(1)若(a+b)c,求x的值;(2)若ab=,求sinx+的值.第27講數(shù)系的

17、擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入課前雙擊鞏固1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(1)復(fù)數(shù)的概念形如a+bi(a,bR)的數(shù)叫作復(fù)數(shù),其中a,b分別是它的和.若,則a+bi為實(shí)數(shù);若,則a+bi為虛數(shù);若,則a+bi為純虛數(shù).(2)復(fù)數(shù)相等:a+bi=c+di (a,b,c,dR).(3)共軛復(fù)數(shù):a+bi與c+di共軛(a,b,c,dR).(4)復(fù)數(shù)的模:向量=(a,b)的模r叫作復(fù)數(shù)z=a+bi(a,bR)的模,記作或,即|z|=|a+bi|=.2.復(fù)數(shù)的幾何意義(1)復(fù)數(shù)z=a+bi復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)(a,bR).(2)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,bR)平面向量.3.復(fù)數(shù)的運(yùn)算(1)復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則設(shè)z1=a

18、+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),則加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=;減法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=;乘法:z1z2=(a+bi)(c+di)=;除法:=(c+di0).(2)復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算律復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律,即對任何z1,z2,z3C,有z1+z2=,(z1+z2)+z3=.常用結(jié)論1.(1i)2=2i,=i,=-i.2.i4n=1, i4n+1=i, i4n+2=-1,i4n+3=-i(nN*);i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(nN*).3.z=|z|2=|2,|z1z2|=|z1|z2|,=,|zn|=|z|n.4.復(fù)數(shù)

19、加法的幾何意義:若復(fù)數(shù)z1,z2對應(yīng)的向量,不共線,則復(fù)數(shù)z1+z2是以,為鄰邊的平行四邊形的對角線所對應(yīng)的復(fù)數(shù).5.復(fù)數(shù)減法的幾何意義:復(fù)數(shù)z1-z2是-=所對應(yīng)的復(fù)數(shù).題組一常識題1.教材改編 若復(fù)數(shù)z=a2-a-2+(a+1)i為純虛數(shù),則實(shí)數(shù)a的值為.2.教材改編 復(fù)數(shù)z=(x+1)+(x-2)i(xR)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限,則x的取值范圍為.3.教材改編 已知i是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)=.題組二常錯題索引:將復(fù)數(shù)a+bi(a,bR)的虛部誤認(rèn)為是bi;將復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)的位置弄錯;錯用虛數(shù)單位i的冪的性質(zhì).4.已知復(fù)數(shù)z=,則z的共軛復(fù)數(shù)的虛部為.5.已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)

20、對應(yīng)的點(diǎn)落在虛軸上,且滿足|z-1|=3,則z=.6.若復(fù)數(shù)z滿足=i2018+i2019(i為虛數(shù)單位),則z=.課堂考點(diǎn)探究探究點(diǎn)一復(fù)數(shù)的有關(guān)概念1 (1)2017河南六校聯(lián)考 設(shè)復(fù)數(shù)z=(i為虛數(shù)單位),則z的虛部是()A.-1B.1C.-iD.i(2)若復(fù)數(shù)(bR,i為虛數(shù)單位)的實(shí)部和虛部互為相反數(shù),則b=. 總結(jié)反思 復(fù)數(shù)的基本概念有實(shí)部、虛部、虛數(shù)、純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)等,在解題中要注意辨析概念的不同,靈活使用條件得出符合要求的解.式題 (1)2017煙臺一模 設(shè)i是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)a+(aR)是純虛數(shù),則a=()A.-1B.1C.-2D.2(2)已知復(fù)數(shù)z=是純虛數(shù)(其中i為虛數(shù)單

21、位,aR),則z的虛部為()A.1B.-1 C.iD.-i探究點(diǎn)二復(fù)數(shù)的幾何意義2 (1)在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限(2)2017保定一模 在復(fù)平面內(nèi),若O(0,0),A(2,-1),B(0,3),則在OACB中,點(diǎn)C所對應(yīng)的復(fù)數(shù)為()A.2+2iB.2-2iC.1+iD.1-i 總結(jié)反思 (1)復(fù)數(shù)z、復(fù)平面上的點(diǎn)Z及向量相互聯(lián)系,即z=a+bi(a,bR)Z(a,b).(2)復(fù)數(shù)的幾何意義:復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)就是向量的坐標(biāo),對于復(fù)數(shù)z=a+bi(a,bR),其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(a,b).復(fù)數(shù)的模即為其對應(yīng)向量的模.式

22、題 (1)2017贛州二模 已知復(fù)數(shù)z滿足(1-i)2z=1+2i,則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為()A.B.C.D.(2)2017南寧二模 復(fù)數(shù)(aR)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限,則a的取值范圍為()A.a0B.0a1D.a|b|0,所以當(dāng)a,b同向時,a+b的方向與a的方向相同,當(dāng)a,b反向時,a+b的方向仍與a的方向相同,正確;對于,因?yàn)椴淮_定a0的方向與a的方向是否相同,所以錯誤.6.等腰梯形解析 =表示與共線,但|,所以四邊形ABCD是梯形,又|=|,所以四邊形ABCD是等腰梯形.7.2,6解析 當(dāng)a與b方向相同時,|a-b|=2,當(dāng)a與b方向相反時,|a-b|=6,當(dāng)a與b不共線時,

23、2|a-b|6,所以|a-b|的取值范圍為2,6.此題易忽視a與b方向相同和a與b方向相反兩種情況.【課堂考點(diǎn)探究】例1思路點(diǎn)撥 (1)將已知等式整理成a=b的形式,再根據(jù)向量共線定理判斷;(2)利用平面向量的有關(guān)概念判斷.(1)C(2)解析 (1)由+=0得=-0,即a=-|a|0,則a與b共線且方向相反,因此當(dāng)向量a與b共線且方向相反時,能使+=0成立.選項(xiàng)A中向量a與b的方向相同,選項(xiàng)B中向量a與b共線,方向相同或相反,選項(xiàng)C中向量a與b的方向相反,選項(xiàng)D中向量a與b互相垂直,故選C.(2)不正確.兩個向量的長度相等,但它們的方向不一定相同.不正確.當(dāng)b=0時,ab,bc,但a與c不一定

24、平行.正確.a與b是非零向量,b與-b反向,若a與b同向,則a與-b反向.正確.因?yàn)榕c共線,且與有公共點(diǎn)B,所以A,B,C三點(diǎn)在同一條直線上.變式題(1)D(2)A解析 (1)A中,與的長度相等,但方向不同,所以A錯誤;B中,與的長度相等,但方向不同,所以B錯誤;C中,與的長度相等,但方向相反,所以C錯誤;D中,與的長度相等,方向也相同,即=.故選D.(2)對于,因?yàn)?,所以|=|且與共線,又因?yàn)锳,B,C,D是不共線的四個點(diǎn),所以四邊形ABCD為平行四邊形;反之,若四邊形ABCD為平行四邊形,則與共線且|=|,所以=,故正確.根據(jù)單位向量的定義可知,單位向量的模相等,但方向不一定相同,故兩個

25、單位向量不一定相等,故錯誤.向量與互為相反向量,故錯誤.對于,因?yàn)閍=b,所以a,b的長度相等且方向相同,又b=c,所以b,c的長度相等且方向相同,所以a,c的長度相等且方向相同,即a=c,故正確.故選A.例2思路點(diǎn)撥 (1)首先根據(jù)條件4=+2構(gòu)造平行四邊形ABEF,然后結(jié)合三角形相似的性質(zhì)求解;(2)以向量,為鄰邊作平行四邊形,通過判斷平行四邊形的形狀來確定ABC的形狀.(1)D(2)直角三角形解析 (1)如圖所示,延長AC到點(diǎn)F,使AC=CF,以AB,AF為鄰邊作平行四邊形ABEF,對角線AE交BC于點(diǎn)D,故4=+2=,即點(diǎn)O在AE上,則AOB與AOC的高分別為B,C到AE的距離.由平行

26、四邊形的性質(zhì)得ADCEDB,且相似比為12,即CDBD=12,又因?yàn)锳OB,AOC的底邊均為AO,高的比等于BDDC=21,所以AOB與AOC的面積之比為21.(2)由|+|=|-|可知,以向量,為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線相等,則此平行四邊形為矩形,故,即ABC為直角三角形.例3思路點(diǎn)撥 (1)首先利用三角形法則與向量共線的性質(zhì)表示出向量,然后利用三角形法則表示出.(2)由=+確定點(diǎn)D的位置,從而確定兩三角形面積的關(guān)系.(1)B(2)B解析 (1)由平面向量的三角形法則及向量共線的性質(zhì)可得=,=+,=,=+,則=(+),所以=+=+,所以=+,所以=+=+=+=-,故選B.(2)由=+得點(diǎn)

27、D在平行于AB的中位線上,從而有SABD=SABC,又SACD=SABC,所以SBCD=1-SABC=SABC,所以=.故選B.例4思路點(diǎn)撥 利用P是直線BN上一點(diǎn),可設(shè)=n,然后用m,n及,表示出向量,對照已知條件即可求得m的值.A解析 =,=.P是直線BN上一點(diǎn),設(shè)=n,則 -=n(-),即=(1-n)+n=(1-n)+=m+,則n=3,所以m=1-n=-2.故選A.強(qiáng)化演練1.A解析 +=(-)+(+)=+=+=(+)=,故選A.2.A解析 由題意得+=2,又+=-2=2,所以=,故選A.3.D解析 =-=-=+-+=-,故選D.4.解析 設(shè)=a,=b,以,為鄰邊作平行四邊形OACB,則

28、|=|a-b|,|=|a+b|.|a|=|b|=1,且|a-b|=,|=|a|=|b|,平行四邊形OACB是正方形,|=|=,即|a+b|=.5.2解析 因?yàn)镺是BC的中點(diǎn),所以+=2,即m+n=2,則=m+n.又因?yàn)镺,M,N三點(diǎn)共線,所以m+n=1,即m+n=2.例5思路點(diǎn)撥 根據(jù)平面向量共線定理,引入實(shí)數(shù)使得2e1-e2=(e1+e2),然后通過比較系數(shù)建立方程組求解.A解析 若向量a與b共線,則存在實(shí)數(shù)使得2e1-e2=(e1+e2),則有解得=-,故選A.例6思路點(diǎn)撥 (1)首先根據(jù)向量加減法法則尋找A,B,C,D四點(diǎn)中任意三個點(diǎn)對應(yīng)向量間的關(guān)系,然后利用共線定理進(jìn)行判斷;(2)首先

29、將A,B,C三點(diǎn)共線問題轉(zhuǎn)化為與共線問題,然后利用向量共線定理求解.(1)A(2)D解析 (1)=a+5b,=-3a+6b,=4a-b,=+=(-3a+6b)+(4a-b)=a+5b=,A,B,D三點(diǎn)共線,故選A.(2)由A,B,C三點(diǎn)共線,得與共線,則存在實(shí)數(shù),使得=,則有解得=-1或2,故選D.強(qiáng)化演練1.A解析 a=b,a,b共線;a=-6-e1+e2=-6b,a,b共線;b=-2(e1-e2),不存在R,使得a=b成立,a,b不共線.故選A.2.D解析 由=+,得-=,=,點(diǎn)P在射線AB上,故選D.3.D解析 由題意知,存在實(shí)數(shù),使a=b,即e1+ke2=(ke1+e2),由向量相等得

30、解得k=1,故選D.4.B解析 設(shè)E是BC邊的中點(diǎn),則(+)=.由題意得=,所以=(+)=+,又因?yàn)锽,O,D三點(diǎn)共線,所以+=1,解得t=,故選B.【備選理由】例1對共線定理加深理解,例2、例3是兩個綜合性較強(qiáng)的題目,可供學(xué)有余力的學(xué)生選用.1配合例5使用 2017北京海淀區(qū)期中 在ABC中,點(diǎn)D滿足=2-,則()A.點(diǎn)D不在直線BC上B.點(diǎn)D在線段BC的延長線上C.點(diǎn)D在線段BC上D.點(diǎn)D在線段CB的延長線上解析 D由=2-=-=,故點(diǎn)D在線段CB的延長線上,故選D.2配合例4使用 2017上海黃浦區(qū)二模 如圖所示,BAC=,圓M與AB,AC分別相切于點(diǎn)D,E,AD=1,點(diǎn)P是圓M內(nèi)任意一

31、點(diǎn)(含邊界),且=x+y(x,yR),則x+y的取值范圍為()A.B.C.D.解析 B連接AM并延長,線段AM及其延長線分別交圓M于Q,T兩點(diǎn),連接DE,與AM交于點(diǎn)R,顯然=+,此時x+y=1.由于AD=AE=1,BAC=,AM=2,DM=.點(diǎn)P是圓M內(nèi)任意一點(diǎn)(含邊界),2-AP2+,且當(dāng)A,P,M三點(diǎn)共線時x+y取得最值.當(dāng)P位于Q點(diǎn)時,AQ=2-,AR=,則=(4-2)=(2-)+(2-),此時x+y取得最小值4-2;同理可得,當(dāng)點(diǎn)P位于T點(diǎn)時,=(2+)+(2+),此時x+y取得最大值4+2.故選B.3配合例3使用 2017樂山調(diào)研 如圖,已知AB是圓O的直徑,點(diǎn)C,D是圓弧AB的兩

32、個三等分點(diǎn),=a,=b,則=()A.a-bB.a-bC.a+bD.a+b解析 D連接OC,OD,CD,由點(diǎn)C,D是圓弧AB的兩個三等分點(diǎn),得AOC=COD=BOD=60,且OAC和OCD均為邊長等于圓O的半徑的等邊三角形,所以四邊形OACD為菱形,所以=+=+=a+b,故選D.第25講平面向量基本定理及坐標(biāo)表示考試說明 1.了解平面向量的基本定理及其意義.2.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.3.會用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算.4.理解用坐標(biāo)表示平面向量共線的條件.考情分析考點(diǎn)考查方向考例考查熱度平面向量的基本定理基本定理的應(yīng)用2017全國卷12平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算、求參數(shù)值等2017全國卷12,2017全國卷12共線向量的坐標(biāo)表示判斷共線、根據(jù)共線求參數(shù)值等2014全國卷10真題再現(xiàn) 2017-2013課標(biāo)全國真題再現(xiàn)1.2017全國卷 在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,動點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上.若= +,則+的最大值為()A.3B.2C.D.2解析 A如圖,建立平