第十五章-灰色預(yù)測模型.ppt

1、灰色系統(tǒng)建模,一 灰色系統(tǒng)的定義和特點 二 灰色系統(tǒng)的模型 三 銷售額預(yù)測 四 城市道路交通事故次數(shù)的灰色預(yù)測 五 城市火災(zāi)發(fā)生次數(shù)的灰色預(yù)測 六 災(zāi)變與異常值預(yù)測,灰色系統(tǒng)理論是我國學(xué)者鄧聚龍教授于20世紀(jì)80年代前期提出的用于控制和預(yù)測的新理論、新技術(shù)，目前已廣泛地應(yīng)用于各個學(xué)科領(lǐng)域，并取得了顯著成就(鄧聚龍，1992)?；疑到y(tǒng)理論的研究對象是“部分信息已知，部分信息未知”的小樣本、“貧信息”不確定性系統(tǒng)。它通過部分已知信息的生成、開發(fā)去了解、認(rèn)識現(xiàn)實世界，實現(xiàn)對系統(tǒng)運行行為和演化規(guī)律的正確把握和描述，是一種十分簡便的新理論。,15.1. 灰色系統(tǒng)概述,15.1.1灰色系統(tǒng) 我們通常所說

2、的系統(tǒng)是指：由客觀世界中相同或相似的事物和因素按一定的秩序相互關(guān)聯(lián)、相互制約而構(gòu)成的一個整體。 白色系統(tǒng)如果一個系統(tǒng)中具有充足的信息量，其發(fā)展變化的規(guī)律明顯、定量描述方便、結(jié)構(gòu)與參數(shù)具體 黑色系統(tǒng)如果一個系統(tǒng)的內(nèi)部特性全部是未知的 灰色系統(tǒng)介于白色系統(tǒng)和黑色系統(tǒng)之間，即系統(tǒng)內(nèi)部信息和特性是部分已知的，另一部分是未知的.區(qū)別白色系統(tǒng)與灰色系統(tǒng)的重要標(biāo)志是系統(tǒng)內(nèi)各因素之間是否具有確定的關(guān)系.,自然界對人類社會來講不是白色的(全部都知道)，也不是黑色的(一無所知)，而是灰色的(半知半解)。 人類的思考、行為也是灰色的，人類其實是生存在一個高度的灰色信息關(guān)系空間之中，例如：人體系統(tǒng)、糧食生產(chǎn)系統(tǒng)等。部

3、分信息已知，部分信息未知的系統(tǒng)，稱為灰色系統(tǒng)。,一個系統(tǒng)的信息不完全有下列四種情況。 （1）系統(tǒng)的元素，或者參數(shù)方面的信息不完全；（2）系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或關(guān)系的信息不完全； （3）系統(tǒng)的運行或功能結(jié)果的信息不完全；（4）系統(tǒng)與環(huán)境邊界的信息不完全。,灰色系統(tǒng)的特點,（1）用灰色數(shù)學(xué)處理不確定量，使之量化。,（2）充分利用已知信息尋求系統(tǒng)的運動規(guī)律。,（3）灰色系統(tǒng)理論能處理貧信息系統(tǒng)。,灰色系統(tǒng)建模方法主要是根據(jù)具體灰色系統(tǒng)的行為特征數(shù)據(jù)，充分利用數(shù)量不多的數(shù)據(jù)和信息尋求相關(guān)因素自身與各因素之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，即建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.,灰色系統(tǒng)理論分析具有溝通社會科學(xué)及自然科學(xué)的作用，可將抽象的系統(tǒng)加以實

4、體化、量化、模型化及做最佳化。 該理論主要是針對系統(tǒng)模型的不明確性，信息不完整性時，進(jìn)行關(guān)于系統(tǒng)的關(guān)聯(lián)分析（Relational Analysis）、模型建構(gòu)（Constructing A Model）、預(yù)測（Prediction）及決策（Decision）。,1.2灰色系統(tǒng)理論的主要內(nèi)容,灰色系統(tǒng)的應(yīng)用范疇,灰色系統(tǒng)的應(yīng)用范疇大致分為以下幾方面： （1）灰色關(guān)聯(lián)分析。 （2）灰色預(yù)測：人口預(yù)測；初霜預(yù)測；災(zāi)變預(yù)測.等等。 （3）灰色決策。 （4）灰色預(yù)測控制。,灰色系統(tǒng)理論是人們認(rèn)識客觀系統(tǒng)改造客觀系統(tǒng)的一個新型的理論工具。,15.2灰色關(guān)聯(lián)度與優(yōu)勢分析,15.2.1 灰色關(guān)聯(lián)分析概述,為了

5、定量地研究兩個事物間的關(guān)聯(lián)程度，人們提出了各種形式的指數(shù)，如相關(guān)系數(shù)和相似系數(shù)等等。這些指數(shù)大多以數(shù)理統(tǒng)計原理為基礎(chǔ)，需要足夠的樣本個數(shù)或者要求數(shù)據(jù)服從一定的概率分布。 在客觀世界中，有許多因素之間的關(guān)系是灰色的，分不清哪些因素之間關(guān)系密切，哪些不密切，這樣就難以找到主要矛盾和主要特性。灰因素關(guān)聯(lián)分析，目的是定量地表征諸因素之間的關(guān)聯(lián)程度，從而揭示灰色系統(tǒng)的主要特性。關(guān)聯(lián)分析是灰色系統(tǒng)分析和預(yù)測的基礎(chǔ)。,由此可見，關(guān)聯(lián)分析實質(zhì)上是一種曲線間幾何形狀的分析比較，即幾何形狀越接近，則發(fā)展變化趨勢越接近，關(guān)聯(lián)程度越大；反之亦然。,關(guān)聯(lián)分析 是一種相 對性的排 序分析 源于幾何 直觀,為保證建立模型的

6、質(zhì)量和系統(tǒng)分析的正確性，對采集來的原始數(shù)據(jù)一般需進(jìn)行預(yù)處理，使其消除量綱和具有可比性。即在進(jìn)行關(guān)聯(lián)度計算之前，對各要素的原始數(shù)據(jù)作初值變換或均值變換等，然后利用變換后所得的數(shù)據(jù)作關(guān)聯(lián)度計算。原始數(shù)據(jù)變換方法如下：,15.2.2數(shù)據(jù)變換技術(shù),如果原始數(shù)據(jù)具有相同的量綱，能夠進(jìn)行比較，也可以不作數(shù)據(jù)變換。,15.2.3關(guān)聯(lián)系數(shù)與關(guān)聯(lián)度,（2）關(guān)聯(lián)系數(shù),（3）關(guān)聯(lián)系數(shù)的計算,關(guān)聯(lián)系數(shù)計算一般分為四個步驟：,(ii)求差序列。各時刻,與,的絕對差,(iii)求兩級最小差與最大差。,求兩級最小差：,，,，,再求兩級最大差：,4計算關(guān)聯(lián)系數(shù)。根據(jù)已求出的,代入關(guān)聯(lián)系數(shù)計算公式：,將表153的數(shù)據(jù)依次代人得

7、：,通過上述計算，我們得到的是一個關(guān)聯(lián)系數(shù)矩陣,信息過于分散，不便于比較，為此有必要將各時刻關(guān)聯(lián)系數(shù)集中為一個值，求平均值。,所謂關(guān)聯(lián)度是指參考數(shù)列對被比較數(shù)列關(guān)聯(lián)系數(shù)的均值，記為,（四）關(guān)聯(lián)度,求得上述三條曲線的關(guān)聯(lián)度為：,，,例15.2.2 鉛球運動員專項成績的因素分析 通過對某健將級女子鉛球運動員的跟蹤調(diào)查，獲得其1982至1986年沒年最好成績及16項專項素質(zhì)和身體素質(zhì)的時間序列資料，見下表，試對此運動員的專項成績進(jìn)行因素分析，見下表。,各項成績數(shù)據(jù),在利用（1）式及（2）式計算關(guān)聯(lián)度之前，我們需要對表中的各個數(shù)據(jù)做初始化處理。一般來講，實際問題中的不同數(shù)據(jù)往往具有不同的量綱，而我們在

8、計算關(guān)聯(lián)系數(shù)時，要求量綱相同。因此，需要首先對各種數(shù)據(jù)無量綱化。此外，為了易于比較，要求所有數(shù)列有公共的交點。為了解決上述問題，我們對給定數(shù)列進(jìn)行變換。,Step 1. 選取參照數(shù)列,Step 2. 將各個數(shù)量按照其對參照數(shù)列的意義初始化,依照問題的要求，我們自然選取鉛球運動員專項成績 作為參考數(shù)列，,Step 3. 將初始化后的數(shù)列代入關(guān)聯(lián)系數(shù)和關(guān)聯(lián)度，即先求出關(guān)聯(lián)系數(shù)，然后在關(guān)聯(lián)系數(shù)的基礎(chǔ)上求出關(guān)聯(lián)度。,關(guān)聯(lián)度計算結(jié)果,由表中可以看出，影響鉛球?qū)ｍ棾煽兊那鞍隧椫饕蛩匾来螢槿祝?kg滑步，高翻，4kg原地，挺舉，立定跳遠(yuǎn)，30米起跑，100米。因此，在訓(xùn)練中應(yīng)著重安排著八項指標(biāo)的練習(xí)，這

9、樣可以減少盲目性，提高訓(xùn)練效果。,Step 4. 對關(guān)聯(lián)度依據(jù)大小排序，給出分析結(jié)果。,例2：利用灰色關(guān)聯(lián)分析對6位教師工作狀況進(jìn)行綜合評價 1評價指標(biāo)包括：專業(yè)素質(zhì)、外語水平、教學(xué)工作量、科研成果、論文、著作與出勤,2對原始數(shù)據(jù)經(jīng)處理后得到以下數(shù)值，見下表,3確定參考數(shù)據(jù)列：,4計算 ， 見下表,5求最值 6 取計算，得,同理得出其它各值，見下表,7分別計算每個人各指標(biāo)關(guān)聯(lián)系數(shù)的均值（關(guān)聯(lián)序）：,8如果不考慮各指標(biāo)權(quán)重（認(rèn)為各指標(biāo)同等重要），六個被評價對象由好到劣依次為1號，5號，3號，6號，2號，4號即,15.3 灰色生成數(shù)列,在灰色系統(tǒng)理論中，把一切隨機(jī)量都看作灰數(shù)，即在指定范圍內(nèi)變化的

10、數(shù)的全體。對灰數(shù)的處理主要是利用數(shù)據(jù)處理方法去尋求數(shù)據(jù)的內(nèi)在規(guī)律，通過對已知數(shù)據(jù)進(jìn)行處理而產(chǎn)生新的數(shù)據(jù)列，以此來研究尋找數(shù)據(jù)的規(guī)律性，這種方法稱為數(shù)據(jù)的生成2。數(shù)據(jù)的生成方式有多種，常用的方法有累加生成、累減生成和加權(quán)累加生成等。,灰色預(yù)測是指利用GM模型對系統(tǒng)行為特征的發(fā)展變化規(guī)律進(jìn)行估計預(yù)測，同時也可以對行為特征的異常情況發(fā)生的時刻進(jìn)行估計計算，以及對在特定時區(qū)內(nèi)發(fā)生事件的未來時間分布情況做出研究等等。這些工作實質(zhì)上是將“隨機(jī)過程”當(dāng)作“灰色過程”，“隨機(jī)變量”當(dāng)作“灰變量”，并主要以灰色系統(tǒng)理論中的GM(1,1)模型來進(jìn)行處理。 灰色預(yù)測在工業(yè)、農(nóng)業(yè)、商業(yè)等經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域，以及環(huán)境、社會和軍事

11、等領(lǐng)域中都有廣泛的應(yīng)用。特別是依據(jù)目前已有的數(shù)據(jù)對未來的發(fā)展趨勢做出預(yù)測分析。,15.5灰色預(yù)測,（1）數(shù)列預(yù)測，即用觀察到的反映預(yù)測對象特征的時間序列來構(gòu)造灰色預(yù)測模型，預(yù)測未來某一時刻的特征量，或達(dá)到某一特征量的時間。,（2）災(zāi)變與異常值預(yù)測，即通過灰色模型預(yù)測異常值出現(xiàn)的時刻，預(yù)測異常值什么時候出現(xiàn)在特定時區(qū)內(nèi)。,（3）季節(jié)災(zāi)變與異常值預(yù)測，即通過灰色模型預(yù)測災(zāi)變值發(fā)生在一年內(nèi)某個特定的時區(qū)或季節(jié)的災(zāi)變預(yù)測。,（4）拓?fù)漕A(yù)測，將原始數(shù)據(jù)作曲線，在曲線上按定值尋找該定值發(fā)生的所有時點，并以該定值為框架構(gòu)成時點數(shù)列，然后建立模型預(yù)測該定值所發(fā)生的時點。,（5）系統(tǒng)預(yù)測. 通過對系統(tǒng)行為特征指

12、標(biāo)建立一組相互關(guān)聯(lián)的灰色預(yù)測模型，預(yù)測系統(tǒng)中眾多變量間的相互協(xié)調(diào)關(guān)系的變化。,常見的灰色預(yù)測,通過下面的數(shù)據(jù)分析、處理過程，我們將了解到，有了一個時間數(shù)據(jù)序列后，如何建立一個基于模型的灰色預(yù)測。 1. 數(shù)據(jù)的預(yù)處理 首先我們從一個簡單例子來考察問題. 【例1】 設(shè)原始數(shù)據(jù)序列,x0=6,3,8,10,7 %原始數(shù)據(jù)序列,對數(shù)據(jù)累加,于是得到一個新數(shù)據(jù)序列,x1=cumsum(x0) %進(jìn)行累加得到一個新數(shù)據(jù)序列,歸納上面的式子可寫為 稱此式所表示的數(shù)據(jù)列為原始數(shù)據(jù)列的一次累加生成，簡稱為一次累加生成.顯然有,將上述例子中的,分別做成圖1、圖2.,可見圖1上的曲線有明顯的擺動，圖2呈現(xiàn)逐漸遞增的

13、形式，說明原始數(shù)據(jù)的起伏已顯著弱化.可以設(shè)想用一條指數(shù)曲線乃至一條直線來逼近累加生成數(shù)列,圖2,圖1,為了把累加數(shù)據(jù)列還原為原始數(shù)列，需進(jìn)行后減運算 或稱相減生成，它是指后前兩個數(shù)據(jù)之差，如上例中,歸納上面的式子得到如下結(jié)果：一次后減,其中,2. 建模原理 給定觀測數(shù)據(jù)列 經(jīng)一次累加得,（1）,（2）,則GM（1,1）的灰微分方程模型為,其中a是常數(shù)，稱為發(fā)展灰數(shù)；u稱為內(nèi)生控制灰數(shù)(或內(nèi)生變量)，是對系統(tǒng)的常定輸入。,白化方程,最小二乘估計a,b,(1)時間響應(yīng)函數(shù),(2)時間響應(yīng)序列,3.精度檢驗 (1)殘差檢驗：分別計算,（3）預(yù)測精度等級對照表，見表1.,表1 等 級 對 照 表,實例

14、1 銷售額預(yù)測,隨著生產(chǎn)的發(fā)展、消費的擴(kuò)大，市場需求通常總是增加的，一個商店、一個地區(qū)的銷售額常常呈增長趨勢. 因此，這些數(shù)據(jù)符合建立灰色預(yù)測模型的要求。,表1 逐年銷售額（百萬元）,【例1】 表1列出了某公司20062010年逐年的銷售額.試用建立預(yù)測模型，預(yù)測2011年的銷售額，要求作精度檢驗。,解（1）由原始數(shù)據(jù)列計算一次累加序列 ，結(jié)果見表2. 表2 一次累加數(shù)據(jù),（2）建立矩陣：,表 3,2.8740 3.2320 3.3545 3.4817 3.6137 3.7507,mean(x0) =3.3116,std(x0)= 0.2586,2.874 3.278 3.337 3.390

15、3.679,輸入數(shù)據(jù),ys = 0 3.2320 3.3545 3.4817 3.6137 3.7507,百分絕對誤差為：0.12915% 預(yù)測值為： 3.7507,輸出,運用灰色預(yù)測GM(1,1)_MATLAB程序（見附件）,實例2、 城市道路交通事故次數(shù)的灰色預(yù)測,灰色理論以“部分信息已知、部分信息未知”的“小樣本”、“貧信息”的不確定問題為研究對象,通過對“部分”已知的信息的生成開發(fā),提取有價值的信息,構(gòu)造生成序列的手段來尋求現(xiàn)實現(xiàn)象中存在的規(guī)律。 交通事故作為一個隨機(jī)事件,其本身具有相當(dāng)大的偶然性和模糊性,如果把某地區(qū)的道路交通作為一個系統(tǒng)來看，則此系統(tǒng)中存在著一些確定因素(灰色系統(tǒng)稱

16、為白色信息) ,如道路狀況、信號標(biāo)志,同時也存在一些不確定因素(灰色系統(tǒng)稱為灰色信息)如車輛狀況、氣候因素、駕駛員心理狀態(tài)等等,具有明顯的不確定性特征。 因此可以認(rèn)為一個地區(qū)的道路交通安全系統(tǒng)是一個灰色系統(tǒng),可以利用灰色系統(tǒng)理論進(jìn)行研究。,【例2】某市2011年1-6月的交通事故次數(shù)統(tǒng)計見表4.試建立灰色預(yù)測模型. 表4 交通事故次數(shù)統(tǒng)計 解 利用matlab軟件計算，輸出分析數(shù)據(jù)如下： 原始數(shù)列(元素共6個):83，95，130，141，156，185 預(yù)測結(jié)果如下：,1dx/dt+ax=u：a=-0.14401015，u=84.47278810 2時間響應(yīng)方程： X(k+1)=669.57

17、52*exp(0.1440k)-586.5752 3預(yù)測的結(jié)果X*(k)： (1) 213.08514646 (2) 246.09114698 (3) 284.20963932 (4)328.23252716 (5) 379.07437672 (6) 437.79141674 (7) 505.60348139 這表明：如果該市不采取更有效的管制措施，7月的交通事故次數(shù)將上升至213次.,實例3 城市火災(zāi)發(fā)生次數(shù)的灰色預(yù)測,【例3】某市20062010年火災(zāi)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)見表5. 試建立模型，并對該市2011年的火災(zāi)發(fā)生狀況做出預(yù)測。 表4 某市20012005年火災(zāi)數(shù)據(jù),解 利用matlab軟件計

18、算，輸出分析數(shù)據(jù)如下： 原始數(shù)列(元素共5個): 87，97，120，166，161 預(yù)測結(jié)果如下：,1dx/dt+ax=u：a=-0.16668512，u=81.11892433 2時間響應(yīng)方程： X(k+1)=573.6597*exp(0.1667k)-486.6597 3 預(yù)測的結(jié)果X*(k)： (1) 202.67991837 (2) 239.44245045 (3) 282.87305194 (4)334.18119203 (5) 394.79571611 (6) 466.40463669 結(jié)果表明：如果該市不采取更有效的防火措施， 2011年的火災(zāi)事故次數(shù)約為 203 次.,實例4

19、 災(zāi)變與異常值預(yù)測,灰色災(zāi)變與異常值預(yù)測指運用灰色動態(tài)模型，對系統(tǒng)變化過程中某個異常數(shù)值在未來什么時間還會出現(xiàn)進(jìn)行的預(yù)測. 由于這個異常值的出現(xiàn)經(jīng)常對人類產(chǎn)生不利的影響，即造成災(zāi)害，如：某年降雨量低于300mm,便形成旱災(zāi)，使糧食生產(chǎn)歉收；某年發(fā)生蝗災(zāi)，農(nóng)作物就要減產(chǎn)；破壞性地震、特大洪水、臺風(fēng)與海嘯等自然災(zāi)害的發(fā)生，更是給人們的生活和生產(chǎn)帶來巨大的損失. 因此，對這一類事件發(fā)生的時間和程度進(jìn)行預(yù)報，是很有實際意義的.,1. 災(zāi)變預(yù)的數(shù)學(xué)原理與特征 災(zāi)變預(yù)測與數(shù)據(jù)預(yù)測的不同點，在于它不是預(yù)測序列數(shù)據(jù)的量的變化，而是預(yù)測異常值或“災(zāi)變”點出現(xiàn)的時間，它是應(yīng)用灰色區(qū)間（間隔）的預(yù)測而進(jìn)行的。所以，

20、災(zāi)變預(yù)測的基本要求是“定量求時”。災(zāi)變預(yù)測的數(shù)學(xué)原理描述如下：,4,3.實際問題旱災(zāi)預(yù)測,解,計算的 MATLAB 程序如下： clear a=390.6,412,320,559.2, 380.8,542.4,553,310,561,. 300,632,540,406.2,313.8,576,587.6,318.5; t0=find(a=320);n=length(t0); t1=cumsum(t0); %累加運算 B=-0.5*(t1(1:end-1)+t1(2:end),ones(n-1,1);Y=t0(2:end); r=BY y=dsolve(Dy+a*y=b,y(0)=y0); y=

21、subs(y,a,b,y0,r(1),r(2),t1(1); yuce1=subs(y,t,0:n+1) %為提高預(yù)測精度，先計算預(yù)測值，再顯示微分方程的解 y=vpa(y,6) %其中的6 表示顯示6 位數(shù)字 yuce=diff(yuce1); %作差分運算，進(jìn)行數(shù)據(jù)還原 yuce=t0(1),yuce yuce_new=yuce(n+1:end) %求得的兩個預(yù)測值,七、建模實例,SARS疫情對某些經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的影響問題 1.問題的提出 2003年的SARS疫情對中國部分行業(yè)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展 產(chǎn)生了一定的影響，特別是對部分疫情較嚴(yán)重的省市 的相關(guān)行業(yè)所造成的影響是明顯的，經(jīng)濟(jì)影響主要分 為直接經(jīng)濟(jì)影

22、響和間接影響，直接經(jīng)濟(jì)影響涉及商品 零售業(yè)、旅游業(yè)、綜合服務(wù)業(yè)等。很多方面難以進(jìn)行 定量地評估，現(xiàn)僅就SARS疫情較嚴(yán)重的某市商品零 售業(yè)、旅游業(yè)、綜合服務(wù)業(yè)的影響進(jìn)行定量的評估分 析。,究竟 SARS 疫情對商品零售業(yè)、旅游業(yè)和綜合服務(wù)業(yè)的影響有多大，已知某市從1997 年1 月到2003 年12 月的商品零售額、接待旅游人數(shù)和綜合服務(wù)收入的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表1、表2 和表3。,表1 商品的零售額（單位：億元）,表2 接待海外旅游人數(shù)（單位：萬人）,表3 綜合服務(wù)業(yè)累計數(shù)額（單位：億元）,試根據(jù)這些歷史數(shù)據(jù)建立預(yù)測評估模型，評估 2003 年SARS 疫情給該市的商品零售業(yè)、旅游業(yè)和綜合服務(wù)業(yè)所造

23、成的影響。,2 模型的分析與假設(shè) 根據(jù)所掌握的歷史統(tǒng)計數(shù)據(jù)可以看出，在正常情況下，全年的平均值較好地反映了相關(guān)指標(biāo)的變化規(guī)律，這樣可以把預(yù)測評估分成兩部分： （1）利用灰色理論建立GM(1,1)模型，由19972002 年的平均值預(yù)測2003 年平均值；,（2）通過歷史數(shù)據(jù)計算每個月的指標(biāo)值與全年總值的關(guān)系，從而可預(yù)測出正常情況下2003 年每個月的指標(biāo)值，再與實際值比較可以估算出SARS 疫情實際造成的影響。,給出下面兩條假設(shè)： （1）假設(shè)該市的統(tǒng)計數(shù)據(jù)都是可靠準(zhǔn)確的； （2）假設(shè)該市在SARS 疫情流行期間和結(jié)束之后，數(shù)據(jù)的變化只與SARS 疫情的影響有關(guān)，不考慮其它隨機(jī)因素的影響。,3 建立灰色預(yù)測模型GM(1,1),4 模型的求解,將預(yù)測值與實際統(tǒng)計值進(jìn)行比較如表 4 所示。,表 4 2003 年商品的零售額（單位：億元）,結(jié)果分析,計算的MATLAB 程序如下： clear load han1.txt %把原始數(shù)據(jù)保存在純文本文件han1.txt中 han1(end,:)