電路分析A-第7章1syl資料.ppt

1、7 正弦穩(wěn)態(tài)分析,71 正弦量 72 正弦量的相量表示法 73 正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量模型 74 阻抗和導(dǎo)納 75 正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量分析法 76 正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率 77 三相電路 78 非正弦周期電路的穩(wěn)態(tài)分析,周期信號：,T：周期,即信號重復(fù)出現(xiàn)時所經(jīng)過的最短時間間隔。單位：s。,當(dāng)變化的信號經(jīng)過相同的時間間隔，瞬時值以同樣的值和時序重復(fù)出現(xiàn)，稱為周期信號。,周期信號的平均值：周期信號在一個周期內(nèi)的平均數(shù)值。,數(shù)學(xué)表達式為：,正弦信號：,信號隨時間按正弦規(guī)律周期性變化。,周期信號按變化規(guī)律分為：,正弦交流信號：,平均值為0的周期信號稱為交流信號。,如交流信號按正弦規(guī)律變化，稱為正弦交流信號。

2、,工頻：電力系統(tǒng)采用的交流電頻率，標(biāo)準(zhǔn) 頻率。,正弦信號和非正弦信號,本章研究線性動態(tài)電路在正弦電源激勵下的響應(yīng)。,正弦穩(wěn)態(tài)電路：,在線性時不變電路中，在正弦信號激勵下，各響應(yīng)皆與激勵按同頻率的正弦規(guī)律變化，稱電路為處于正弦穩(wěn)態(tài)。,71 正 弦 量,正弦量：按正弦規(guī)律隨時間變化的物理量。,7-1-1 正弦量的三要素,取定參考方向和初始時刻下，正弦量瞬時值的函數(shù)式定義為：,稱為正弦量的三要素，唯一地確定一正弦量。,振幅Fm：整個變化過程所能達到的最大值；,初相：正弦量在起始時刻的相位角，反映了正弦量的初始值，定義為：,T周期；秒（s）,定義為完成一個循環(huán)所需的時間。,波形圖表示如下（以電流為例）

3、：,(a) 0 (b) =0 (c) 0,T=1 / f,例1 已知正弦電壓的振幅為10伏，周期為100ms，初相為/6。試寫出正弦電壓的函數(shù)表達式和畫出波形圖。,函數(shù)表達式為,解：角頻率,例2(書例7-1)試求正弦量 的振幅Fm、初相與頻率f 。,解：將正弦量表達式化為標(biāo)準(zhǔn)形式：,Fm =10， = /3rad, =100rad/s, f =/2=50Hz,由波形圖確定正弦量的初相：,正弦量的波形上距原點最近的正峰值點 與原點間的距離即為正弦量的初相。,如從該點到原點的走向與時間軸方向一致，則初相為正值；否則，為負值。,(a) 0 (b) =0 (c) 0,正弦穩(wěn)態(tài)電路中，各電壓電流都是頻率

4、相同的正弦量，常常需要將這些正弦量的相位進行比較。,電流i1(t)與i2(t)間的相位差為,7-1-2 正弦量間的相位差,兩個正弦量的相位之差，稱為相位差。,如兩個同頻率的正弦電流：,相位差是衡量兩個正弦信號在時間上的超前或滯后關(guān)系的依據(jù)：,上式表明：,兩個同頻率正弦量在任意時刻的相位差等于它們初相之差，與時間t無關(guān)。,當(dāng)=1-20時，表明i1(t)超前i2(t)，超前的角度為 。,當(dāng)=1-20時，表明i1(t)滯后i2(t)，滯后的角度為|。,(a) 電流i1超前于電流i2,(b) 電流i1滯后于電流i2,當(dāng)=1-2 =0時， i1(t)與i2(t)同相；,當(dāng)=1-2 =時， i1(t)與i

5、2(t)反相；,當(dāng)=1-2 =/2時， i1(t)與i2(t)正交。,(c) 同相 (d) 正交 (e) 反相,注意：,是時間t的函數(shù)，不再等于初相之差。,頻率不同的兩個正弦間的相位差為:,例3 已知正弦電壓u(t)和電流i1(t), i2(t)的表達式為,試求: u(t)與i1(t)和i2(t)的相位差。,u(t)與i2(t)的相位差為,解： u(t)與i1(t)的相位差為,習(xí)慣上將相位差的范圍控制在-180到+180之間。,如：我們不說電壓u(t)與電流i2(t)的相位差為-240 ，而說電壓u(t)與電流i2(t)的相位差為(360- 240) =120, 即：u(t)超前于i2(t)

6、120 。,u(t)與i2(t)的相位差為,周期信號：,隨時間按一定規(guī)律作周期性變化的物理量。,在工程技術(shù)上，用有效值表示周期信號的大小。,“有效”的含義是指與直流信號相比在作功上的等效。,將直流電流I和正弦電流i(t)通過電阻R時的功率和能量作一比較，導(dǎo)出正弦電壓電流的有效值：,7-1-3 正弦量的有效值,電阻R通過直流電流I時，,吸收的功率：P=I2R,周期T內(nèi)獲得的能量：W=PT=I2RT,電阻R通過周期電流信號i(t)時，,當(dāng)直流電流I和周期電流i(t)通過同一電阻R時，假設(shè)它們在一個周期的時間內(nèi)獲得相同的能量，即,吸收的功率：p(t)= i2(t)R，時間的函數(shù);,一個周期T內(nèi)獲得的

7、能量為,由此解得,即，瞬時值的平方在一個周期內(nèi)的平均值再開方，為有效值，又稱為電流i(t)的方均根值。,有效值的定義：,周期信號通過一線性時不變電阻R時在一個周期內(nèi)消耗的能量，與一直流信號通過同一電阻時在相同的時間內(nèi)消耗的能量相等，則稱此直流信號的數(shù)值為該周期信號的有效值。,正弦電流i(t) =Imcos(t+)的有效值(方均根值):,正弦電壓u(t)=Umcos(t+)的有效值為,結(jié)果表明：,振幅為Im的正弦電流與數(shù)值為I=0.707Im的直流電流，在一個周期內(nèi)，對電阻R提供相同的能量。,也就是說正弦電壓電流的有效值為振幅值的0.707倍，或者說正弦電壓電流的振幅是其有效值的 倍。,注意：工

8、程上所說的周期信號的量值，如 無特殊說明，通常是指有效值。,對于半波整流波形，其表達式 ：,可得：半波整流波形的有效值是振幅值的0.5倍。,由此可見：,(1)正弦量的有效值只與振幅值有關(guān)，與角頻率和初相無關(guān)；,(2)非正弦周期量的有效值沒有上述關(guān)系，需要單獨計算。,正弦電路穩(wěn)態(tài)分析，就是要找出正弦穩(wěn)態(tài)電路的變化規(guī)律，即描述正弦穩(wěn)態(tài)電路的常系數(shù)微分方程的解。,其完全解由兩部分構(gòu)成：,一部分對應(yīng)齊次方程的通解，它只與電路結(jié)構(gòu)和元件參數(shù)有關(guān)，與激勵無關(guān)。,另一部分對應(yīng)非齊次方程的特解，它取決于激勵。,簡單的方法：相量法。,相量：用復(fù)平面(二維空間)中的復(fù)常數(shù)表示正弦量的振幅（有效值）和初相。,7-2

9、 正弦量的相量表示法,復(fù)數(shù)：,其中：、為實數(shù); 稱為實部，稱為虛部； 是虛數(shù)單位。,相量圖：,為了形象描述各個相量(表示正弦量)之間的相位關(guān)系，把一些相量畫在同一張復(fù)平面內(nèi)。,參考相量：上圖中假設(shè)為零相位的相量。,是一個直角坐標(biāo)平面，橫坐標(biāo)表示實數(shù)軸，縱坐標(biāo)表示虛數(shù)軸。,復(fù)平面：,復(fù)數(shù)的幾種表示形式：,直角坐標(biāo)形式：A=a1+ja2,三角形式： A =a(cos +jsin),指數(shù)形式： A =aej,極坐標(biāo)形式： A =a,a1=acos a2=asin,形式間的轉(zhuǎn)換關(guān)系：,分析正弦穩(wěn)態(tài)的有效方法是相量法(Phasor method)，其基礎(chǔ)是用相量（向量）或復(fù)數(shù)來表示正弦量的振幅和初相。,

10、稱為：f (t)的振幅相量,正弦量的相量表示,有效值相量,或完全能表示正弦穩(wěn)態(tài)電路中的正弦量。,正弦量f(t)是以角速度沿反時針方向旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)相量 在實軸投影。即：,正弦量與其相量的對應(yīng)關(guān)系：,正弦量在任何時刻的瞬時值等于對應(yīng)旋轉(zhuǎn)相量同一時刻在實軸上投影。,一個按正弦規(guī)律變化的電壓和電流，可以用一個相量(復(fù)常數(shù))來表示：,已知正弦量的時間表達式，可得相應(yīng)的相量（相量表達式）；,已知電壓電流相量，加上角頻率，就能寫出正弦電壓電流的時間表達式(兩者存在一一對應(yīng)關(guān)系)，即 ：,或：,顯然，有,一般地：,可以任意選用振幅相量或有效值相量來表示同一個正弦量；但選用有效值相量更為普遍些。,在沒有特指的情況

11、下，指的是有效值相量。,注意：,相量表示不涉及角頻率，故還要給出角頻率。,(2) 相量與正弦量之間，只是一種對應(yīng)關(guān)系，不是直接相等。,(3) 同一個電路的分析中，只能選用一種系統(tǒng)。,正弦量的相量表示法,例4 已知電流i1(t)=5cos(314t+60)A , i2(t)=-10sin(314t+60)A。寫出它們的相量，畫出相量圖，并求i(t)=i1(t)+ i2(t) 。,解：,方法一：可直接用三角函數(shù)兩角和的關(guān)系進行運算；,方法二：用相量法進行運算：,可得電流的表達式為,同頻率的正弦量相加減，其結(jié)果仍是一 頻率相同的正弦量。,相量圖如圖所示。,相量圖的另一個好處是可以用向量和復(fù)數(shù)的運算法

12、則求同頻率正弦電壓或電流之和：平行四邊形法則。,從相量圖容易看出各正弦電壓電流的相位關(guān)系：,i2(t)超前于 i1(t) 90。,相量的運算：,(1)加減：實部與實部相加減，虛部與虛部相 加減。,(2) 乘除法：通常用指數(shù)形式或極坐標(biāo)形式， 模相乘/除，輻角相加/減。,(3) 微分：正弦量對時間取導(dǎo)數(shù)，相當(dāng)于對應(yīng) 相量乘以的運算。,(4) 積分：正弦量對時間取積分，相當(dāng)于對應(yīng) 相量乘以 的運算。,73 正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量模型,電路中全部電流都具有同一頻率，則可用振幅相量或有效值相量表示：,7-3-1 基爾霍夫定律的相量形式,KCL:,代入KCL中得:,相量形式的KCL定律：,對于具有相同頻率的

13、正弦電路中的任一節(jié)點和封閉面，流出該節(jié)點和封閉面的全部支路電流相量的代數(shù)和等于零。,1 流出節(jié)點的電流取+號，流入節(jié)點的電流取-號。,注 意 ：,2 流出任一節(jié)點的全部支路電流振幅值 (有效值)的代數(shù)和并不一定等于零。即,一般情況下:,解：根據(jù)圖(a)電路的時域模型，得圖(b)所示的相量模型將時域模型中各電流符號用相應(yīng)的相量符號表示。,有效值相量,列出相量模型圖中節(jié)點1的KCL方程：,由此可得,相量圖如右圖所示，用來檢驗復(fù)數(shù)計算的結(jié)果是否基本正確。,KVL:,相量形式的KVL定律：,相量形式：,對于具有相同頻率的正弦電流電路中的任一回路，沿該回路全部支路電壓相量的代數(shù)和等于零。,1 與回路繞行

14、方向相同的電壓取+號，相反的電壓取-號。,注意,2 沿任一回路全部支路電壓振幅值(有效值)的代數(shù)和并不一定等于零，即一般來說：,例6 求uS(t)和相應(yīng)的相量，并畫出相量圖。已知,解：根據(jù)電路的時域模型，畫出其相量模型圖,并計算出電壓相量。,在相量圖中，列出的相量形式KVL方程；,由相量得時間表達式；,各相量的關(guān)系如右圖,1 電阻元件伏安關(guān)系的相量形式,當(dāng)電流i(t)=Imcos(t+i)時，電阻上電壓電流關(guān)系：,關(guān)聯(lián)方向下，電壓和電流是同頻率的正弦時間函數(shù)，其振幅或有效值之間服從歐姆定律，且相位差為零(同相)，即,7-3-2 電路元件伏安關(guān)系的相量形式,電阻伏安關(guān)系時域形式：,關(guān)聯(lián)參考方向下

15、電阻伏安關(guān)系的相量形式為,這是復(fù)數(shù)方程，同時提供振幅之間和相位之間的兩個關(guān)系，即：,(1) U=RI (2) u =i,電阻元件的時域模型及反映電壓電流關(guān)系的波形如下圖示：,可見：在任一時刻，電壓的瞬時值是電流的R倍，電壓與電流同相位。,相量模型如圖(a)所示，反映電壓電流相量關(guān)系的相量圖如圖(b)所示，由此可看出電阻的電壓與電流的相位相同。,正弦穩(wěn)態(tài)電路中，關(guān)聯(lián)方向下電阻上的電壓和電流是同頻同相的正弦量，且它們的有效值或振幅之間服從歐姆定律。,2 電容元件伏安關(guān)系的相量形式,當(dāng)u(t)=Umcos(t+u )時,關(guān)聯(lián)方向下，電容的電壓和電流是同頻率的正弦量，它們振幅或有效值以及相位間的關(guān)系為

16、：,電容電壓電流關(guān)系為,電容元件的時域模型如圖(a)所示，電壓電流的波形圖如圖(b)所示。,由此可看出電容電流超前于電容電壓90,關(guān)聯(lián)參考方向下電容元件電壓和電流的相量形式：,這個復(fù)數(shù)方程包含振幅間與幅角間的關(guān)系。,或,3 電感元件伏安關(guān)系的相量形式,當(dāng) i(t)=Imcos(t+i) 時,關(guān)聯(lián)方向下電感的電壓和電流是同頻率的正弦量，它們振幅或有效值以及相位間的關(guān)系為：,電感伏安關(guān)系的時域形式：,伏安關(guān)系的波形如圖(b)。,電感元件的時域模型如圖(a)所示,可看出電感電壓超前于電流90，當(dāng)電感電流由負值增加經(jīng)過零點時，其電壓達到正最大值。,關(guān)聯(lián)參考方向下電感元件電壓和電流的相量關(guān)系式：,電感元

17、件的相量模型如圖(a)，伏安相量關(guān)系圖如圖(b)所示。,KCL、KVL和元件VCR的時域和相量形式：,例7 圖示電路，已知,求:u1(t), u2(t), u(t)的有效值相量。,解：相量模型如圖(b);,根據(jù)相量形式的KCL求電流相量,由相量形式的VCR，得：,根據(jù)相量形式的KVL，得到:,時域表達式:,串聯(lián)電路畫相量圖時選電流為參考相量；,解:相量模型如圖(b);,電壓源相量:,相量形式的KCL，得到,根據(jù)RLC元件相量形式的VCR方程求電流：,時域表達式：,相量圖如圖(c)所示：,并聯(lián)電路畫相量圖時選電壓為參考相量；,一、R、L、C元件VCR的相量關(guān)系如下：,7-4 阻抗與導(dǎo)納,電阻 容

18、抗 感抗,電流、電壓是同頻率的正弦量，且參考方向關(guān)聯(lián)，VCR為：,(與無關(guān)) (與成反比) (與成正比),電壓相量與電流相量之比,一無源二端網(wǎng)絡(luò)N0,電流相量與電壓相量之比,在關(guān)聯(lián)參考方向下：,阻抗,導(dǎo)納,顯然有：,單位： ,單位： S,R、L、C元件電壓與電流相量間的關(guān)系類似歐姆定律：,電壓與電流相量之比是一個與時間無關(guān)的量,只與角頻率有關(guān)；,在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，任意一個無源二端 網(wǎng)絡(luò)的相量模型可等效為一個阻抗或?qū)Ъ{。,歐姆定律的相量形式：,R、C、L元件的阻抗如下：,稱為電阻,稱為感抗,稱為容抗,R、C、L元件的阻抗是一個與時間無關(guān)的量，且是一個復(fù)數(shù)。單位：,G、C、L元件的導(dǎo)納如下：,G、

19、C、L元件的導(dǎo)納是一個與時間無關(guān)的量，是一個復(fù)數(shù)。單位：S,實部R稱為電阻分量，虛部X稱為電抗分量，Z= v-i稱為阻抗角，阻抗的模 |Z| = U/I,一般情況：,阻抗三角形,阻抗是復(fù)數(shù)，,當(dāng)X0時：Z0，端口電壓超前電流，網(wǎng)絡(luò)呈感性，電抗元件可等效為一個電感；,當(dāng)X0時：Z0，端口電流超前電壓，網(wǎng)絡(luò)呈容性，電抗元件可等效為一個電容；,當(dāng)X =0時：Z=0，端口電壓與電流同 相，網(wǎng)絡(luò)呈電阻性，可等效為一個電阻。,任意一個無源二端網(wǎng)絡(luò)，總是可用一個 電阻元件和一個電抗元件的串聯(lián)電路等效：,實部G稱為電導(dǎo)分量，虛部B稱為電納分量，導(dǎo)納角 Y= i-u=-Z。,導(dǎo)納三角形,一般情況：,導(dǎo)納是復(fù)數(shù)，

20、,當(dāng)B0時：Y0，端口電流超前電壓，網(wǎng)絡(luò)呈容性，電納元件可等效為一個電容；,當(dāng)B0時：Y0，端口電壓超前電流，網(wǎng)絡(luò)呈感性，電納元件可等效為一個電感；,當(dāng)B =0時：Y=0，端口電壓與電流同相，網(wǎng)絡(luò)呈電阻性，可等效為一個電阻。,無源二端網(wǎng)絡(luò)總是可用一個電導(dǎo)元件 和一個電納元件的并聯(lián)電路等效：,無源網(wǎng)絡(luò)相量模型的兩種等效電路：,一種是根據(jù)阻抗Z=R+jX得到的電阻R與電抗jX串聯(lián)電路，如圖(c)；,另一種是根據(jù)導(dǎo)納Y=G+jB得到的電導(dǎo)G與電納jB的并聯(lián)，如圖(e)。,一般情況下，阻抗Z和導(dǎo)納Y都是角頻率 的函數(shù)，即：,注意：,隨著 的變化，電路的性質(zhì)和等效電路中的元件參數(shù)都會隨之改變。,只有在一

21、個特定的角頻率下，正弦穩(wěn)態(tài)電路才有一個確定的等效電路。,阻抗Z和導(dǎo)納Y不是相量。,注意: 一般情況下：,若已知阻抗，則等效導(dǎo)納為：,若已知導(dǎo)納，則等效阻抗為：,n個阻抗串聯(lián)，等效阻抗為：,電流與端口電壓相量的關(guān)系為,阻抗串、并聯(lián)的等效阻抗和等效導(dǎo)納,1、阻抗串聯(lián),第k個阻抗上的電壓相量與端口電壓相量的關(guān)系為：,稱為n個阻抗串聯(lián)時的分壓公式。,注意：正弦穩(wěn)態(tài)電路中，部分或全部串聯(lián)阻抗上的電壓有效可能大于總電壓的有效值。,2、導(dǎo)納并聯(lián),n個導(dǎo)納并聯(lián)組成的單口網(wǎng)絡(luò)，就端口特性來說，等效于一個導(dǎo)納，其等效導(dǎo)納值等于各并聯(lián)導(dǎo)納之和，即,電壓與其端口電流相量的關(guān)系為：,第k個導(dǎo)納中的電流與端口電流相量的關(guān)

22、系為,這是導(dǎo)納并聯(lián)時的分流公式。,注意：正弦穩(wěn)態(tài)電路中，部分或全部并聯(lián)導(dǎo)納上的電流有效值可大于總電流的有效值。,例9 求圖(a)網(wǎng)絡(luò)在=1rad/s和=2rad/s時的等效阻抗和等效電路。,解:(1)建立時的相量模型；,(2)求出 =1rad/s等效阻抗：,同理求出=2rad/s時的等效阻抗:,1/3F,(3) 求等效電路:先用等效阻抗替代二端網(wǎng)絡(luò)，再轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的時域模型。,例10 試求等效阻抗和相應(yīng)的等效電路。,解:1)相量模型如圖(b)。,設(shè)在端口加電壓源，用相量形式KVL方程求電壓相量,2)求等效阻抗：,等效阻抗為,3)給出等效電路：,0.06H,3 分析RLC串聯(lián)電路,相量模型如圖(b

23、)所示。等效阻抗,阻抗的電阻為電路的電阻R，阻抗的電抗為感抗與容抗之差。,當(dāng)X=XL-XC0時，Z0，電壓超前于電流，電路呈感性，等效為R串聯(lián)電感；,當(dāng)X=XL-XC 0時，Z0，電流超前于電壓，電路呈容性，等效為R串聯(lián)電容；,當(dāng)X=XL-XC =0時，Z=0，電壓與電流同相，電路呈電阻性，等效為R。,、和 構(gòu)成電壓三角形：,例11 u(t)=10cos2tV。試求i(t), uR(t), uL(t), uC(t)。,解：相量模型如圖(b)所示。,相量電流,等效阻抗：,RLC元件上的電壓相量,各量的時域表達式：,各電壓電流的相量圖如圖(c)所示。端口電壓u(t)的相位超前于端口電流i(t) 的

24、相位45，該RLC串聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的端口特性等效于一個電阻與電感的串聯(lián)，即有電感性。,4 分析GCL并聯(lián)電路,相量模型如圖(b)所示。,等效導(dǎo)納:,其電導(dǎo)為電路的電導(dǎo)G，電納為容納與感納之差，。,當(dāng)B=BC-BL0時，Y0，電流超前于電壓，電路呈容性，等效為G并聯(lián)電容 ；,當(dāng)B=BC-BL0時，Y0，電壓超前于電流，電路呈感性，等效為G并聯(lián)電感；,當(dāng)B=BC-BL=0時，Y=0，電壓與電流同相，電路呈電阻性，等效為G 。,電流三角形：,例12 求:u(t),iR(t),iL(t),iC(t)。已知:,解：相量模型如圖(b)。,求相量電壓：,等效導(dǎo)納：,各電流相量：,時域表達式：,從中看出各電壓電流的相量關(guān)系：如端口電流的相位超前于端口電壓相位36.9，RLC并聯(lián)單口網(wǎng)絡(luò)的端口特性等效于一個電阻與電容的并聯(lián)，該單口網(wǎng)絡(luò)具有電容性,相量圖如圖(c)所示：,75 正弦穩(wěn)態(tài)的相量分析,電路分析的基本依據(jù)KVL、KCL和元 件的VCR，以及電阻電路中的各種分析 法、等效變換和定理，都可推廣到正弦 穩(wěn)態(tài)電路的分析；,但要用電路的相量模型代替電路的時 域