2.4線段的垂直平分線.ppt

1、,A,B,問題導(dǎo)入,如圖，在春陵江岸的一側(cè)有相隔一段距離的A、B兩個倉庫，要在江岸邊建造一個碼 頭，使它到A、B兩個倉庫的距離相等，碼 頭應(yīng)建在什么位置?,春陵江,線段的垂直平分線 (1),學(xué)習(xí)目標(biāo),1.結(jié)合具體例子認(rèn)識什么是線段的垂直 平分線，理解線段的垂直平分線所滿 足的兩個條件.,2.探索掌握線段垂直平分線的性質(zhì)定理及 其逆定理.,3.能應(yīng)用線段垂直平分線的性質(zhì)定理找出 線段相等.,觀察：如圖，人字形屋頂?shù)目蚣苤?，點(diǎn)A 與點(diǎn)A 關(guān)于線段CD 所在的直線l 對稱，你發(fā)現(xiàn)線段 CD 所在的直線l 與線段AA 有哪些關(guān)系？,已知點(diǎn)A與點(diǎn) 關(guān)于直線l 對稱,l,A,A,D,2,1,(A),現(xiàn)在把

2、人字形屋頂框架圖進(jìn)行簡化得到如下圖：,lAA ：l 垂直AA,AD=A D：l 平分AA,如果沿直線l折疊， 則點(diǎn)A與點(diǎn) 重合，,所以AD=AD，1 =2 = 90，,即直線l 既垂直線段AA，又平分線段AA,直線l 就叫做線段AA 的垂直平分線,_且_一條線段的直線叫作這條線 段的垂直平分線.,想一想： 線段是軸對稱圖形嗎？ 它的對稱軸是什么？,（中垂線）,由上得到線段的垂直平分線的定義：,垂直,平分,用符號語言表示：如圖,_，_ 直線l 是線段AA 的垂直平分線,線段是軸對稱圖形， 線段的垂直平分線是它的對稱軸.,l AB,AC=BC,N,M,P,探究交流：,O,A,B,（1）在紙上畫一條

3、線段AB，再畫出線段AB的 垂直平分線 MN；,（2）在線段AB的垂直平分線MN上 任取一點(diǎn)P,連接PA，PB，,（3）測量PA、PB的長度， 你有什么發(fā)現(xiàn)？,PA=PB,線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等,（4）你能用語言表達(dá)這個結(jié)論嗎？,N,M,P,探究交流：,O,A,B,（5）理由：,線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等,直線MN是線段AB 的垂直平分線，,沿直線MN折疊，點(diǎn)A與點(diǎn)B重合.,點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于直線MN對稱,從而線段PA與線段PB重合,于是PA= PB.,由此得出線段垂直平分線的性質(zhì)定理：,條件：點(diǎn)在線段的垂直平分線上,結(jié)論：這個點(diǎn)到線段兩端的距離相等,A,B,P,O

4、,學(xué)以致用,如圖，在春陵江岸的一側(cè)有相隔一段距離的A、B 兩個倉庫，要在江岸邊建造一個碼頭，使它到A、 B兩個倉庫的距離相等，碼頭應(yīng)建在什么位置?,春陵江,1.解答前面所提出的問題：,分析：（1）所建造的碼頭要滿足幾個條件？,在江岸邊,到A、B兩個端點(diǎn) 的距離相等,（2）碼頭位置 應(yīng)為江岸邊與 線段AB的垂直 平分線的交點(diǎn).,答：碼頭應(yīng) 建在點(diǎn)P 的位置,2.如圖，ABC中，AB=9cm,AC15cm，BC的 垂直平分線DE交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E， 求ABD的周長,解:, DE是BC的垂直平分線, BD=DC, ABD的周長 =AB+BD+AD,=AB+DC+AD,=AB+AC,=9+15

5、=24(cm),方法小結(jié)：應(yīng)用線段的垂直平分線性質(zhì)定理可幫 助我們找到線段相等關(guān)系，即線段垂直平分線上 的點(diǎn)到這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等,(線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等),B,A,D,E,C,3.如圖，ABC中，ABAC，A36，AC的 垂直平分線交AB于E，D為垂足，連接EC. (1)求ECD的度數(shù)；(2)若CE5，求BC長,解(1), DE是AC的垂直平分線, EA=EC, ECDA36,（等邊對等角）,(2),AB=AC A36, BACB,（等邊對等角）,720,又BECA+ECA=72, BBEC, BC = EC =5,（等角對等邊）,(線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的

6、距離相等),（1）如圖，在ABC中，AB的垂直平分線 分別交AB，BC于點(diǎn)D，E，B=30， BAC= 80， 求CAE的度數(shù).,4.自主練習(xí)交流：,解, DE是AB的垂直平分線, AE=BE, BAEB30,又CAE+BAE=BAC, CAEBAC-BAE,80-30 50,（2）如圖，在ABC中，AB AC，BC邊上的 垂直平分線DE交BC于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E， AC=15cm，ABE的周長是24cm，求AB的長.,如圖，在ABC中，BC=8cm，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交邊AC于點(diǎn)E，BCE的周長等于18cm，則AC的長等于（ ）. A.6cm B.8cm C.10cm D.12c

7、m,解析,C,DE是AB的垂直平分線， AE=BE(線段垂直平分線上的 點(diǎn)到線段兩端的距離相等). 又在BCE中， BE+CE+BC=18cm，BC=8cm， BE+CE=10cm. AC=AE+CE=BE+CE=10cm. 故應(yīng)選擇C.,作業(yè)布置,課本72頁A組2，3,1._且_一條線段的直線叫作這條 線段的垂直平分線.,垂直,平分,3.如圖，直線l 是線段AB的垂直平分線, 則PC_AB，AC=_，PA=_.,BC,知識回顧,2.線段垂直平分線上的點(diǎn) _,到這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等,PB,4._點(diǎn)確定一條直線.,兩,提出問題,如圖，現(xiàn)在知道點(diǎn)C到線段AB 兩端的距離 相等，即CA=CB，

8、點(diǎn)D到線段AB 兩端的距 離也相等，即DA=DB，那么根據(jù)上面條件你 能畫出線段AB的垂直平分線嗎？,線段的垂直平分線 (2),學(xué)習(xí)目標(biāo),1.理解掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)定理 的逆定理，并會應(yīng)用這個逆定理判斷一 個點(diǎn)是否在線段的垂直平分線上.,2.能夠運(yùn)用直尺和圓規(guī)作出一條線段的垂 直平分線.,1.想一想： 我們知道線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端 的距離相等，反過來，它的逆命題怎么說？,(1) 當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時，,探究交流,2.證明：已知一點(diǎn)P到線段AB 兩端的 距離PA與PB相等，那么點(diǎn)P在 線段AB的垂直平分線上嗎？,到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直 平分線上.,l,P,顯然此時點(diǎn)

9、P在線段AB的垂直平分線上.,因?yàn)镻A = PB， 所以點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn)，,（2） 當(dāng)點(diǎn)P在線段AB外時,因此直線PC是線段AB的垂直平分線， 此時點(diǎn)P也在線段AB的垂直平分線上.,PA=PB 點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上,由此得到線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理：,因?yàn)镻A =PB， 所以PAB是等腰三角形.,過頂點(diǎn)P 作PCAB，垂足為點(diǎn)C,則AC = BC.,（三線合一）,C,到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上.,幾何語言：,條件：點(diǎn)到線段兩端的距離相等,結(jié)論：這個點(diǎn)在線段的垂直平分線上,知識應(yīng)用,如圖，現(xiàn)在知道點(diǎn)C到線段AB 兩端的距離相等， 即CA=CB，點(diǎn)D到線段AB

10、兩端的距離也相等， 即DA=DB，那么根據(jù)上面條件你能畫出線段AB的 垂直平分線嗎？,1.解答前面所提出的問題：,由CA=CB可知點(diǎn)C在什么 線上？根據(jù)是什么？,分析：,點(diǎn)C 在線段AB的垂直平分線上,由DA=DB可知點(diǎn)D在什么線上？根據(jù)是什么？,點(diǎn)D也在線段AB的垂直平分線上,由上可見直線CD是線段AB的垂直平分線嗎？,2.已知：如圖，在ABC中，AB，BC的垂直平 分線相交于點(diǎn)O，連接OA，OB，OC. 求證：點(diǎn)O 在AC的垂直平分線上.,分析：,根據(jù)“到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的 垂直平分線上”可知需要證明_.,OA=OC,證明,點(diǎn)O在線段AB的垂直平分線上,OA=OB,同理OB=OC

11、, OA=OC, 點(diǎn)O 在AC的垂直平分線上,小結(jié)：判斷證明一個點(diǎn)在線段的垂直平分線上， 需要找出這個點(diǎn)到線段兩端的距離相等,舉一反三，拓展思維,1.課本70頁練習(xí)2 已知：如圖，點(diǎn)C，D是線段AB外的兩點(diǎn)，且 AC =BC，AD=BD，AB與CD相交于點(diǎn)O. 求證：AO=BO.,證明,AC=BC,點(diǎn)C 在線段AB的垂直平分線上,AD=BD,點(diǎn)D也在線段AB的垂直平分線上,CD為線段AB的垂直平分線,又AB與CD相交于點(diǎn)O,AO=BO,2.如圖，在ABC中，AC=15cm,AB=10cm,E是BC 的中點(diǎn)，若ABD的周長是25cm， 求證：DE是線段BC的垂直平分線,分析：,由于E是BC的中點(diǎn)，根據(jù)線段垂直平分線 的定義需要證明_,DEBC,證明,ABD的周長是25cm,AB+BD+AD=25cm,BD+AD=15cm,又CD+AD=AB=15cm,BD+AD=CD+AD,BD=CD,即BDC是等腰三角形,E是BC的中點(diǎn),DEBC,（三線合一）,DE是線段BC的垂直平分線,如圖，已知線段AB，作線段AB的垂直平分線,分析： 根據(jù)“到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直 平分線上”，要作線段AB的垂直平分線，關(guān)鍵 是找出到線段AB兩端距離相等的兩點(diǎn).,線段的垂直平分線的作法的應(yīng)用：,1.作線段的中