3.5 矩陣的等價和等價標(biāo)準(zhǔn)形.ppt_第1頁
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文檔簡介

1、線 性 代 數(shù) 張保田,復(fù) 習(xí),內(nèi) 容,3.5 矩陣的等價和等價標(biāo)準(zhǔn)形,1. 矩陣的秩,定義2 設(shè)A為mn矩陣，如果A中至少有一 個r 階子式不等于零，而所有r+1 階子式(如果 存在r +1階子式時)都等于零，則稱 r 為矩陣A 的秩，記為:r(A)或R(A)或秩(A)。,規(guī)定：零矩陣的秩為0。,矩陣A中不為零的子式的最大階數(shù)稱為矩陣A的秩?？傻葍r定義為：,定理1 初等變化不改變矩陣的秩。,定理2 矩陣乘可逆矩陣，其秩不變。,2. 定理2.1.2 設(shè)矩陣A=aijmn 為非零矩陣，則通過初等行變換和列互換一定可把A化為約化階梯形矩陣,對矩陣A繼續(xù)進(jìn)行列變換一定可把A化為：,一、 矩陣的等價,

2、定義3.5.1 若矩陣A經(jīng)過有限次初等變換化成矩陣B，則稱矩陣A與B等價（或相抵），記為AB。,例如，,因?yàn)槿我粋€秩為r的矩陣A等價于,稱此矩陣為矩陣A的等價標(biāo)準(zhǔn)形。,1.等價矩陣的概念,性質(zhì)3.5.1 任意一個矩陣秩為r的矩陣A，經(jīng)過有限次初等變換, 可以化為下列標(biāo)準(zhǔn)形矩陣：,2.等價矩陣的性質(zhì),定理3.5.1 設(shè)A，B均為mn階矩陣，則下述 條件中每一個都是A與B等價的充要條件：,（1）存在m階可逆陣P和n階可逆陣Q，使得,（2）秩(A)=秩(B).,證明: (1) 定理3.4.1及推論；,(2) 必要性：初等變換不改變矩陣的秩；,充分性：由秩(A)=秩(B)知道：,于是，存在可逆矩陣，使

3、,定理3.5.2 秩(AB) 秩(A),秩(AB) 秩(B) .,證明：略（由向量可證）。,矩陣的秩還有如下性質(zhì)：,(1) 秩(A+B) 秩(A)+秩(B);,(2) 設(shè)A為mn階矩陣，B為ns階矩陣, 則,秩(A)+秩(B) n秩(AB) min秩(A),秩(B),(3) 設(shè)A為mn階矩陣，B為ns階矩陣, 且 AB=0，則秩(A)+秩(B) n;,(4) 設(shè)A、B、C為同階階方陣, 則 秩(AB)+秩(BC) 秩(B)+秩(ABC) ;,(5),證1:,證2:,證3:,例3.5.1 設(shè)n1,解: 因?yàn)?求: 秩(AB),秩(A)=1, 秩(B)=1.,于是，秩(AB) 1；,又因?yàn)?AB0，,可知秩(AB) 1 ;,所以，秩(AB) =1 。,而AB

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