分?jǐn)?shù)階微積分的產(chǎn)生及演變ppt課件.ppt

1、分?jǐn)?shù)階微積分的生成和進(jìn)化，1，分?jǐn)?shù)階微積分是一個(gè)古老而新鮮的概念。 從整數(shù)色微積分創(chuàng)立的初期開(kāi)始，Lhospital、Leibniz等數(shù)學(xué)家就開(kāi)始思考它的意思。 但是，由于應(yīng)用背景支持不足等多方面的理由，有日子不太受到關(guān)注。 隨著自然科學(xué)與社會(huì)科學(xué)的發(fā)展，復(fù)雜工程應(yīng)用需求的增加，尤其是20世紀(jì)78年代以來(lái)對(duì)分形和各種復(fù)雜系統(tǒng)的深入研究，分?jǐn)?shù)階微積分理論及其應(yīng)用開(kāi)始受到廣泛關(guān)注。 引言進(jìn)入21世紀(jì)以來(lái)，分?jǐn)?shù)階微積分的建模方法和理論在高能物理、反常擴(kuò)散、復(fù)雜黏彈性材料力學(xué)結(jié)構(gòu)關(guān)系、系統(tǒng)控制、流動(dòng)變性、地球物理、生物醫(yī)藥工程科學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等許多領(lǐng)域有著非常成功的應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)了其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)和不可替代性，并

2、對(duì)其理論和應(yīng)用研究、3，同時(shí)， 由于分?jǐn)?shù)階微積分的非局部性，分?jǐn)?shù)階微分控制方程的數(shù)值模擬的修正量和存儲(chǔ)量隨問(wèn)題規(guī)模的增大，比對(duì)應(yīng)的整數(shù)階方程增加得快得多，一些修正整數(shù)階方程的非常有效的數(shù)值方法對(duì)分?jǐn)?shù)階方程也完全失效了。 目前，許多分?jǐn)?shù)階微積分方程模型仍然是唯象模型，其內(nèi)在物理和力學(xué)反應(yīng)歷程觀尚不清楚，尚有待進(jìn)一步研究。 4、目前，在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究和工程科學(xué)應(yīng)用研究中最常用的有以下四種分?jǐn)?shù)階微積分定義： Grunwald-Letnikov分?jǐn)?shù)階微積分、Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階微積分、Caputo型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和Riesz分?jǐn)?shù)階微積分。 Grunwald-Letnikov定義是差分格式

3、定義，與Riemann-Liouville等定義相比，在數(shù)學(xué)理論分析中使用較少。 但是，在微積分方程式的理論和數(shù)值修正運(yùn)算中被廣泛使用。 Riemann-Liouville定義采用微分積分形式，避免了極限求解，在數(shù)學(xué)理論研究中發(fā)揮著重要作用。 5、為了便于實(shí)際問(wèn)題的建模，在黏彈性材料的研究中引入了另一個(gè)離散階微積分的定義，即Caputo導(dǎo)數(shù)。 Caputo定義由建模應(yīng)用和積分變換滿(mǎn)足的初始條件以整數(shù)階微積分的形式給出，目前Caputo定義在實(shí)際問(wèn)題建模過(guò)程中得到了廣泛應(yīng)用。6、二Grunwald-Letnikov分?jǐn)?shù)階微積分、7、8、9、10、11、12、13、14、三維分?jǐn)?shù)階微積分、15、五

4、空間分?jǐn)?shù)階加算子的Riesz定義、29、30、6總結(jié)，分?jǐn)?shù)階微積分理論的主要目前，分?jǐn)?shù)階微積分的定義有十幾種，但這些個(gè)的定義之間有著密切的關(guān)系。 但由于定義的使用范圍、相關(guān)初始值條件等不同，應(yīng)用存在一些不真實(shí)自我，因此分?jǐn)?shù)階微積分定義的分類(lèi)和統(tǒng)一是非常有意義的獨(dú)創(chuàng)工作。 (2)分?jǐn)?shù)階微積分的數(shù)值求解，分?jǐn)?shù)階微積分定義的擴(kuò)展和擴(kuò)展(如分形導(dǎo)函數(shù)的一些性質(zhì)和分析)正定分?jǐn)?shù)階微積分的性質(zhì)和應(yīng)用)。 (3)分?jǐn)?shù)階微積分與整數(shù)階微積分的性質(zhì)研究不同，是分?jǐn)?shù)階微積分的積分變換，如傅立葉變換、拉式變換、z變換等。 以上是分?jǐn)?shù)階微積分理論研究的重要方向。 32、雖然目前分?jǐn)?shù)階微積分的定義已經(jīng)提出，但是分?jǐn)?shù)階微積分的理論體系還存在進(jìn)一步的擴(kuò)展和完善，如時(shí)間分?jǐn)?shù)階微積分定義的統(tǒng)一問(wèn)題。 空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義問(wèn)題更為嚴(yán)重，在現(xiàn)階段，空間分?jǐn)?shù)階微積分的定義在數(shù)值修正運(yùn)算中使用Grunwald-Letnikov定義和Riesz-Feller定義，其次使用Riemann-Liouville定義。 在多維空間的分?jǐn)?shù)階定義中，較成功的是分?jǐn)?shù)階拉普拉斯定義，但這種定義也很復(fù)雜，目前尚未應(yīng)用于差分方程求解。只有在分?jǐn)?shù)階微積分的定義比較完備的情況下，分?jǐn)?shù)階微積分才能更廣泛地應(yīng)用于自然學(xué)