第4章 數(shù)值的機(jī)器運(yùn)算(wxr)

1、1,王學(xué)榮,計(jì)算機(jī)組成原理,2,第4章數(shù)值的機(jī)器運(yùn)算,3,運(yùn)算器是計(jì)算機(jī)進(jìn)行算術(shù)運(yùn)算和邏輯運(yùn)算的主要部件，運(yùn)算器的邏輯結(jié)構(gòu)取決于機(jī)器的指令系統(tǒng)、數(shù)據(jù)表示方法和運(yùn)算方法等。本章主要討論數(shù)值數(shù)據(jù)在計(jì)算機(jī)中實(shí)現(xiàn)算術(shù)運(yùn)算和邏輯運(yùn)算的方法，以及運(yùn)算部件的基本結(jié)構(gòu)和工作原理。,4,本章學(xué)習(xí)內(nèi)容,4.1 基本算術(shù)運(yùn)算的實(shí)現(xiàn) 4.2 定點(diǎn)加減運(yùn)算 4.3 帶符號(hào)數(shù)的移位和舍入操作 4.4 定點(diǎn)乘法運(yùn)算 4.5 定點(diǎn)除法運(yùn)算 4.6 規(guī)格化浮點(diǎn)運(yùn)算 4.7 十進(jìn)制整數(shù)的加法運(yùn)算 4.8 邏輯運(yùn)算與實(shí)現(xiàn) 4.9 運(yùn)算器的基本組成與實(shí)例,5,本章學(xué)習(xí)要求,掌握：定點(diǎn)補(bǔ)碼加法和減法運(yùn)算方法 理解：3種溢出檢測(cè)方法 理

2、解：補(bǔ)碼移位運(yùn)算和常見(jiàn)的舍入操作方法 了解：串行加法器與并行加法器 理解：進(jìn)位產(chǎn)生和進(jìn)位傳遞 掌握：定點(diǎn)原碼、補(bǔ)碼乘法運(yùn)算方法 掌握：定點(diǎn)原碼、補(bǔ)碼加減交替除法運(yùn)算方法 理解：浮點(diǎn)加減乘除運(yùn)算 理解：邏輯運(yùn)算 了解：運(yùn)算器的基本結(jié)構(gòu)及浮點(diǎn)協(xié)處理器,6,4.1 基本算術(shù)運(yùn)算的實(shí)現(xiàn),計(jì)算機(jī)中最基本的算術(shù)運(yùn)算是加法運(yùn)算，不論加、減、乘、除運(yùn)算最終都可以歸結(jié)為加法運(yùn)算。所以在此討論最基本的運(yùn)算部件加法器，以及并行加法器的進(jìn)位問(wèn)題。,7,4.1.1 加法器,1.全加器 全加器（FA）是最基本的加法單元，它有三個(gè)輸入量：操作數(shù)Ai和Bi、低位傳來(lái)的進(jìn)位Ci-1，兩個(gè)輸出量：本位和Si、向高位的進(jìn)位Ci。

3、圖4-1 全加器的邏輯框圖,8,全加器真值表,9,根據(jù)真值表，可得到全加器的邏輯表達(dá)式為： Si=AiBiCi-1 Ci=AiBi+(AiBi)Ci-1,全加器的邏輯表達(dá)式,10,2.串行加法器與并行加法器,加法器有串行和并行之分。在串行加法器中，只有一個(gè)全加器，數(shù)據(jù)逐位串行送入加法器進(jìn)行運(yùn)算；并行加法器則由多個(gè)全加器組成，其位數(shù)的多少取決于機(jī)器的字長(zhǎng)，數(shù)據(jù)的各位同時(shí)運(yùn)算。,11,串行加法器具有器件少、成本低的優(yōu)點(diǎn)，但運(yùn)算速度太慢，所以除去某些低速的專用運(yùn)算器外很少采用。 并行加法器可同時(shí)對(duì)數(shù)據(jù)的各位相加，但存在著一個(gè)加法的最長(zhǎng)運(yùn)算時(shí)間問(wèn)題。這是因?yàn)殡m然操作數(shù)的各位是同時(shí)提供的，但低位運(yùn)算所產(chǎn)

4、生的進(jìn)位會(huì)影響高位的運(yùn)算結(jié)果。例如：1111和0001相加，最低位產(chǎn)生的進(jìn)位將逐位影響至最高位，因此，并行加法器的最長(zhǎng)運(yùn)算時(shí)間主要是由進(jìn)位信號(hào)的傳遞時(shí)間決定的，而每個(gè)全加器本身的求和延遲只是次要因素。很明顯，提高并行加法器速度的關(guān)鍵是盡量加快進(jìn)位產(chǎn)生和傳遞的速度。,2.串行加法器與并行加法器（續(xù)）,12,并行加法器中的每一個(gè)全加器都有一個(gè)從低位送來(lái)的進(jìn)位輸入和一個(gè)傳送給高位的進(jìn)位輸出。我們將傳遞進(jìn)位信號(hào)的邏輯線路連接起來(lái)構(gòu)成的進(jìn)位網(wǎng)絡(luò)稱為進(jìn)位鏈。每一位的進(jìn)位表達(dá)式為： Ci=AiBi+(AiBi)Ci-1 其中：Gi=AiBi為進(jìn)位產(chǎn)生函數(shù) Pi=AiBi為進(jìn)位傳遞函數(shù) 進(jìn)位表達(dá)式Ci=Gi+

5、PiCi-1,4.1.2 進(jìn)位的產(chǎn)生和傳遞,13,圖4-3 串行進(jìn)位的并行加法器 其中：C1=G1+P1C0 C2=G2+P2C1 Cn=Gn+PnCn-1,串行進(jìn)位的并行加法器,14,4.1.2 進(jìn)位的產(chǎn)生和傳遞（續(xù)）,串行進(jìn)位的并行加法器的總延遲時(shí)間與字長(zhǎng)成正比，字長(zhǎng)越長(zhǎng)，總延遲時(shí)間就越長(zhǎng)。假定，將一級(jí)“與門”、“或門”的延遲時(shí)間定為ty，從上述公式中可看出，每一級(jí)全加器的進(jìn)位延遲時(shí)間為2ty。在字長(zhǎng)為n位的情況下，若不考慮Gi、Pi的形成時(shí)間，從C0Cn的最長(zhǎng)延遲時(shí)間為2nty（設(shè)C0為加法器最低位的進(jìn)位輸入，Cn為加法器最高位的進(jìn)位輸出）。,15,1.并行進(jìn)位方式 并行進(jìn)位又叫先行進(jìn)位

6、、同時(shí)進(jìn)位，其特點(diǎn)是各級(jí)進(jìn)位信號(hào)同時(shí)形成。 C1=G1+PC0 C2=G2+P2C1=G2+P2G1+P2P1C0 C3=G3+P3C2=G3+P3G2+P3P2G1+P3P2P1C0 C4=G4+P4C3=G4+P4G3+P4P3G2+P4P3P2G1 +P4P3P2P1C0 ,4.1.3 并行加法器的快速進(jìn)位,16,這種進(jìn)位方式是快速的，若不考慮Gi、Pi的形成時(shí)間，從C0Cn的最長(zhǎng)延遲時(shí)間僅為2ty，而與字長(zhǎng)無(wú)關(guān)。但是隨著加法器位數(shù)的增加，Ci的邏輯表達(dá)式會(huì)變得越來(lái)越長(zhǎng)，輸入變量會(huì)越來(lái)越多，這會(huì)使電路結(jié)構(gòu)變得很復(fù)雜，所以完全采用并行進(jìn)位是不現(xiàn)實(shí)的。,1.并行進(jìn)位方式（續(xù)）,17,單級(jí)先行

7、進(jìn)位方式（組內(nèi)并行、組間串行） 以16位加法器為例，可分為4組，每組4位。第一小組組內(nèi)的進(jìn)位邏輯函數(shù)C1、C2、C3、C4的表達(dá)式與前述相同，它們是同時(shí)產(chǎn)生的，實(shí)現(xiàn)上述進(jìn)位邏輯函數(shù)的電路稱之為4位先行進(jìn)位電路CLA，其延遲時(shí)間是2ty。 利用這種4位的CLA電路以及進(jìn)位產(chǎn)生/傳遞電路和求和電路可以構(gòu)成4位的CLA加法器。用4個(gè)這樣的CLA加法器，很容易構(gòu)成16位的單級(jí)先行進(jìn)位加法器。,2.分組并行進(jìn)位方式,18,16位單級(jí)先行進(jìn)位加法器,圖4-4 16位單級(jí)先行進(jìn)位加法器,19,16位單級(jí)先行進(jìn)位時(shí)間圖,圖4-5 16位單級(jí)先行進(jìn)位時(shí)間圖,20,多級(jí)先行進(jìn)位方式（組內(nèi)并行、組間并行） 仍以字長(zhǎng)

8、為16位的加法器作為例子，分析兩級(jí)先行進(jìn)位加法器的設(shè)計(jì)方法。第一小組的進(jìn)位輸出C4可以變成兩個(gè)與項(xiàng)相或： C4=G4+P4G3+P4P3G2+P4P3P2G1+P4P3P2P1C0 =G1*+P1*C0 其中：G1*=G4+P4G3+P4P3G2+P4P3P2G1 P1*=P4P3P2P1 Gi*稱為組進(jìn)位產(chǎn)生函數(shù) Pi*稱為組進(jìn)位傳遞函數(shù),2.分組并行進(jìn)位方式（續(xù)）,21,依次類推，可以得到： C8=G2*+P2*C4=G2*+P2*G1*+P2*P1*C0 C12=G3*+P3*G2+P3*P2*G1*+P3*P2*P1*C0 C16=G4*+P4*G3*+P4*P3*G2*+P4*P3*

9、P2*G1* +P4*P3*P2*P1*C0,2.分組并行進(jìn)位方式（續(xù)）,22,成組先行進(jìn)位電路BCLA，其延遲時(shí)間是2ty。利用這種4位的BCLA電路以及進(jìn)位產(chǎn)生/傳遞電路和求和電路可以構(gòu)成4位的BCLA加法器。16位的兩級(jí)先行進(jìn)位加法器可由4個(gè)BCLA加法器和1個(gè)CLA電路組成。,2.分組并行進(jìn)位方式（續(xù)）,23,16位兩級(jí)先行進(jìn)位加法器,圖4-6 16位兩級(jí)先行進(jìn)位加法器,24,若不考慮Gi、Pi的形成時(shí)間，C0經(jīng)過(guò)2ty產(chǎn)生第一小組的C1、C2、C3及所有組進(jìn)位產(chǎn)生函數(shù)Gi*和組進(jìn)位傳遞函數(shù)Pi*；再經(jīng)過(guò)2ty，由CLA電路產(chǎn)生C4、C8、C12、C16；再經(jīng)過(guò)2ty后，才能產(chǎn)生第二、

10、三、四小組內(nèi)的C5C7、C9C11、C13C15。此時(shí)加法器的最長(zhǎng)進(jìn)位延遲時(shí)間是6ty。,2.分組并行進(jìn)位方式（續(xù)）,25,16位兩級(jí)先行進(jìn)位時(shí)間圖,圖4-7 16位兩級(jí)先行進(jìn)位時(shí)間圖,26,定點(diǎn)數(shù)的加減運(yùn)算包括原碼、補(bǔ)碼和反碼3種帶符號(hào)數(shù)的加減運(yùn)算，其中補(bǔ)碼加減運(yùn)算實(shí)現(xiàn)起來(lái)最方便。,4.2 定點(diǎn)加減運(yùn)算,27,原碼加減運(yùn)算規(guī)則： 參加運(yùn)算的操作數(shù)取其絕對(duì)值； 若做加法，則兩數(shù)直接相加，若做減法，則將減數(shù)先變一次補(bǔ)，再進(jìn)行加法運(yùn)算； 運(yùn)算之后，可能有兩種情況： 有進(jìn)位，結(jié)果為正，即得到正確的結(jié)果。 無(wú)進(jìn)位，結(jié)果為負(fù)，則應(yīng)再變一次補(bǔ)，才能得到正確的結(jié)果。 結(jié)果加上符號(hào)位。 通常，把運(yùn)算之前的變補(bǔ)

11、稱為前變補(bǔ)，運(yùn)算之后的變補(bǔ)稱為后變補(bǔ)。,4.2.1 原碼加減運(yùn)算,28,4.2.2 補(bǔ)碼加減運(yùn)算,1.補(bǔ)碼加法 兩個(gè)補(bǔ)碼表示的數(shù)相加，符號(hào)位參加運(yùn)算，且兩數(shù)和的補(bǔ)碼等于兩數(shù)補(bǔ)碼之和，即： X+Y補(bǔ)=X補(bǔ)+Y補(bǔ),29,根據(jù)補(bǔ)碼加法公式可推出： X-Y補(bǔ)=X+(-Y)補(bǔ)=X補(bǔ)+-Y補(bǔ) 從補(bǔ)碼減法公式可以看出，只要求得-Y補(bǔ)，就可以變減法為加法。不管Y的真值為正或?yàn)樨?fù)，已知Y補(bǔ)求-Y補(bǔ)的方法是：將Y補(bǔ)連同符號(hào)位一起求反，末尾加“1” 。-Y補(bǔ)被稱為Y補(bǔ)的機(jī)器負(fù)數(shù)，由Y補(bǔ)求-Y補(bǔ)的過(guò)程稱為對(duì)Y補(bǔ)變補(bǔ)（求補(bǔ)），表示為 -Y補(bǔ)=Y補(bǔ)變補(bǔ),2.補(bǔ)碼減法,30,2.補(bǔ)碼減法（續(xù)）,“某數(shù)的補(bǔ)碼表示”與“變補(bǔ)”

12、是兩個(gè)不同的概念。一個(gè)負(fù)數(shù)由原碼轉(zhuǎn)換成補(bǔ)碼時(shí)，符號(hào)位是不變的，僅對(duì)數(shù)值位各位變反，末位加“1”。而變補(bǔ)則不論這個(gè)數(shù)的真值是正是負(fù)，一律連同符號(hào)位一起變反，末位加“1”。Y補(bǔ)表示的真值如果是正數(shù)，則變補(bǔ)后-Y補(bǔ)所表示的真值變?yōu)樨?fù)數(shù)，反之亦然。 例1：Y=-0.0110， Y原=1.0110， Y補(bǔ)=1.1010， -Y補(bǔ)=0.0110 例2：Y=0.0110， Y原=0.0110， Y補(bǔ)=0.0110， -Y補(bǔ)=1.1010,31,參加運(yùn)算的兩個(gè)操作數(shù)均用補(bǔ)碼表示； 符號(hào)位作為數(shù)的一部分參加運(yùn)算； 若做加法，則兩數(shù)直接相加，若做減法，則將被減數(shù)與減數(shù)的機(jī)器負(fù)數(shù)相加； 運(yùn)算結(jié)果仍用補(bǔ)碼表示。,3.

13、補(bǔ)碼加減運(yùn)算規(guī)則,32,例3：A=0.1011，B=-0.1110，求A+B A補(bǔ)=0.1011 B補(bǔ)=1.0010 0.1011 A補(bǔ) + 1.0010 B補(bǔ) 1.1101 A+B補(bǔ) A+B補(bǔ)=1.1101 A+B=-0.0011,補(bǔ)碼加法示例,33,例4：A=0.1011，B=-0.0010，求A-B A補(bǔ)=0.1011 B補(bǔ)=1.1110 -B補(bǔ)=0.0010 0.1011 A補(bǔ) + 0.0010 -B補(bǔ) 0.1101 A-B補(bǔ) A-B補(bǔ)=0.1101 A-B=0.1101,補(bǔ)碼減法示例,34,4.2.3 補(bǔ)碼的溢出判斷與檢測(cè)方法,1.溢出的產(chǎn)生 在補(bǔ)碼運(yùn)算中，若兩個(gè)正數(shù)相加，而結(jié)果為負(fù)

14、；兩個(gè)負(fù)數(shù)相加，而結(jié)果為正，則結(jié)果出錯(cuò)。 例5：設(shè)：X=1011B=11D，Y=111B=7D 則 X補(bǔ)=0,1011，Y補(bǔ)=0,0111 0,1 0 1 1X補(bǔ) + 0,0 1 1 1Y補(bǔ) 1,0 0 1 0X+Y補(bǔ) X+Y補(bǔ)=1,0010 X+Y=-1110B=-14D 兩正數(shù)相加結(jié)果為-14D，顯然是錯(cuò)誤的。,35,1.溢出的產(chǎn)生（續(xù)）,例6：設(shè)：X=-1011B=-11D，Y=-111B=-7D 則 X補(bǔ)=1,0101 Y補(bǔ)=1,1001 1,0 1 0 1X補(bǔ) + 1,1 0 0 1Y補(bǔ) 0,1 1 1 0X+Y補(bǔ) X+Y補(bǔ)=0,1110 X+Y=1110B=14D 兩負(fù)數(shù)相加結(jié)果為

15、14D，顯然也是錯(cuò)誤的。,36,1.溢出的產(chǎn)生（續(xù)）,字長(zhǎng)為n+1位的定點(diǎn)整數(shù)（其中一位為符號(hào)位），采用補(bǔ)碼表示，當(dāng)運(yùn)算結(jié)果大于2n-1或小于-2n時(shí)，就產(chǎn)生溢出。 設(shè)參加運(yùn)算的兩數(shù)為X、Y，做加法運(yùn)算。 若X、Y異號(hào)，實(shí)際上是做兩數(shù)相減，所以不會(huì)溢出。 若X、Y同號(hào)，運(yùn)算結(jié)果為正且大于所能表示的最大正數(shù)或運(yùn)算結(jié)果為負(fù)且小于所能表示的最小負(fù)數(shù)（絕對(duì)值最大的負(fù)數(shù)）時(shí)，產(chǎn)生溢出。將兩正數(shù)相加產(chǎn)生的溢出稱為正溢；反之，兩負(fù)數(shù)相加產(chǎn)生的溢出稱為負(fù)溢。,37,2.溢出檢測(cè)方法,設(shè)：被操作數(shù)為：X補(bǔ)=Xs,X1X2Xn 操作數(shù)為：Y補(bǔ)=Ys,Y1Y2Yn 其和（差）為：S補(bǔ)=Ss,S1S2Sn 采用一個(gè)符

16、號(hào)位 采用一個(gè)符號(hào)位檢測(cè)溢出時(shí)，當(dāng)Xs=Ys=0，Ss=1時(shí)，產(chǎn)生正溢；當(dāng)Xs=Ys=1，Ss=0時(shí)，產(chǎn)生負(fù)溢。 溢出判斷條件為 溢出= Ss+Xs Ys,38,2.溢出檢測(cè)方法（續(xù)）,采用進(jìn)位位判斷 兩數(shù)運(yùn)算時(shí)，產(chǎn)生的進(jìn)位為 Cs,C1C2Cn， 其中：Cs為符號(hào)位產(chǎn)生的進(jìn)位，C1為最高數(shù)值位產(chǎn)生的進(jìn)位。 兩正數(shù)相加，當(dāng)最高有效位產(chǎn)生進(jìn)位（C1=1）而符號(hào)位不產(chǎn)生進(jìn)位（Cs=0）時(shí)，發(fā)生正溢；兩負(fù)數(shù)相加，當(dāng)最高有效位不產(chǎn)生進(jìn)位（C1=0）而符號(hào)位產(chǎn)生進(jìn)位（Cs=1）時(shí)，發(fā)生負(fù)溢。故溢出條件為 溢出= C1+Cs =CsC1,39,2.溢出檢測(cè)方法（續(xù)）,采用變形補(bǔ)碼（雙符號(hào)位補(bǔ)碼） 在雙符號(hào)

17、位的情況下，把左邊的符號(hào)位Ss1叫做真符，兩個(gè)符號(hào)位都作為數(shù)的一部分參加運(yùn)算。這種編碼又稱為變形補(bǔ)碼。 雙符號(hào)位的含義如下： Ss1Ss2=00 結(jié)果為正數(shù)，無(wú)溢出 Ss1Ss2=01 結(jié)果正溢 Ss1Ss2=10 結(jié)果負(fù)溢 Ss1Ss2=11 結(jié)果為負(fù)數(shù)，無(wú)溢出 當(dāng)兩位符號(hào)位的值不一致時(shí)，表明產(chǎn)生溢出，溢出條件為 溢出=Ss1Ss2,40,4.2.4 補(bǔ)碼定點(diǎn)加減運(yùn)算的實(shí)現(xiàn),要實(shí)現(xiàn)補(bǔ)碼加法，則需給出XF、YF和FX三個(gè)控制信號(hào)，同時(shí)打開(kāi)門A、門B和門C，把寄存器X和寄存器Y的內(nèi)容送入加法器的兩個(gè)輸入端進(jìn)行加法運(yùn)算，并把結(jié)果送回，最后由打入脈沖CPX打入寄存器X。 減法與加法的不同之處在于，加

18、法使用YF控制信號(hào)，減法使用 F和1F控制信號(hào)，其余控制信號(hào)相同。,41,補(bǔ)碼加減運(yùn)算的邏輯電路,圖4-8 補(bǔ)碼加減運(yùn)算器框圖,1,42,在計(jì)算機(jī)中，實(shí)現(xiàn)乘除運(yùn)算的方案通常有3種： 軟件實(shí)現(xiàn)。在低檔微機(jī)中無(wú)乘除運(yùn)算指令，只能用乘法和除法子程序來(lái)實(shí)現(xiàn)乘除運(yùn)算。 在原有實(shí)現(xiàn)加減運(yùn)算的運(yùn)算器基礎(chǔ)上增加一些邏輯線路，使乘除運(yùn)算變換成加減和移位操作。在機(jī)器中設(shè)有乘除指令。 設(shè)置專用的乘、除法器，機(jī)器中設(shè)有相應(yīng)的乘除指令。 不管采用什么方案實(shí)現(xiàn)乘除法，基本原理是相同的。如果采用第種方案，則必然會(huì)涉及到移位操作。,4.3 帶符號(hào)數(shù)的移位和舍入操作,43,1.原碼的移位規(guī)則 不論正數(shù)還是負(fù)數(shù)，在左移或右移時(shí)，

19、符號(hào)位均不變，空出位一律以“0”補(bǔ)入。 負(fù)數(shù)的原碼移位前后結(jié)果為： 左移：移位前有：1 X1 X2 Xn-1 Xn 移位后有：1 X2 X3 Xn 0 右移：移位前有：1 X1 X2 Xn-1 Xn 移位后有：1 0 X1 Xn-2 Xn-1,4.3.1 帶符號(hào)數(shù)的移位操作,44,2.補(bǔ)碼的移位規(guī)則,正數(shù) 符號(hào)位不變，不論左移或右移，空出位一律以“0”補(bǔ)入。 負(fù)數(shù) 符號(hào)位不變，左移后的空出位補(bǔ)“0”，右移后的空出位補(bǔ)“1”。 左移：移位前有：1 X1 X2 Xn-1 Xn 移位后有：1 X2 X3 Xn 0 右移：移位前有：1 X1 X2 Xn-1 Xn 移位后有：1 1 X1 Xn-2 Xn

20、-1,45,3.移位功能的實(shí)現(xiàn),在計(jì)算機(jī)中，通常移位操作由移位寄存器來(lái)實(shí)現(xiàn)，但也有一些計(jì)算機(jī)不設(shè)置專門的移位寄存器，而在加法器的輸出端加一個(gè)移位器。移位器是由與門和或門組成的邏輯電路（實(shí)際是一個(gè)多路選擇器），可以實(shí)現(xiàn)直傳（不移位）、左斜一位送（左移一位）和右斜一位送（右移一位）的功能。,46,移位器邏輯電路,1,圖4-9 移位器邏輯電路,47,4.3.2 帶符號(hào)數(shù)的舍入操作,在算術(shù)右移時(shí)，由于受到硬件的限制，運(yùn)算結(jié)果有可能需要舍去一定的尾數(shù)，這會(huì)造成一些誤差。為了縮小誤差，就要進(jìn)行舍入處理。假定經(jīng)過(guò)運(yùn)算后的數(shù)共有p+q位，現(xiàn)僅允許保留前p位。常見(jiàn)的舍入方法有： 恒舍（切斷） 無(wú)論多余部分q位為

21、何代碼，一律舍去，保留部分的p位不作任何改變。,48,4.3.2 帶符號(hào)數(shù)的舍入操作（續(xù)）,馮諾依曼舍入法 這種舍入法又稱為恒置1法，即不論多余部分q位為何代碼，都把保留部分p位的最低位置1。 下舍上入法 下舍上入就是0舍1入。用將要舍去的q位的最高位作為判斷標(biāo)志，以決定保留部分是否加1。如該位為0，則舍去整個(gè)q位（相當(dāng)于恒舍）；如該位為1，則在保留的p位的最低位上加1。,49,4.3.2 帶符號(hào)數(shù)的舍入操作（續(xù)）,查表舍入法 查表舍入法又稱ROM舍入法，因?yàn)樗肦OM來(lái)存放舍入處理表，每次經(jīng)查表來(lái)讀得相應(yīng)的處理結(jié)果。通常，ROM表的容量為2K個(gè)單元，每個(gè)單元字長(zhǎng)為K-1位。舍入處理表的內(nèi)容設(shè)

22、置一般采用的方法是：當(dāng)K位數(shù)據(jù)的高K-1位為全“1”時(shí)，讓那些單元按恒舍法填入K-1位全“1”，其余單元都按下舍上入法來(lái)填其內(nèi)容。,50,4.4 定點(diǎn)乘法運(yùn)算,在計(jì)算機(jī)中，乘法運(yùn)算大多數(shù)由累加與移位來(lái)實(shí)現(xiàn)，也有些機(jī)器中具有由大規(guī)模集成電路制造的陣列乘法模塊。,51,4.4.1 原碼一位乘法,1.原碼一位乘法算法 原碼一位乘法是從手算演變而來(lái)的，即用兩個(gè)操作數(shù)的絕對(duì)值相乘，乘積的符號(hào)為兩操作數(shù)符號(hào)的異或值（同號(hào)為正，異號(hào)為負(fù)）。 乘積P=|X|Y| 符號(hào)Ps=XsYs 式中：Ps為乘積的符號(hào)，Xs和Ys為被乘數(shù)和乘數(shù)的符號(hào)。,52,1.原碼一位乘法算法（續(xù)）,原碼一位乘法的規(guī)則： 參加運(yùn)算的操作

23、數(shù)取其絕對(duì)值； 令乘數(shù)的最低位為判斷位，若為“1”，加被乘數(shù)，若為“0”，不加被乘數(shù)（加0）； 累加后的部分積以及乘數(shù)右移一位； 重復(fù)n次和 ； 符號(hào)位單獨(dú)處理，同號(hào)為正，異號(hào)為負(fù)。,53,1.原碼一位乘法算法（續(xù)）,通常，乘法運(yùn)算需要3個(gè)寄存器。被乘數(shù)存放在B寄存器中；乘數(shù)存放在C寄存器中；A寄存器用來(lái)存放部分積與最后乘積的高位部分，它的初值為0。運(yùn)算結(jié)束后寄存器C中不再保留乘數(shù)，改為存放乘積的低位部分。 例8：已知：X=0.1101，Y=-0.1011，求：XY。 |X|=00.1101B，|Y|=.1011C，0A,54,原碼一位乘法示例,A C 說(shuō)明,0 0.0 0 0 0 1 0 1

24、 1,+|X| 0 0.1 1 0 1 C4=1，+|X|,0 0.1 1 0 1, 0 0.0 1 1 0 1 1 0 1 部分積右移一位,0 1.0 0 1 1,+|X| 0 0.1 1 0 1 C4=1，+|X|, 0 0.1 0 0 1 1 1 1 0 部分積右移一位,+0 0 0.0 0 0 0 C4=0，+0,0 0.1 0 0 1, 0 0.0 1 0 0 1 1 1 1 部分積右移一位,+|X| 0 0.1 1 0 1 C4=1，+|X|,0 1.0 0 0 1, 0 0.1 0 0 0 1 1 1 1 部分積右移一位,PS=XSYS=01=1 XY=-0.10001111,5

25、5,原碼一位乘法流程圖,56,2.原碼一位乘法運(yùn)算的實(shí)現(xiàn),圖4-12中A、B是n+2位的寄存器，C是n位的寄存器，A寄存器和C寄存器是級(jí)聯(lián)在一起的，它們都具有右移一位的功能，在右移控制信號(hào)的作用下，A寄存器最低一位的值將移入C寄存器的最高位。C寄存器的最低位的值作為字級(jí)與門的控制信號(hào)，以控制加被乘數(shù)還是不加被乘數(shù)（即加0）。C寄存器中的乘數(shù)在逐次右移過(guò)程中將逐步丟失，取而代之的是乘積的低位部分。原碼一位乘法運(yùn)算器電路中除去三個(gè)寄存器外，還需要一個(gè)n+2位的加法器、一個(gè)計(jì)數(shù)器、n+2個(gè)與門（控制是否加被乘數(shù)）和一個(gè)異或門（處理符號(hào)位）。,57,4.4.2 補(bǔ)碼一位乘法,雖然原碼乘法比補(bǔ)碼乘法容易

26、實(shí)現(xiàn)，但因?yàn)檠a(bǔ)碼加減法簡(jiǎn)單，在以加減運(yùn)算為主的通用機(jī)中操作數(shù)都用補(bǔ)碼表示，所以這類計(jì)算機(jī)在做乘法時(shí)常使用補(bǔ)碼乘法。 1.校正法 校正法是將X補(bǔ)和Y補(bǔ)按原碼規(guī)則運(yùn)算，所得結(jié)果根據(jù)情況再加以校正，從而得到正確的XY補(bǔ)。補(bǔ)碼乘法的統(tǒng)一表達(dá)式： XY補(bǔ)=X補(bǔ)(0.Y1Y2Yn)+-X補(bǔ)Ys,58,2.比較法Booth乘法,遞推公式： Z0補(bǔ)=0 Z1補(bǔ)=2-1Z0補(bǔ)+(Yn+1-Yn)X補(bǔ) Z2補(bǔ)=2-1Z1補(bǔ)+(Yn-Yn-1)X補(bǔ) Zn補(bǔ)=2-1Zn-1補(bǔ)+(Y2-Y1)X補(bǔ) XY補(bǔ)=Zn補(bǔ)+(Y1-Ys)X補(bǔ) 式中，Z0補(bǔ)為初始部分積，Z1補(bǔ)Zn補(bǔ)依次為各次求得的累加并右移之后的部分積。,59,

27、2.比較法Booth乘法 （續(xù)）,Booth乘法規(guī)則： 參加運(yùn)算的數(shù)用補(bǔ)碼表示； 符號(hào)位參加運(yùn)算； 乘數(shù)最低位后面增加一位附加位Yn+1，其初值為0； 由于每求一次部分積要右移一位，所以乘數(shù)的最低兩位Yn、Yn+1的值決定了每次應(yīng)執(zhí)行的操作； 移位按補(bǔ)碼右移規(guī)則進(jìn)行； 共需做n+1次累加，n次移位，第n+1次不移位。,60,Booth乘法運(yùn)算操作,判斷位Yn Yn+1 操 作 0 0 原部分積右移一位 0 1 原部分積加X(jué)補(bǔ)后右移一位 1 0 原部分積加-X補(bǔ)后右移一位 1 1 原部分積右移一位,61,2.比較法Booth乘法 （續(xù)）,由于符號(hào)位要參加運(yùn)算，部分積累加時(shí)最高有效位產(chǎn)生的進(jìn)位可能

28、會(huì)侵占符號(hào)位，故被乘數(shù)和部分積應(yīng)取雙符號(hào)位，而乘數(shù)只需要一位符號(hào)位。運(yùn)算時(shí)仍需要有3個(gè)寄存器，各自的作用與原碼時(shí)相同，只不過(guò)存放的內(nèi)容均為補(bǔ)碼表示而已。 例9：已知X=-0.1101，Y=0.1011；求XY。 X補(bǔ)=11.0011B，Y補(bǔ)=0.1011C，0A -X補(bǔ)=00.1101,62,Booth乘法示例,A C 附加位 說(shuō)明,0 0.0 0 0 0 0.1 0 1 1 0,+-X補(bǔ) 0 0.1 1 0 1 C4C5=10，+-X補(bǔ),0 0.1 1 0 1, 0 0.0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 部分積右移一位,+0 0 0.0 0 0 0 C4C5=11，+0,0 0.0 1

29、 1 0, 0 0.0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 部分積右移一位,+X補(bǔ) 1 1.0 0 1 1 C4C5=01，+X補(bǔ),1 1.0 1 1 0, 1 1.1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 部分積右移一位,+-X補(bǔ) 0 0.1 1 0 1 C4C5=10，+-X補(bǔ),0 0.1 0 0 0, 0 0.0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 部分積右移一位,+X補(bǔ) 1 1.0 0 1 1 C4C5=01，+X補(bǔ),1 1.0 1 1 1,XY補(bǔ)=1.01110001 XY=-0.10001111,63,Booth乘法流程圖,圖4-13 Booth乘法流程圖,64,3.Booth乘法運(yùn)

30、算的實(shí)現(xiàn),各器件的作用與原碼一位乘法相同，A、B寄存器長(zhǎng)n+2位，C寄存器長(zhǎng)n+1位，還需一個(gè)n+2位的加法器、n+2個(gè)與或門和一個(gè)計(jì)數(shù)器。由C寄存器的最低兩位CnCn+1來(lái)控制是加/減被乘數(shù)還是加0，當(dāng)CnCn+1=01時(shí)，加被乘數(shù)，即加B寄存器的內(nèi)容；CnCn+1=10時(shí)，減被乘數(shù)，即加上B寄存器中內(nèi)容的反，并在加法器的最低位加1；CnCn+1=00或11時(shí)，不加也不減（加0）。由于符號(hào)位參與運(yùn)算，所以不需要專門處理符號(hào)位的異或門。,65,4.4.3 補(bǔ)碼兩位乘法,為了提高乘法的執(zhí)行速度，可以選用兩位乘法的方案。所謂兩位乘法，就是每次處理乘數(shù)中的兩位，從而使乘法的速度提高了一倍。 根據(jù)Bo

31、oth乘法方便地推導(dǎo)出補(bǔ)碼兩位乘法，即把補(bǔ)碼兩位乘理解為將Booth乘法的兩次合并為一次來(lái)做。,66,補(bǔ)碼兩位乘法操作,Yn-1YnYn+1 0 0 0 +0，右移2位 0 0 1 +X補(bǔ)，右移2位 0 1 0 +X補(bǔ)，右移2位 0 1 1 +2X補(bǔ)，右移2位 1 0 0 +2-X補(bǔ)，右移2位 1 0 1 +-X補(bǔ)，右移2位 1 1 0 +-X補(bǔ)，右移2位 1 1 1 +0，右移2位,67,4.4.3 補(bǔ)碼兩位乘法（續(xù)）,被乘數(shù)和部分積取3符號(hào)位，當(dāng)乘數(shù)的數(shù)值位n為偶數(shù)時(shí)，乘數(shù)取兩符號(hào)位，共需作 +1次累加， 次移位（最后一次不移位）；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，乘數(shù)只需一個(gè)符號(hào)位，共需 次累加和移位，但最

32、后一次僅移一位。 例10：已知：X=0.0110011，Y=-0.0110010，求：XY。 X補(bǔ)=000.0110011B， Y補(bǔ)=1.1001110C，0A 2X補(bǔ)=000.1100110， -X補(bǔ)=111.1001101，2-X補(bǔ)=111.0011010,68,補(bǔ)碼兩位乘法示例,A C 附加位,+2-X補(bǔ) 1 1 1.0 0 1 1 0 1 0,0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 1.1 0 0 1 1 1 0 0,1 1 1.0 0 1 1 0 1 0,2 1 1 1.1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1,+0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0,1

33、1 1.1 1 0 0 1 1 0,2 1 1 1.1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1,+ X補(bǔ) 0 0 0.0 1 1 0 0 1 1,0 0 0.0 1 0 1 1 0 0,2 0 0 0.0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0,+ -X補(bǔ) 1 1 1.1 0 0 1 1 0 1,1 1 1.1 0 1 1 0 0 0,1 1 1 1.1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1,XY補(bǔ)1.11011000001010 XY-0.00100111110110,69,4.5 定點(diǎn)除法運(yùn)算,除法是乘法的逆運(yùn)算，與乘法運(yùn)算的處

34、理思想相似，可以將n位除轉(zhuǎn)化成若干次“減法移位”，也有些計(jì)算機(jī)具有由大規(guī)模集成電路制造的陣列除法模塊。,70,4.5.1 原碼除法運(yùn)算,1.原碼比較法和恢復(fù)余數(shù)法 比較法 比較法類似于手工運(yùn)算，只是為了便于機(jī)器操作，將除數(shù)右移改為部分余數(shù)左移，每一位的上商直接寫(xiě)到寄存器的最低位。設(shè)A寄存器中存放被除數(shù)（或部分余數(shù)），B寄存器中存放除數(shù)，C 寄存器用來(lái)存放商Q，若AB，則上商1，并減除數(shù)；若AB，則上商0。比較法需要設(shè)置比較線路，從而增加了硬件的代價(jià)。,71,比較過(guò)程的流程圖,圖4-16(a) 比較過(guò)程流程,72,1.原碼比較法和恢復(fù)余數(shù)法（續(xù)）,恢復(fù)余數(shù)法 恢復(fù)余數(shù)法是直接作減法試探方法，不管

35、被除數(shù)（或部分余數(shù)）減除數(shù)是否夠減，都一律先做減法。若部分余數(shù)為正，表示夠減，該位商上“1”；若部分余數(shù)為負(fù)，表示不夠減，該位商上“0”，并要恢復(fù)余數(shù)。,73,恢復(fù)余數(shù)過(guò)程的流程圖,圖4-16(b) 恢復(fù)余數(shù)過(guò)程流程,74,1.原碼比較法和恢復(fù)余數(shù)法（續(xù)）,由于部分余數(shù)的正、負(fù)是根據(jù)不同的操作數(shù)組合隨機(jī)出現(xiàn)的，恢復(fù)除數(shù)法會(huì)使得除法運(yùn)算的實(shí)際操作次數(shù)不固定，從而導(dǎo)致控制電路比較復(fù)雜。而且在恢復(fù)余數(shù)時(shí)，要多作一次加法，降低了除法的執(zhí)行速度。因此，原碼恢復(fù)余數(shù)法在計(jì)算機(jī)中一般很少采用。,75,2.原碼不恢復(fù)余數(shù)法（原碼加減交替法）,原碼不恢復(fù)余數(shù)法是對(duì)恢復(fù)余數(shù)法的一種改進(jìn)，它減少了浪費(fèi)的加法時(shí)間，且

36、運(yùn)算的次數(shù)固定，故被廣泛采用。 在恢復(fù)余數(shù)法中，若第i-1次求商的部分余數(shù)為ri-1，則第i次求商操作為：ri=2ri-1-Y， 若夠減，部分余數(shù)ri=2ri-1-Y0，商1。 若不夠減，部分余數(shù)ri=2ri-1-Y0，商0，恢復(fù)余數(shù)后，ri=ri+Y=2ri-1，然后再左移一位，進(jìn)行第i+1次操作： ri+1=2ri-Y=2(r i+Y)-Y=2ri+2Y-Y=2ri+Y,76,2.原碼不恢復(fù)余數(shù)法（續(xù)）,原碼不恢復(fù)余數(shù)除法由下面的通式表示： ri+1=2ri+(1-2Qi)Y 式中Qi為第i次所得的商，若部分余數(shù)為正，則Qi=1，部分余數(shù)左移一位，下一次繼續(xù)減除數(shù)；若部分余數(shù)為負(fù)，則Qi=

37、0，部分余數(shù)左移一位，下一次加除數(shù)。由于加減運(yùn)算交替地進(jìn)行，故稱為原碼加減交替法。,77,2.原碼不恢復(fù)余數(shù)法（續(xù)）,除法運(yùn)算需要3個(gè)寄存器。A和B寄存器分別用來(lái)存放被除數(shù)和除數(shù)，C寄存器用來(lái)存放商，它的初值為0。運(yùn)算過(guò)程中A寄存器的內(nèi)容為部分余數(shù)，它將不斷地變化，最后剩下的是擴(kuò)大了若干倍的余數(shù)，只有將它乘上2-n才是真正的余數(shù)。 例12：已知：X=-0.10101，Y=0.11110，求：XY。 |X|=00.10101A，|Y|=00.11110B，0C |Y|變補(bǔ)=11.00010,78,原碼不恢復(fù)余數(shù)除法示例,A C 說(shuō)明,0 0.1 0 1 0 1 0.0 0 0 0 0,+|Y|變

38、補(bǔ) 1 1.0 0 0 1 0 -|Y|,1 1.1 0 1 1 1 0.0 0 0 0 0 余數(shù)為負(fù)，商0, 1 1.0 1 1 1 0 左移一位,+|Y| 0 0.1 1 1 1 0 +|Y|,0 0.0 1 1 0 0 0.0 0 0 0 1 余數(shù)為正，商1, 0 0.1 1 0 0 0 左移一位,+|Y|變補(bǔ) 1 1.0 0 0 1 0 -|Y|,1 1.1 1 0 1 0 0.0 0 0 1 0 余數(shù)為負(fù)，商0, 1 1.1 0 1 0 0 左移一位,+|Y| 0 0.1 1 1 1 0 +|Y|,0 0.1 0 0 1 0 0.0 0 1 0 1 余數(shù)為正，商1, 0 1.0 0

39、1 0 0 左移一位,+|Y|變補(bǔ) 1 1.0 0 0 1 0 -|Y|,0 0.0 0 1 1 0 0.0 1 0 1 1 余數(shù)為正，商1, 0 0.0 1 1 0 0 左移一位,+|Y|變補(bǔ) 1 1.0 0 0 1 0 -|Y|,1 1.0 1 1 1 0 0.1 0 1 1 0 余數(shù)為負(fù)，商0,+|Y| 0 0.1 1 1 1 0 恢復(fù)余數(shù)，+|Y|,0 0.0 1 1 0 0,79,原碼不恢復(fù)余數(shù)除法示例（續(xù)）,經(jīng)過(guò)原碼不恢復(fù)余數(shù)除法，有： 商=0.10110 余數(shù)=0.011002-5 XY=-(0.10110+ ),0.011002-5,0.11110,80,原碼加減交替除法流程圖

40、,圖4-17 原碼加減交替除法流程圖,81,2.原碼不恢復(fù)余數(shù)法（續(xù)）,在定點(diǎn)除法運(yùn)算時(shí)，為了防止溢出，要求被除數(shù)的絕對(duì)值小于除數(shù)的絕對(duì)值，|X|Y|（|X|=|Y|除外），且除數(shù)不能為0。因此第一次減除數(shù)肯定是不夠減的，如果我們采用先移位后減除數(shù)的方法，得到的結(jié)果也是相同的。另外，在原碼加減交替法中，當(dāng)最終余數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，必須恢復(fù)一次余數(shù)，使之變?yōu)檎鄶?shù)，注意此時(shí)不需要再左移了。,82,3.原碼加減交替除法的實(shí)現(xiàn),圖4-18中A、B寄存器長(zhǎng)n+2位，C寄存器長(zhǎng)n+1位，還需一個(gè)n+2位的加法器、n+2個(gè)與或門、一個(gè)計(jì)數(shù)器和一個(gè)異或門。應(yīng)當(dāng)注意，A寄存器和C寄存器是級(jí)聯(lián)在一起的，它們都具有左移一

41、位的功能，在左移控制信號(hào)的作用下，C寄存器最高位的值將移入A寄存器的最低位。A寄存器中的初值是被除數(shù)，但在運(yùn)算過(guò)程中將變?yōu)椴糠钟鄶?shù)。C寄存器的最低位用來(lái)保存每次運(yùn)算得到的商值，此商值同時(shí)也作為下一次操作是做加法還是做減法的控制信號(hào)。,83,4.5.2 補(bǔ)碼除法運(yùn)算,1.夠減的判斷 參加運(yùn)算的兩個(gè)數(shù)符號(hào)任意，當(dāng)被除數(shù)（或部分余數(shù)）的絕對(duì)值大于或等于除數(shù)的絕對(duì)值時(shí)，稱為夠減；反之稱為不夠減。當(dāng)兩數(shù)同號(hào)時(shí)，實(shí)際應(yīng)作減法；兩數(shù)異號(hào)時(shí)，實(shí)際應(yīng)作加法。 判斷的方法和結(jié)果如下：當(dāng)被除數(shù)（或部分余數(shù)）與除數(shù)同號(hào)時(shí)，如果得到的新部分余數(shù)與除數(shù)同號(hào)，表示夠減，否則為不夠減；當(dāng)被除數(shù)（或部分余數(shù)）與除數(shù)異號(hào)時(shí)，如果

42、得到的新部分余數(shù)與除數(shù)異號(hào)，表示夠減，否則為不夠減。,84,2.上商規(guī)則,補(bǔ)碼除法運(yùn)算的商也是用補(bǔ)碼表示的，上商的規(guī)則是：如果X補(bǔ)和Y補(bǔ)同號(hào)，則商為正數(shù)，夠減時(shí)上商“1”，不夠減時(shí)上商“0”；如果X補(bǔ)和Y補(bǔ)異號(hào)，則商為負(fù)數(shù)，夠減時(shí)上商“0”，不夠減時(shí)上商“1”。 補(bǔ)碼的上商規(guī)則可歸結(jié)為： 部分余數(shù)ri補(bǔ)和除數(shù)Y補(bǔ)同號(hào)，商上“1”，反之，商上“0”。,85,3.商符的確定,商符是在求商的過(guò)程中自動(dòng)形成的，按補(bǔ)碼上商規(guī)則，第一次得出的商，就是實(shí)際應(yīng)得的商符。為了防止溢出，必須有|X|Y|，所以第一次肯定不夠減。當(dāng)被除數(shù)與除數(shù)同號(hào)時(shí)，部分余數(shù)與除數(shù)必然異號(hào)，商上“0”，恰好與商符一致；當(dāng)被除數(shù)與除數(shù)

43、異號(hào)，部分余數(shù)與除數(shù)必然同號(hào)，商上“1”，也恰好就是商的符號(hào)。,86,4.求新部分余數(shù),求新部分余數(shù)ri+1補(bǔ)的通式如下： ri+1補(bǔ)=2ri補(bǔ)+(1-2Qi)Y補(bǔ) Qi表示第i步的商。若商上“1”，下一步操作為部分余數(shù)左移一位，減去除數(shù)；若商上“0”，下一步操作為部分余數(shù)左移一位，加上除數(shù)。 5.末位恒置1 商的最末一位恒置為“1”，運(yùn)算的最大誤差為2-n。此法操作簡(jiǎn)單，易于實(shí)現(xiàn)。,87,補(bǔ)碼加減交替除法規(guī)則,88,補(bǔ)碼加減交替除法示例,例13：已知X=0.1000，Y=-0.1010； 求XY。 X補(bǔ)=00.1000A， Y補(bǔ)=11.0110B，0C -Y補(bǔ)=00.1010,89,補(bǔ)碼加減

44、交替除法示例（續(xù)）,A C 說(shuō)明,0 0.1 0 0 0 0.0 0 0 0,+Y補(bǔ) 1 1.0 1 1 0 X補(bǔ)、Y補(bǔ)異號(hào)，+Y補(bǔ), 1 1.1 1 0 0 左移一位,+-Y補(bǔ) 0 0.1 0 1 0 +-Y補(bǔ),0 0.0 1 1 0 0.0 0 1 0 ri補(bǔ)、Y補(bǔ)異號(hào)，商0, 0 0.1 1 0 0 左移一位,+Y補(bǔ) 1 1.0 1 1 0 +Y補(bǔ),0 0.0 0 1 0 0.0 1 0 0 ri補(bǔ)、Y補(bǔ)異號(hào)，商0,+Y補(bǔ) 1 1.0 1 1 0 +Y補(bǔ),1 1.1 0 1 0 0.1 0 0 1 ri補(bǔ)、Y補(bǔ)同號(hào)，商1, 1 1.0 1 0 0 左移一位,+-Y補(bǔ) 0 0.1 0 1

45、0 +-Y補(bǔ),1 1.1 1 1 0 1.0 0 1 1 末位恒置1,1 1.1 1 1 0 0.0 0 0 1 ri補(bǔ)、Y補(bǔ)同號(hào)，商1, 0 0.0 1 0 0 左移一位,90,補(bǔ)碼加減交替除法示例（續(xù)）,商補(bǔ)=1.0011 余數(shù)補(bǔ)=1.11102-4,商=-0.1101 余數(shù)=-0.00102-4,91,補(bǔ)碼加減交替除法流程圖,圖4-19 補(bǔ)碼加減交替除法流程圖,92,4.6 規(guī)格化浮點(diǎn)運(yùn)算,第2章中已經(jīng)討論了浮點(diǎn)數(shù)的表示方法，這里將進(jìn)一步討論規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)的四則運(yùn)算問(wèn)題，其中尾數(shù)的基值r=2。,93,4.6.1 浮點(diǎn)加減運(yùn)算,設(shè)兩個(gè)非0的規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)分別為： A=MA B=MB 規(guī)格化浮點(diǎn)

46、數(shù)A、B加減運(yùn)算通式為： AB=(MA,EA)(MB,EB) =,94,1.浮點(diǎn)數(shù)加減運(yùn)算步驟,對(duì)階 兩個(gè)浮點(diǎn)數(shù)相加或相減，首先要把小數(shù)點(diǎn)的位置對(duì)齊，而浮點(diǎn)數(shù)的小數(shù)點(diǎn)的實(shí)際位置取決于階碼的大小，因此，對(duì)齊兩數(shù)的小數(shù)點(diǎn)，就是使兩數(shù)的階碼相等，這個(gè)過(guò)程稱為對(duì)階。 要對(duì)階，首先應(yīng)求出兩數(shù)階碼EA和EB之差E=EA-EB 若E=0，表示兩數(shù)階碼相等，即EA=EB；若E0，表示EAEB；若E0，表示EAEB。,95,1.浮點(diǎn)數(shù)加減運(yùn)算步驟（續(xù)）,當(dāng)EAEB時(shí)，要通過(guò)尾數(shù)的移位來(lái)改變EA或EB。對(duì)階的規(guī)則是：小階向大階看齊。要使小階的階碼增大，則相應(yīng)的尾數(shù)右移，直到兩數(shù)的階碼相等為止。每右移一位，階碼加1

47、。 EAEB，則MB右移。每右移一位，EB+1EB，直至EA=EB為止。 EAEB，則MA右移。每右移一位，EA+1EA，直至EA=EB為止。 尾數(shù)右移后，應(yīng)對(duì)尾數(shù)進(jìn)行舍入。,96,1.浮點(diǎn)數(shù)加減運(yùn)算步驟（續(xù)）,尾數(shù)加/減 對(duì)階之后，就可以進(jìn)行尾數(shù)加/減，即：MAMBMC 其算法與定點(diǎn)加/減法相同。 尾數(shù)結(jié)果規(guī)格化 尾數(shù)加/減運(yùn)算之后得到的數(shù)可能不是規(guī)格化數(shù)，為了增加有效數(shù)字的位數(shù)，提高運(yùn)算精度，必須進(jìn)行結(jié)果規(guī)格化操作。,97,1.浮點(diǎn)數(shù)加減運(yùn)算步驟（續(xù)）,尾數(shù)結(jié)果規(guī)格化 |M|1 設(shè)尾數(shù)用雙符號(hào)位補(bǔ)碼表示，經(jīng)過(guò)加/減運(yùn)算之后，可能出現(xiàn)以下6種情況，即： 00.1 x x x 11.0 x x

48、 x 00.0 x x x 11.1 x x x 01.x x x x 10.x x x x,98,1.浮點(diǎn)數(shù)加減運(yùn)算步驟（續(xù)）,第和種情況，已是規(guī)格化數(shù)。 第和種情況需要使尾數(shù)左移以實(shí)現(xiàn)規(guī)格化，這個(gè)過(guò)程稱為左規(guī)。尾數(shù)每左移一位，階碼相應(yīng)減1（EC-1EC），直至成為規(guī)格化數(shù)為止。 左規(guī)= +Cs1 Cs2 C1 左規(guī)可以進(jìn)行多次。式中Cs1、Cs2表示尾數(shù)MC的兩個(gè)符號(hào)位，C1為MC的最高數(shù)值位。,99,1.浮點(diǎn)數(shù)加減運(yùn)算步驟（續(xù)）,第和種情況在在定點(diǎn)加減運(yùn)算中稱為溢出；但浮點(diǎn)加減運(yùn)算中，只表明此時(shí)尾數(shù)的絕對(duì)值大于1，而并非真正的溢出。這種情況應(yīng)將尾數(shù)右移以實(shí)現(xiàn)規(guī)格化。這個(gè)過(guò)程稱為右規(guī)。尾數(shù)

49、每右移一位，階碼相應(yīng)加1（EC+1EC）。 右規(guī)=Cs1Cs2 右規(guī)最多只有一次。,100,1.浮點(diǎn)數(shù)加減運(yùn)算步驟（續(xù)）,舍入 最簡(jiǎn)單的舍入方法是恒舍法，即無(wú)條件的丟掉正常尾數(shù)最低位之后的全部數(shù)值。 溢出判斷 當(dāng)尾數(shù)右規(guī)后，根據(jù)階碼來(lái)判斷浮點(diǎn)運(yùn)算結(jié)果是否溢出。 EC補(bǔ)=01, x x x x，表示上溢。此時(shí)，浮點(diǎn)數(shù)真正溢出，機(jī)器需停止運(yùn)算，做溢出中斷處理。 EC補(bǔ)=10, x x x x，表示下溢。浮點(diǎn)數(shù)值趨于零，機(jī)器不做溢出處理，而是按機(jī)器零處理。,101,2.浮點(diǎn)數(shù)加減運(yùn)算舉例,有兩浮點(diǎn)數(shù)為 A=0.1011102-01 B=-(0.101011)2-10 假設(shè)這兩數(shù)的格式：階碼4位，用移

50、碼（偏置值為23）表示；尾數(shù)8位，用補(bǔ)碼表示，包含一位符號(hào)位，即 階碼 尾數(shù) A浮=0111；0.1011100 B浮=0110；1.0101010,102,2.浮點(diǎn)數(shù)加減運(yùn)算舉例（續(xù)）, 對(duì)階 求階差：E=EA-EB=-1-(-2)=1 E=1，表示EAEB。按對(duì)階規(guī)則，將MB右移一位，EB+1EB，得： B浮=0111；1.1010101 尾數(shù)求和 00.1011100 + 11.1010101 00.0110001,103,2.浮點(diǎn)數(shù)加減運(yùn)算舉例（續(xù)）,尾數(shù)結(jié)果規(guī)格化 由于結(jié)果的尾數(shù)是非規(guī)格化的數(shù)，故應(yīng)左規(guī)。尾數(shù)每左移一位，階碼減1，直至尾數(shù)成為規(guī)格化數(shù)為止。最后結(jié)果為 A+B浮=011

51、0；0.110001 即 A+B =(0.110001)2-10 未發(fā)生溢出,104,4.6.2 浮點(diǎn)乘除運(yùn)算,設(shè)兩個(gè)非0的規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)分別為 A=MA B=MB 規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)A、B乘除運(yùn)算通式為： (MA,EA)(MB,EB)=(MAMB,EA+EB) (MA,EA)(MB,EB)=(MAMB,EA-EB),105,1.乘法步驟,兩浮點(diǎn)數(shù)相乘，其乘積的階碼應(yīng)為相乘兩數(shù)的階碼之和，其乘積的尾數(shù)應(yīng)為相乘兩數(shù)的尾數(shù)之積。即： AB=(MAMB) 階碼相加 兩個(gè)浮點(diǎn)數(shù)的階碼相加，如果階碼用補(bǔ)碼表示，無(wú)須校正；當(dāng)階碼用偏置值為2n的移碼表示時(shí)，階碼相加后要減去一個(gè)偏移量2n。,106,1.乘法步驟（續(xù)

52、）,因?yàn)镋A移=2n+EA，EB移=2n+EB， EA+EB移=2n+(EA+EB) 而EA移+EB移=2n+EA+2n+EB 所以EA+EB移=EA移+EB移-2n 顯然，此時(shí)階碼和中多余了一個(gè)偏置量2n，應(yīng)將它減去。另外，階碼相加后有可能產(chǎn)生溢出，此時(shí)應(yīng)另作處理。,107,1.乘法步驟（續(xù)）,尾數(shù)相乘 若MA、MB都不為0，則可進(jìn)行尾數(shù)乘法，算法與定點(diǎn)數(shù)乘法算法相同。 尾數(shù)結(jié)果規(guī)格化 由于A、B均是規(guī)格化數(shù)，所以尾數(shù)相乘后的結(jié)果一定落在下列范圍內(nèi)： |MAMB|1 當(dāng) |MAMB|1時(shí)，乘積已是規(guī)格化數(shù)，無(wú)須再進(jìn)行規(guī)格化操作；當(dāng) |MAMB| 時(shí)，則需要左規(guī)一次。左規(guī)時(shí)調(diào)整階碼后如果發(fā)生階

53、碼下溢，則做機(jī)器零處理。,108,2.除法步驟,兩浮點(diǎn)數(shù)相除，其商的階碼應(yīng)為相除兩數(shù)的階碼之差，其商的尾數(shù)應(yīng)為相除兩數(shù)的尾數(shù)之商。即： AB=(MAMB) 尾數(shù)調(diào)整 為了保證商的尾數(shù)是一個(gè)定點(diǎn)小數(shù)，首先需要檢測(cè)|MA|MB|。如果不小于，則MA右移一位，EA+1EA，稱為尾數(shù)調(diào)整。因?yàn)锳、B都是規(guī)格化數(shù)，所以最多調(diào)整一次。,109,2.除法步驟（續(xù)）,階碼相減 兩浮點(diǎn)數(shù)的階碼相減，如果階碼用補(bǔ)碼表示，階碼相減之后無(wú)須校正；當(dāng)階碼用偏置值為2n的移碼表示時(shí)，階碼相減后要加上一個(gè)偏移量2n。階碼相減后，如有溢出，應(yīng)另作處理。,110,2.除法步驟（續(xù)）,尾數(shù)相除 若MA、MB都不為0，則可進(jìn)行尾數(shù)

54、除法。尾數(shù)除法的算法與前述定點(diǎn)數(shù)除法算法相同。因?yàn)殚_(kāi)始時(shí)已進(jìn)行了尾數(shù)調(diào)整，所以運(yùn)算結(jié)果一定落在規(guī)格化范圍內(nèi)，即 |MAMB|1,111,4.6.3 浮點(diǎn)運(yùn)算器的實(shí)現(xiàn),浮點(diǎn)運(yùn)算的階碼只有加減運(yùn)算，尾數(shù)則有加、減、乘、除四種運(yùn)算。可見(jiàn)浮點(diǎn)運(yùn)算器主要由兩個(gè)定點(diǎn)運(yùn)算部件組成，一個(gè)是階碼運(yùn)算部件，用來(lái)完成階碼加、減，以及控制對(duì)階時(shí)小階的尾數(shù)右移次數(shù)和規(guī)格化時(shí)對(duì)階碼的調(diào)整；另一個(gè)是尾數(shù)運(yùn)算部件，用來(lái)完成尾數(shù)的四則運(yùn)算以及判斷尾數(shù)是否已規(guī)格化。此外，還需要有溢出判斷電路等。 現(xiàn)代計(jì)算機(jī)可把浮點(diǎn)運(yùn)算部件做成任選件，或稱為協(xié)處理器。所謂協(xié)處理器是因?yàn)樗荒軈f(xié)助主處理器工作，不能單獨(dú)工作。,112,4.7 十進(jìn)制

55、整數(shù)的加法運(yùn)算,一些通用計(jì)算機(jī)中設(shè)有十進(jìn)制數(shù)據(jù)表示，可以直接對(duì)十進(jìn)制整數(shù)進(jìn)行算術(shù)運(yùn)算。下面討論十進(jìn)制整數(shù)的加法運(yùn)算和十進(jìn)制加法器。,113,4.7.1 一位十進(jìn)制加法運(yùn)算,1.8421碼加法運(yùn)算 8421碼的加法規(guī)則： 兩個(gè)十進(jìn)制數(shù)的8421碼相加時(shí)，按“逢二進(jìn)一”的原則進(jìn)行； 當(dāng)和9，無(wú)需校正； 當(dāng)和9，則+6校正； 在做+6校正的同時(shí)，將產(chǎn)生向上一位的進(jìn)位。,114,8421碼的校正關(guān)系,115,校正舉例,0101 5,+ 10008,1101,+ 0110 6,1 0011 13,1001 9,+ 10008,1 0001,+ 0110 6,1 0111 17,116,2.余3碼加法運(yùn)算

56、,余3碼的加法規(guī)則： 兩個(gè)十進(jìn)制數(shù)的余3碼相加，按“逢二進(jìn)一”的原則進(jìn)行； 若其和沒(méi)有進(jìn)位，則減3（即+1101）校正； 若其和有進(jìn)位，則加3（即+0011）校正。,117,余3碼的校正關(guān)系,118,校正舉例,0110 3,+ 10005,1110,+ 1101 無(wú)進(jìn)位，-3，+1101,1011 8,1001 6,+ 10005,1 0001,+ 0011 有進(jìn)位，+3,1 0100 11,119,4.7.2 十進(jìn)制加法器,1.一位8421碼加法器 校正函數(shù)=C4+S4S3+S4S2 向上一位的進(jìn)位C4=校正函數(shù),120,一位8421碼加法器,圖4-21 一位8421碼加法器,1,121,2.一位余3碼加法器,C4=0，-3校正；C4=1，+3校正。 向上一位的進(jìn)位C4=C4,122,一位余3碼加法器,圖4-22 一位余3碼加法器,123,4.7.3 多位十進(jìn)制加法,對(duì)于多位十進(jìn)制數(shù)加法可采用多個(gè)BCD碼加法器，每個(gè)BCD碼加法器就是前述的一個(gè)一位十進(jìn)制加法器，可執(zhí)行兩個(gè)一位BCD數(shù)的加法。若n位BCD數(shù)相加，由從低位至高位采用行波式串行進(jìn)位的n位十進(jìn)制加法器完成。,124,4.8 邏輯運(yùn)算與實(shí)現(xiàn),計(jì)算機(jī)在解題過(guò)程中，除了要做大量的算術(shù)運(yùn)