微積分6-1.ppt

1、推廣,第六章,一元函數(shù)微分學,多元函數(shù)微分學,注意: 善于類比, 區(qū)別異同,多元函數(shù)微分學,一、多元函數(shù)的概念,二、多元函數(shù)的極限,三、多元函數(shù)的連續(xù)性,四、小結,第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念,(1) 鄰域,點集,稱為點 P0 的鄰域.,(圓鄰域),在空間中,(球鄰域),點P0的去心鄰域記為,例如,在平面上,一、多元函數(shù)的概念,（2）內(nèi)點、邊界點和聚點,1. 內(nèi)點是聚點；,說明：,2. 邊界點是聚點；,例,(0,0) 是聚點但不屬于E,（3）開集和閉集,例如，,即為開集,（4）區(qū)域和閉區(qū)域,連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域,例如，,例如，,有界閉區(qū)域；,無界開區(qū)域,例如，,（5）有界集和無界集,n維空

2、間,n維空間的記號為,說明：,（6）二元函數(shù)的定義,類似地可定義三元及三元以上函數(shù),例1 求 的定義域,解,所求定義域為,（7） 二元函數(shù) 的圖形,（如下頁圖）,二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.,例如,圖形如右圖.,例如,左圖球面.,單值分支:,二、多元函數(shù)的極限,定義1: 設n元函數(shù),點 ,則稱A為函數(shù),(也稱為n重極限),當n =2時,記,二元函數(shù)的極限可寫作：,P0是D的聚,若存在常數(shù)A ,對一,記作,都有,對任意正數(shù),總存在正數(shù),切,說明：,（1）定義中 的方式是任意的；,（2）二元函數(shù)的極限運算法則與一元函數(shù)類似,例2 求證,證,當 時，,原結論成立,例3 求極限,解,例:求極限,有界

3、變量乘無窮小量,夾逼法則,例4 證明 不存在,證,取,其值隨k的不同而變化，,故極限不存在,確定極限不存在的方法:,找兩種不同趨近方式,使二重極限存在,但兩者不相等; 令p(x,y)沿某一定曲線趨向于 時,極限不存在.,例：,，取,其值隨k的不同而變化，,極限不存在,三、多元函數(shù)的連續(xù)性,定義3,例5 討論函數(shù),在(0,0)的連續(xù)性,解,取,其值隨k的不同而變化，,極限不存在,故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù),例 證明,在全平面連續(xù).,證:,為初等函數(shù) , 故連續(xù).,又,故函數(shù)在全平面連續(xù) .,由夾逼準則得,閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次,在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在D上取得兩個不同的函數(shù)值，則它在D上取得介于這兩值之間的任何值至少一次,（1）最大值和最小值定理,（2）介值定理,（3）有界定理,在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)必定有界,多元初等函數(shù)：由常量及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和復合步驟所構成的可用一個式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù),一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的,定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域,例6,解,多元函數(shù)極限的概念,多元函數(shù)連續(xù)的概念,閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性