高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量 2.1 平面向量的實(shí)際背景及基本概念學(xué)案 新人教A版必修4

1、2.1預(yù)習(xí)課本P7476，思考并完成以下問(wèn)題(1)向量是如何定義的？向量與數(shù)量有什么區(qū)別？ (2)怎樣表示向量？向量的相關(guān)概念有哪些？ (3)兩個(gè)向量(向量的模)能否比較大??？ (4)如何判斷相等向量或共線向量？向量與向量是相等向量嗎？ (5)零向量與單位向量有什么特殊性？0與0的含義有什么區(qū)別？ 1向量的概念和表示方法(1)概念：既有大小，又有方向的量稱(chēng)為向量(2)向量的表示：表示法幾何表示：用有向線段來(lái)表示向量，有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向，即用有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)字母表示，如，字母表示：用小寫(xiě)字母a，b，c，表示，手寫(xiě)時(shí)必須加箭頭點(diǎn)睛向量可以用有向線段表示，

2、但向量不是有向線段向量是規(guī)定了大小和方向的量，有向線段是規(guī)定了起點(diǎn)和終點(diǎn)的線段2向量的長(zhǎng)度(或稱(chēng)模)與特殊向量(1)向量的長(zhǎng)度定義：向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度(2)向量的長(zhǎng)度表示：向量，a的長(zhǎng)度分別記作：|，|a|.(3)特殊向量：長(zhǎng)度為0的向量為零向量，記作0；長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量，叫做單位向量點(diǎn)睛定義中的零向量和單位向量都是只限制大小，沒(méi)有確定方向我們規(guī)定零向量的方向是任意的；單位向量有無(wú)數(shù)個(gè)，它們大小相等，但方向不一定相同3向量間的關(guān)系(1)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量，叫做相等向量，記作：ab.(2)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫共線向量；a平行于b，記作ab；規(guī)定零向

3、量與任一向量平行點(diǎn)睛共線向量?jī)H僅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同1判斷下列命題是否正確(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)兩個(gè)向量能比較大小()(2)向量的模是一個(gè)正實(shí)數(shù)()(3)單位向量的模都相等()(4)向量與向量是相等向量()答案：(1)(2)(3)(4)2有下列物理量：質(zhì)量；溫度；角度；彈力；風(fēng)速其中可以看成是向量的個(gè)數(shù)()A1 B2C3D4答案：B3已知向量a如圖所示，下列說(shuō)法不正確的是()A也可以用表示B方向是由M指向NC始點(diǎn)是M D終點(diǎn)是M答案：D4.如圖，四邊形ABCD和ABDE都是平行四邊形，則與相等的向量有_答案：，向量的有關(guān)概念典例有下列說(shuō)法：向量和向量

4、長(zhǎng)度相等；方向不同的兩個(gè)向量一定不平行；向量是有向線段；向量00，其中正確的序號(hào)為_(kāi)解析對(duì)于，|AB，故正確；對(duì)于，平行向量包括方向相同或相反兩種情況，故錯(cuò)誤；對(duì)于，向量可以用有向線段表示，但不能把二者等同起來(lái)，故錯(cuò)誤；對(duì)于，0是一個(gè)向量，而0是一個(gè)數(shù)量，故錯(cuò)誤答案(1)判斷一個(gè)量是否為向量應(yīng)從兩個(gè)方面入手是否有大?。皇欠裼蟹较?2)理解零向量和單位向量應(yīng)注意的問(wèn)題零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等單位向量不一定相等，易忽略向量的方向活學(xué)活用有下列說(shuō)法：若向量a與向量b不平行，則a與b方向一定不相同；若向量，滿(mǎn)足|，且與同向，則；若|a|b|，則a，b的長(zhǎng)度相等且方向相同或相反；由于零向

5、量方向不確定，故其不能與任何向量平行其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)是()A1B2C3 D4解析：選A對(duì)于，由共線向量的定義，知兩向量不平行，方向一定不相同，故正確；對(duì)于，因?yàn)橄蛄坎荒鼙容^大小，故錯(cuò)誤；對(duì)于，由|a|b|，只能說(shuō)明a，b的長(zhǎng)度相等，確定不了它們的方向，故錯(cuò)誤；對(duì)于，因?yàn)榱阆蛄颗c任一向量平行，故錯(cuò)誤向量的表示典例在如圖所示的坐標(biāo)紙上(每個(gè)小方格邊長(zhǎng)為1)，用直尺和圓規(guī)畫(huà)出下列向量：，使|4，點(diǎn)A在點(diǎn)O北偏東45；，使|4，點(diǎn)B在點(diǎn)A正東；，使|6，點(diǎn)C在點(diǎn)B北偏東30.解(1)由于點(diǎn)A在點(diǎn)O北偏東45處，所以在坐標(biāo)紙上點(diǎn)A距點(diǎn)O的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)相等又|4，小方格邊長(zhǎng)為1，所以點(diǎn)A距

6、點(diǎn)O的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)都為4，于是點(diǎn)A位置可以確定，畫(huà)出向量如圖所示(2)由于點(diǎn)B在點(diǎn)A正東方向處，且|4，所以在坐標(biāo)紙上點(diǎn)B距點(diǎn)A的橫向小方格數(shù)為4，縱向小方格數(shù)為0，于是點(diǎn)B位置可以確定，畫(huà)出向量如圖所示(3)由于點(diǎn)C在點(diǎn)B北偏東30處，且|6，依據(jù)勾股定理可得：在坐標(biāo)紙上點(diǎn)C距點(diǎn)B的橫向小方格數(shù)為3，縱向小方格數(shù)為35.2，于是點(diǎn)C位置可以確定，畫(huà)出向量如圖所示用有向線段表示向量的方法用有向線段表示向量時(shí)，先確定起點(diǎn)，再確定方向，最后依據(jù)向量模的大小確定向量的終點(diǎn)必要時(shí)，需依據(jù)直角三角形知識(shí)求出向量的方向(即夾角)或長(zhǎng)度(即模)，選擇合適的比例關(guān)系作出向量活學(xué)活用一輛汽車(chē)從A點(diǎn)

7、出發(fā)向西行駛了100千米到達(dá)B點(diǎn)，然后改變方向，向北偏西40方向行駛了200千米到達(dá)C點(diǎn)，最后又改變方向，向東行駛了100千米到達(dá)D點(diǎn)作出向量，.解：如圖所示共線向量或相等向量典例如圖所示，O是正六邊形ABCDEF的中心，且a，b，c.(1)與a的長(zhǎng)度相等、方向相反的向量有哪些？(2)與a共線的向量有哪些？(3)請(qǐng)一一列出與a，b，c相等的向量解(1)與a的長(zhǎng)度相等、方向相反的向量有，.(2)與a共線的向量有，.(3)與a相等的向量有，；與b相等的向量有，；與c相等的向量有，.一題多變1變?cè)O(shè)問(wèn)本例條件不變，試寫(xiě)出與向量相等的向量解：與向量相等的向量有，.2變條件，變?cè)O(shè)問(wèn)在本例中，若|a|1，則

8、正六邊形的邊長(zhǎng)如何？解：由正六邊形性質(zhì)知，F(xiàn)OA為等邊三角形，所以邊長(zhǎng)AF|a|1.尋找共線向量或相等向量的方法(1)尋找共線向量：先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段，再構(gòu)造同向與反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向線段的終點(diǎn)為起點(diǎn)，起點(diǎn)為終點(diǎn)的向量(2)尋找相等向量：先找與表示已知向量的有向線段長(zhǎng)度相等的向量，再確定哪些是同向共線層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1下列說(shuō)法正確的是()A向量就是所在的直線平行于所在的直線B長(zhǎng)度相等的向量叫做相等向量C若ab，bc，則acD共線向量是在一條直線上的向量解析：選C向量包含所在的直線與所在的直線平行和重合兩種情況，故A錯(cuò)；相等向量不僅要求長(zhǎng)度相等

9、，還要求方向相同，故B錯(cuò)；C顯然正確；共線向量可以是在一條直線上的向量，也可以是所在直線互相平行的向量，故D錯(cuò)2.如圖，在圓O中，向量，是()A有相同起點(diǎn)的向量B共線向量C模相等的向量D相等的向量解析：選C由圖可知，是模相等的向量，其模均等于圓的半徑，故選C.3向量與向量共線，下列關(guān)于向量的說(shuō)法中，正確的為()A向量與向量一定同向B向量，向量，向量一定共線C向量與向量一定相等D以上說(shuō)法都不正確解析：選B根據(jù)共線向量定義，可知，這三個(gè)向量一定為共線向量，故選B.4.如圖，在ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，圖中與平行的向量有()A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè) D4個(gè)解析：選C根據(jù)向量的基本概念可知

10、與平行的向量有，共3個(gè)5已知向量a，b是兩個(gè)非零向量，分別是與a，b同方向的單位向量，則下列各式正確的是()A B或C1 D|解析：選D由于a與b的方向不知，故與無(wú)法判斷是否相等，故A、B選項(xiàng)均錯(cuò)又與均為單位向量|，故C錯(cuò)D對(duì)6已知|1，|2，若ABC90，則|_.解析：由勾股定理可知，BC，所以|.答案：7設(shè)a0，b0是兩個(gè)單位向量，則下列結(jié)論中正確的是_(填序號(hào))a0b0；a0b0；|a0|b0|2；a0b0.解析：因?yàn)閍0，b0是單位向量，|a0|1，|b0|1，所以|a0|b0|2.答案：8給出下列四個(gè)條件：ab；|a|b|；a與b方向相反；|a|0或|b|0.其中能使ab成立的條件是

11、_(填序號(hào))解析：若ab，則a與b大小相等且方向相同，所以ab；若|a|b|，則a與b的大小相等，而方向不確定，因此不一定有ab；方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若a與b方向相反，則有ab；零向量與任意向量平行，所以若|a|0或|b|0，則ab.答案：9.如圖，O是正方形ABCD的中心(1)寫(xiě)出與向量相等的向量；(2)寫(xiě)出與的模相等的向量解：(1)與向量相等的向量是.(2)與的模相等的向量有：，.10.一輛消防車(chē)從A地去B地執(zhí)行任務(wù)，先從A地向北偏東30方向行駛2千米到D地，然后從D地沿北偏東60方向行駛6千米到達(dá)C地，從C地又向南偏西30方向行駛2千米才到達(dá)B地(1)在如圖所示的坐標(biāo)系

12、中畫(huà)出，.(2)求B地相對(duì)于A地的位移解：(1)向量，如圖所示(2)由題意知.所以AD綊BC，則四邊形ABCD為平行四邊形所以，則B地相對(duì)于A地的位移為“在北偏東60的方向距A地6千米”層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1.如圖所示，梯形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)P，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在兩腰AD，BC上，EF過(guò)點(diǎn)P，且EFAB，則下列等式成立的是()ABC D解析：選D根據(jù)相等向量的定義，分析可得：A中，與方向不同，故錯(cuò)誤；B中，與方向不同，故錯(cuò)誤；C中，與方向相反，故錯(cuò)誤；D中，與方向相同，且長(zhǎng)度都等于線段EF長(zhǎng)度的一半，故正確2下列說(shuō)法正確的是()A若ab，bc，則acB終點(diǎn)相同的兩個(gè)向量不共線C若ab

13、，則a一定不與b共線D單位向量的長(zhǎng)度為1解析：選DA中，因?yàn)榱阆蛄颗c任意向量平行，若b0，則a與c不一定平行B中，兩向量終點(diǎn)相同，若夾角是0或180，則共線C中，對(duì)于兩個(gè)向量不相等，可能是長(zhǎng)度不相等，但方向相同或相反，所以a與b可能共線3若a為任一非零向量，b為單位向量，下列各式：|a|b|；ab；|a|0；|b|1.其中正確的是()A BC D解析：選Ba為任一非零向量，所以|a|0，故正確；由向量、單位向量、平行向量的概念易判斷其他式子均錯(cuò)誤故選B.4在ABC中，點(diǎn)D，E分別為邊AB，AC的中點(diǎn)，則如圖所示的向量中相等向量有()A一組 B二組C三組 D四組解析：選A由向量相等的定義可知，只

14、有一組向量相等，即.5四邊形ABCD滿(mǎn)足，且|，則四邊形ABCD是_(填四邊形ABCD的形狀)解析：，ADBC且|，四邊形ABCD是平行四邊形又|知該平行四邊形對(duì)角線相等，故四邊形ABCD是矩形答案：矩形6.如圖，O是正三角形ABC的中心，四邊形AOCD和AOBE均為平行四邊形，則與向量相等的向量為_(kāi)；與向量共線的向量為_(kāi)；與向量的模相等的向量為_(kāi)(填圖中所畫(huà)出的向量)解析：O是正三角形ABC的中心，OAOBOC，易知四邊形AOCD和四邊形AOBE均為菱形，與相等的向量為；與共線的向量為，；與的模相等的向量為，.答案：，7如圖，D，E，F(xiàn)分別是正三角形ABC各邊的中點(diǎn)(1)寫(xiě)出圖中所示向量與向量長(zhǎng)度相等的向量(2)寫(xiě)出圖中所示向量與向量相等的向量(3)分別寫(xiě)出圖中所示向量與向量，共線的向量解：(1)與長(zhǎng)度相等的向量是，.(2)與相等的向量是，.(3)與共線的向