電磁場數(shù)學(xué)方法-數(shù)學(xué)物理方程5格林函數(shù).ppt

1、電磁場數(shù)學(xué)方法,任課教師：陳其科,聯(lián)系方式：E_mail： 電 話：61830311 總 學(xué) 時: 80課時 教 材：梁昆淼，數(shù)學(xué)物理方程（第四版） 成績構(gòu)成：平時20%+半期考試20%+期末考試60%,第二篇 數(shù)學(xué)物理方程,要想探索自然界的奧秘，就得解微分方程 -牛頓,課程內(nèi)容,三種方程 四種求解方法 二個特殊函數(shù),行波法 分離變量法 積分變換法 格林函數(shù)法,波動方程 熱傳導(dǎo) 拉普拉斯方程,貝賽爾函數(shù) 勒讓德函數(shù),第八章 格林函數(shù)法,格林（Green）函數(shù)，又稱為點(diǎn)源影響函數(shù)， 是數(shù)學(xué)物理中的一個重要概念。,格林函數(shù)法是解數(shù)學(xué)物理方程的常用方法之一,格林函數(shù)物理意義： 表征一個點(diǎn)源在一定的邊

2、界條件下和初始條件下所產(chǎn)生的場。,格林函數(shù)應(yīng)用： 若能求出某點(diǎn)源所對應(yīng)的格林函數(shù)（場），即可用疊加的方法計(jì)算出任意源所產(chǎn)生的場,第八章 格林函數(shù)法,一個格林函數(shù)應(yīng)用的實(shí)例：,靜電荷（點(diǎn)電荷）產(chǎn)生電位分布滿足泊松方程：,而在靜電場問題中，點(diǎn)源即為點(diǎn)電荷。位于r處的單位點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電位分布為：,泊松方程在無界空間的格林函數(shù),則任意分布電荷 在無界空間產(chǎn)生電位,第八章 格林函數(shù)法,8.1 點(diǎn)源的表示 8.2 泊松方程的積分解 8.3 格林函數(shù)的求解,（一）狄拉克函數(shù),由于Green函數(shù)與點(diǎn)源產(chǎn)生的場相關(guān)，因此首先討論點(diǎn)源的密度分布函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)形式。 以電荷為例：,若為點(diǎn)電荷：,狄拉克函數(shù) 具有與點(diǎn)

3、電荷分布相似的性質(zhì)。,8.1 點(diǎn)源的表示,（一）狄拉克函數(shù),狄拉克函數(shù)定義：,主要相關(guān)性質(zhì)：,(1),(2),8.1 點(diǎn)源的表示,狄拉克函數(shù)常用于描述能量或質(zhì)量在空間或時間上高度集中的各種現(xiàn)象，如：質(zhì)點(diǎn)、點(diǎn)電荷、點(diǎn)光源，脈沖信號等。,(歸一性),(選擇性),(3),(可導(dǎo)性),(4),(可分離變量性),（一）狄拉克函數(shù),狄拉克函數(shù)相關(guān)公式：,直角坐標(biāo)系下：,柱面坐標(biāo)系下：,球面坐標(biāo)系下：,一維展開式：,8.1 點(diǎn)源的表示,（一）格林公式,8.2 泊松方程的積分解,設(shè) 和 在區(qū)域T內(nèi)有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)，在其邊界 上有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)。,第一格林公式,第一格林公式：,（一）格林公式,8.2 泊松方程的積

4、分解,設(shè) 和 在區(qū)域T內(nèi)有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)，在其邊界 上有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)。,第一格林公式,第二格林公式：,同理：,相減,第二格林公式,（二）泊松方程的定解問題表示,8.2 泊松方程的積分解,根據(jù)邊界條件的給定方式，邊界條件可分為三類：,第一類邊界條件：,第二類邊界條件：,第三類邊界條件：,（1),邊界條件一般形式,（三）利用格林函數(shù)法求解泊松方程,8.2 泊松方程的積分解,設(shè)在區(qū)域D中某點(diǎn) 處存在一電量為 的點(diǎn)電荷，其產(chǎn)生的場滿足泊松方程，由 格林函數(shù)的定義，有,（2),（1),求,第二格林公式,左邊=,（三）利用格林函數(shù)法求解泊松方程,8.2 泊松方程的積分解,若通過（2）式求出格林函數(shù) ，并根

5、據(jù)原問題邊界條件確定格林函數(shù)滿足的邊界條件，則可由上式求解出點(diǎn) 處的場的解。,邊界條件給定,泛定方程給定,泊松方程積分解,8.2 泊松方程的積分解,1、第一類邊值問題時的泊松方程解,（1),由于格林函數(shù)是引入的待確定函數(shù)，已知條件并未對其進(jìn)行限定。我們可設(shè)定其邊界條件為 ，則,其中：,第一類邊值問題格林函數(shù),（三）利用格林函數(shù)法求解泊松方程,8.2 泊松方程的積分解,3、第三類邊值問題的泊松方程解,（3),令格林函數(shù)滿足邊界條件,（4),其中：,第三類邊值問題格林函數(shù),（三）利用格林函數(shù)法求解泊松方程,8.2 泊松方程的積分解,2、第二類邊值問題的泊松方程解,（1),令格林函數(shù)滿足邊界條件,其

6、中：,第二類邊值問題格林函數(shù)？,（三）利用格林函數(shù)法求解泊松方程,無解,8.2 泊松方程的積分解,2、第二類邊值問題的泊松方程解,引入推廣的格林函數(shù),推廣的第二類邊值問題格林函數(shù),（三）利用格林函數(shù)法求解泊松方程,（一）無界空間的格林函數(shù) 基本解,8.3 格林函數(shù)的求解,確定了格林函數(shù)G，即可得泊松方程邊值問題的解。而格林函數(shù)求解比直接求解邊值問題簡單。,無界空間的格林函數(shù)，稱為方程的基本解G0。,格林函數(shù)基本解的應(yīng)用：,+,令,齊次方程，易解,格林函數(shù)基本解,非齊次方程(直接求解困難),（一）無界空間的格林函數(shù) 基本解,8.3 格林函數(shù)的求解,1、三維泊松方程的基本解,將方程在球坐標(biāo)系下展開

7、,當(dāng)點(diǎn)電荷位于坐標(biāo)原點(diǎn)( )，則,又因?yàn)?電量為 的點(diǎn)電荷在無界空間中產(chǎn)生的電位滿足方程,（一）無界空間的格林函數(shù) 基本解,8.3 格林函數(shù)的求解,當(dāng)點(diǎn)電荷不在坐標(biāo)原點(diǎn)時( ),三維格林函數(shù)的基本解,1、三維泊松方程的基本解,(點(diǎn)電荷在坐標(biāo)原點(diǎn)),僅當(dāng)點(diǎn)電荷電量 時成立，即：,注意：格林函數(shù)基本解為,（一）無界空間的格林函數(shù) 基本解,8.3 格林函數(shù)的求解,1、三維泊松方程的基本解,當(dāng)電荷電量 時，基本解應(yīng)根據(jù)電量乘以比例系數(shù)。例如：若電荷電量 ，則對應(yīng)的格林函數(shù)基本解為,（二）無界空間的格林函數(shù) 基本解,8.3 格林函數(shù)的求解,2、二維泊松方程的基本解,當(dāng)點(diǎn)電荷位于坐標(biāo)原點(diǎn)( )，則,電量為

8、 的點(diǎn)電荷在無界平面中產(chǎn)生的電位(格林函數(shù)基本解)滿足方程,將方程在極坐標(biāo)系下展開,又因?yàn)?（一）無界空間的格林函數(shù) 基本解,8.3 格林函數(shù)的求解,當(dāng)點(diǎn)電荷不在坐標(biāo)原點(diǎn)時( ),二維格林函數(shù)的基本解,注：當(dāng)電荷電量不為 時，則該基本解應(yīng)根據(jù)實(shí)際電荷電量按比例乘以系數(shù)。,2、二維泊松方程的基本解,點(diǎn)電荷在坐標(biāo)原點(diǎn),（二）利用電像法求格林函數(shù),8.3 格林函數(shù)的求解,1、接地導(dǎo)體球問題的格林函數(shù),由電像法：接地導(dǎo)體球的鏡像電荷電量q及位置d,由電像法：感應(yīng)電荷可由鏡像電荷等效，則球外空間的電位(格林函數(shù))可由點(diǎn)電荷q與鏡像電荷q產(chǎn)生的電位求得。,問題：求解點(diǎn)電荷q位于接地導(dǎo)體球外時的格林函數(shù)。,

9、分析：電荷q將在導(dǎo)體面上激勵器非均勻分布的感應(yīng)電荷，球外電位應(yīng)為點(diǎn)電荷與感應(yīng)電荷共同產(chǎn)生。,（二）利用電像法求格林函數(shù),8.3 格林函數(shù)的求解,1、接地導(dǎo)體球問題的格林函數(shù),q(r0),P,a,q(r0),r,R,R,若原電荷電量為 ，位于r0點(diǎn),則球外任一點(diǎn)的總電勢(格林函數(shù))由點(diǎn)電荷與鏡像電荷電位疊加，為,則像電荷,（二）利用電像法求格林函數(shù),8.3 格林函數(shù)的求解,2、半空間的三維格林函數(shù)(導(dǎo)體分界面),接地導(dǎo)體平面的鏡像電荷電量q及位置d,若原電荷電量為 ，位于h處,像電荷,則上半空間任一點(diǎn)的總電勢(格林函數(shù))為,（二）利用電像法求格林函數(shù),8.3 格林函數(shù)的求解,3、半空間的二維格林

10、函數(shù)(導(dǎo)體分界面),接地導(dǎo)體平面的鏡像線電荷電量 及位置h,若原線電荷密度為 ，位于h處,像電荷,則上半空間任一點(diǎn)的總電勢(格林函數(shù))為,（三）格林函數(shù)的應(yīng)用,8.3 格林函數(shù)的求解,1、求解無界空間達(dá)朗貝爾方程定解問題,相應(yīng)的 格林函數(shù),(1),(2),對(1)(2)式做以下處理：,8.3 格林函數(shù)的求解,0,無 界,由格林函數(shù)基本解，知,當(dāng)點(diǎn)源位于坐標(biāo)原點(diǎn)時，,表示反射波（舍去),（三）格林函數(shù)的應(yīng)用,8.3 格林函數(shù)的求解,以點(diǎn)源為中心，取一半徑a0的小球體，并對方程體積分,(a0),（三）格林函數(shù)的應(yīng)用,8.3 格林函數(shù)的求解,(a0),當(dāng)點(diǎn)源位于 時，,則無界空間中達(dá)朗貝爾方程的解為

11、,（三）格林函數(shù)的應(yīng)用,這相當(dāng)于在點(diǎn) 放置著電量為 的點(diǎn)電荷時，求接地導(dǎo)體平面 上方的電勢。這由電像法求得。,例 在半空間 內(nèi)求解三維拉普拉斯方程邊值問題,解: 本問題為拉普拉斯方程的第一類邊值問題。通過先求第一類邊值問題的Green函數(shù)，則可用積分解公式求解u。,8.3 格林函數(shù)的求解,由前面的討論可知，第一類邊值問題三維格林函數(shù)為：,（三）格林函數(shù)的應(yīng)用,8.3 格林函數(shù)的求解,由電像法，可知上半空間任一點(diǎn) 的電位(即格林函數(shù)),由泊松方程積分解可知，第一類邊值問題解為,0,（三）格林函數(shù)的應(yīng)用,（續(xù)上例）,8.3 格林函數(shù)的求解,做變量代換，即 ，上式變?yōu)?（三）格林函數(shù)的應(yīng)用,這相當(dāng)于在 放置著電荷密度為為 的無限長線電荷時，求接地導(dǎo)體平面 上方的電勢。這由電像法求得。,例 在半平面 內(nèi)求解二維拉普拉斯方程邊值問題,解: 本問題為拉普拉斯方程的第一類邊值問題。通過先求第一類邊值問題的Green函數(shù)，則可用積分解公式求解u。,8.3 格林函數(shù)的求解,由前面的討論可知，第一類邊值問題二維格林函數(shù)為：,（三）格林函數(shù)的應(yīng)用,8.