8-2多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)

1、多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù),第八章,一、 偏導(dǎo)數(shù)的概念,二 、偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算,第二節(jié),四 、高階偏導(dǎo)數(shù),三 、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義,一、偏導(dǎo)數(shù)的概念,1.引例,研究弦在點(diǎn) x0 處的振動(dòng)速度與加速度 ,就是將,中的 x 固定,求,于x0 處,振幅,t 的一階導(dǎo)數(shù)與二階導(dǎo)數(shù).,弦線的振動(dòng)問題.,關(guān)于,2. 定義8.6,對(duì)x 的偏導(dǎo)數(shù)，記為,同樣可定義,函數(shù) f(x, y) 在點(diǎn) 對(duì) y 的偏導(dǎo)數(shù),注,記為,注 1 偏導(dǎo)函數(shù),z = f ( x , y ) 在域 D 內(nèi)每一點(diǎn) ( x , y ),偏導(dǎo)數(shù) ,記為,處對(duì) x的（或 y )偏導(dǎo)數(shù)都存在 , 稱該偏導(dǎo)數(shù)為,若函數(shù),z = f(x, y) 對(duì)自變量x (或

2、y)的偏導(dǎo)函數(shù), 也簡(jiǎn)稱為,由此可知：,2 偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù),例如: 三元函數(shù) u = f (x , y , z) 在點(diǎn)(x , y , z) 處對(duì) x 的,偏導(dǎo)數(shù)定義為,(請(qǐng)自己寫出),3 可(偏)導(dǎo),例1,求證:,證,(R 為常數(shù)) ,一定量理想氣體的狀態(tài)方程,5,3. 偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系,對(duì)于一元函數(shù)：,可導(dǎo),連續(xù),對(duì)于多元函數(shù)：,可（偏）導(dǎo),連續(xù),例2,證,注 對(duì)于二元函數(shù)：,可偏導(dǎo),連續(xù),例3,解(方法1),其值隨 k 的不同而變化，,從而 f (x , y) 在點(diǎn)(0 , 0)并不連續(xù)!,(方法2),注 對(duì)于二元函數(shù)：,可偏導(dǎo),連續(xù),由偏導(dǎo)數(shù)的定義可知,為一元

3、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算.,偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算可歸結(jié),二、偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算,求某個(gè)具體的點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)方便,例4 求,解(方法1),在點(diǎn)(1 , 2) 處的偏導(dǎo)數(shù).,先求后代,先代后求,(方法2),例5 設(shè),證,求證,解,例6,三、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義,是曲線,在點(diǎn) M0 處的切線,對(duì) y 軸的斜率.,例7,解,四、高階偏導(dǎo)數(shù),設(shè) z = f (x , y)在域 D 內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),若這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù)，,則稱它們是,z = f ( x , y )的二階偏導(dǎo)數(shù) .,按求導(dǎo)順序不同,有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù):,類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù).,例如，z = f (x , y) 關(guān)于 x 的三階偏導(dǎo)數(shù)為,z = f (

4、x , y) 關(guān)于 x 的 n 1 階偏導(dǎo)數(shù) , 再關(guān)于,y 的一階偏導(dǎo)數(shù)為,例8 求函數(shù),解,注 此處,但這一結(jié)論并不總是成立.,的二階偏導(dǎo)數(shù)及,問題：,二階混合偏導(dǎo)數(shù)一定都相等嗎？,不一定！,例如：,二者不等,則,定理,例如, 對(duì)三元函數(shù) u = f (x , y , z) ,本定理對(duì) n 元函數(shù)的高階混合偏導(dǎo)數(shù)也成立.,當(dāng)三階混合偏導(dǎo)數(shù),在點(diǎn) (x , y , z) 連續(xù)時(shí), 有,(證明略),問題：,具備怎樣的條件，混合偏導(dǎo)數(shù) 相等？,例9 證明函數(shù),滿足拉普拉斯,證,利用對(duì)稱性 , 有,方程,內(nèi)容小結(jié),1. 偏導(dǎo)數(shù)的概念及有關(guān)結(jié)論,定義; 記號(hào); 幾何意義,函數(shù)在一點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在,函數(shù)在此點(diǎn)連續(xù),混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),與求導(dǎo)順序無(wú)關(guān),2. 偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法,求一點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)的方法,先代后求,先求后代,利用定義,求高階偏導(dǎo)數(shù)的方法,逐次求導(dǎo)法,(與求導(dǎo)順序無(wú)關(guān)時(shí), 應(yīng)選擇方便的求導(dǎo)順序),解,備用題,例2-1,例5-1