電路分析A-第7章1syl資料.ppt

1、7 正弦穩(wěn)態(tài)分析,71 正弦量 72 正弦量的相量表示法 73 正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量模型 74 阻抗和導納 75 正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量分析法 76 正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率 77 三相電路 78 非正弦周期電路的穩(wěn)態(tài)分析,周期信號：,T：周期,即信號重復出現時所經過的最短時間間隔。單位：s。,當變化的信號經過相同的時間間隔，瞬時值以同樣的值和時序重復出現，稱為周期信號。,周期信號的平均值：周期信號在一個周期內的平均數值。,數學表達式為：,正弦信號：,信號隨時間按正弦規(guī)律周期性變化。,周期信號按變化規(guī)律分為：,正弦交流信號：,平均值為0的周期信號稱為交流信號。,如交流信號按正弦規(guī)律變化，稱為正弦交流信號。

2、,工頻：電力系統(tǒng)采用的交流電頻率，標準 頻率。,正弦信號和非正弦信號,本章研究線性動態(tài)電路在正弦電源激勵下的響應。,正弦穩(wěn)態(tài)電路：,在線性時不變電路中，在正弦信號激勵下，各響應皆與激勵按同頻率的正弦規(guī)律變化，稱電路為處于正弦穩(wěn)態(tài)。,71 正 弦 量,正弦量：按正弦規(guī)律隨時間變化的物理量。,7-1-1 正弦量的三要素,取定參考方向和初始時刻下，正弦量瞬時值的函數式定義為：,稱為正弦量的三要素，唯一地確定一正弦量。,振幅Fm：整個變化過程所能達到的最大值；,初相：正弦量在起始時刻的相位角，反映了正弦量的初始值，定義為：,T周期；秒（s）,定義為完成一個循環(huán)所需的時間。,波形圖表示如下（以電流為例）

3、：,(a) 0 (b) =0 (c) 0,T=1 / f,例1 已知正弦電壓的振幅為10伏，周期為100ms，初相為/6。試寫出正弦電壓的函數表達式和畫出波形圖。,函數表達式為,解：角頻率,例2(書例7-1)試求正弦量 的振幅Fm、初相與頻率f 。,解：將正弦量表達式化為標準形式：,Fm =10， = /3rad, =100rad/s, f =/2=50Hz,由波形圖確定正弦量的初相：,正弦量的波形上距原點最近的正峰值點 與原點間的距離即為正弦量的初相。,如從該點到原點的走向與時間軸方向一致，則初相為正值；否則，為負值。,(a) 0 (b) =0 (c) 0,正弦穩(wěn)態(tài)電路中，各電壓電流都是頻率

4、相同的正弦量，常常需要將這些正弦量的相位進行比較。,電流i1(t)與i2(t)間的相位差為,7-1-2 正弦量間的相位差,兩個正弦量的相位之差，稱為相位差。,如兩個同頻率的正弦電流：,相位差是衡量兩個正弦信號在時間上的超前或滯后關系的依據：,上式表明：,兩個同頻率正弦量在任意時刻的相位差等于它們初相之差，與時間t無關。,當=1-20時，表明i1(t)超前i2(t)，超前的角度為 。,當=1-20時，表明i1(t)滯后i2(t)，滯后的角度為|。,(a) 電流i1超前于電流i2,(b) 電流i1滯后于電流i2,當=1-2 =0時， i1(t)與i2(t)同相；,當=1-2 =時， i1(t)與i

5、2(t)反相；,當=1-2 =/2時， i1(t)與i2(t)正交。,(c) 同相 (d) 正交 (e) 反相,注意：,是時間t的函數，不再等于初相之差。,頻率不同的兩個正弦間的相位差為:,例3 已知正弦電壓u(t)和電流i1(t), i2(t)的表達式為,試求: u(t)與i1(t)和i2(t)的相位差。,u(t)與i2(t)的相位差為,解： u(t)與i1(t)的相位差為,習慣上將相位差的范圍控制在-180到+180之間。,如：我們不說電壓u(t)與電流i2(t)的相位差為-240 ，而說電壓u(t)與電流i2(t)的相位差為(360- 240) =120, 即：u(t)超前于i2(t)

6、120 。,u(t)與i2(t)的相位差為,周期信號：,隨時間按一定規(guī)律作周期性變化的物理量。,在工程技術上，用有效值表示周期信號的大小。,“有效”的含義是指與直流信號相比在作功上的等效。,將直流電流I和正弦電流i(t)通過電阻R時的功率和能量作一比較，導出正弦電壓電流的有效值：,7-1-3 正弦量的有效值,電阻R通過直流電流I時，,吸收的功率：P=I2R,周期T內獲得的能量：W=PT=I2RT,電阻R通過周期電流信號i(t)時，,當直流電流I和周期電流i(t)通過同一電阻R時，假設它們在一個周期的時間內獲得相同的能量，即,吸收的功率：p(t)= i2(t)R，時間的函數;,一個周期T內獲得的

7、能量為,由此解得,即，瞬時值的平方在一個周期內的平均值再開方，為有效值，又稱為電流i(t)的方均根值。,有效值的定義：,周期信號通過一線性時不變電阻R時在一個周期內消耗的能量，與一直流信號通過同一電阻時在相同的時間內消耗的能量相等，則稱此直流信號的數值為該周期信號的有效值。,正弦電流i(t) =Imcos(t+)的有效值(方均根值):,正弦電壓u(t)=Umcos(t+)的有效值為,結果表明：,振幅為Im的正弦電流與數值為I=0.707Im的直流電流，在一個周期內，對電阻R提供相同的能量。,也就是說正弦電壓電流的有效值為振幅值的0.707倍，或者說正弦電壓電流的振幅是其有效值的 倍。,注意：工

8、程上所說的周期信號的量值，如 無特殊說明，通常是指有效值。,對于半波整流波形，其表達式 ：,可得：半波整流波形的有效值是振幅值的0.5倍。,由此可見：,(1)正弦量的有效值只與振幅值有關，與角頻率和初相無關；,(2)非正弦周期量的有效值沒有上述關系，需要單獨計算。,正弦電路穩(wěn)態(tài)分析，就是要找出正弦穩(wěn)態(tài)電路的變化規(guī)律，即描述正弦穩(wěn)態(tài)電路的常系數微分方程的解。,其完全解由兩部分構成：,一部分對應齊次方程的通解，它只與電路結構和元件參數有關，與激勵無關。,另一部分對應非齊次方程的特解，它取決于激勵。,簡單的方法：相量法。,相量：用復平面(二維空間)中的復常數表示正弦量的振幅（有效值）和初相。,7-2

9、 正弦量的相量表示法,復數：,其中：、為實數; 稱為實部，稱為虛部； 是虛數單位。,相量圖：,為了形象描述各個相量(表示正弦量)之間的相位關系，把一些相量畫在同一張復平面內。,參考相量：上圖中假設為零相位的相量。,是一個直角坐標平面，橫坐標表示實數軸，縱坐標表示虛數軸。,復平面：,復數的幾種表示形式：,直角坐標形式：A=a1+ja2,三角形式： A =a(cos +jsin),指數形式： A =aej,極坐標形式： A =a,a1=acos a2=asin,形式間的轉換關系：,分析正弦穩(wěn)態(tài)的有效方法是相量法(Phasor method)，其基礎是用相量（向量）或復數來表示正弦量的振幅和初相。,

10、稱為：f (t)的振幅相量,正弦量的相量表示,有效值相量,或完全能表示正弦穩(wěn)態(tài)電路中的正弦量。,正弦量f(t)是以角速度沿反時針方向旋轉的旋轉相量 在實軸投影。即：,正弦量與其相量的對應關系：,正弦量在任何時刻的瞬時值等于對應旋轉相量同一時刻在實軸上投影。,一個按正弦規(guī)律變化的電壓和電流，可以用一個相量(復常數)來表示：,已知正弦量的時間表達式，可得相應的相量（相量表達式）；,已知電壓電流相量，加上角頻率，就能寫出正弦電壓電流的時間表達式(兩者存在一一對應關系)，即 ：,或：,顯然，有,一般地：,可以任意選用振幅相量或有效值相量來表示同一個正弦量；但選用有效值相量更為普遍些。,在沒有特指的情況

11、下，指的是有效值相量。,注意：,相量表示不涉及角頻率，故還要給出角頻率。,(2) 相量與正弦量之間，只是一種對應關系，不是直接相等。,(3) 同一個電路的分析中，只能選用一種系統(tǒng)。,正弦量的相量表示法,例4 已知電流i1(t)=5cos(314t+60)A , i2(t)=-10sin(314t+60)A。寫出它們的相量，畫出相量圖，并求i(t)=i1(t)+ i2(t) 。,解：,方法一：可直接用三角函數兩角和的關系進行運算；,方法二：用相量法進行運算：,可得電流的表達式為,同頻率的正弦量相加減，其結果仍是一 頻率相同的正弦量。,相量圖如圖所示。,相量圖的另一個好處是可以用向量和復數的運算法

12、則求同頻率正弦電壓或電流之和：平行四邊形法則。,從相量圖容易看出各正弦電壓電流的相位關系：,i2(t)超前于 i1(t) 90。,相量的運算：,(1)加減：實部與實部相加減，虛部與虛部相 加減。,(2) 乘除法：通常用指數形式或極坐標形式， 模相乘/除，輻角相加/減。,(3) 微分：正弦量對時間取導數，相當于對應 相量乘以的運算。,(4) 積分：正弦量對時間取積分，相當于對應 相量乘以 的運算。,73 正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量模型,電路中全部電流都具有同一頻率，則可用振幅相量或有效值相量表示：,7-3-1 基爾霍夫定律的相量形式,KCL:,代入KCL中得:,相量形式的KCL定律：,對于具有相同頻率的

13、正弦電路中的任一節(jié)點和封閉面，流出該節(jié)點和封閉面的全部支路電流相量的代數和等于零。,1 流出節(jié)點的電流取+號，流入節(jié)點的電流取-號。,注 意 ：,2 流出任一節(jié)點的全部支路電流振幅值 (有效值)的代數和并不一定等于零。即,一般情況下:,解：根據圖(a)電路的時域模型，得圖(b)所示的相量模型將時域模型中各電流符號用相應的相量符號表示。,有效值相量,列出相量模型圖中節(jié)點1的KCL方程：,由此可得,相量圖如右圖所示，用來檢驗復數計算的結果是否基本正確。,KVL:,相量形式的KVL定律：,相量形式：,對于具有相同頻率的正弦電流電路中的任一回路，沿該回路全部支路電壓相量的代數和等于零。,1 與回路繞行

14、方向相同的電壓取+號，相反的電壓取-號。,注意,2 沿任一回路全部支路電壓振幅值(有效值)的代數和并不一定等于零，即一般來說：,例6 求uS(t)和相應的相量，并畫出相量圖。已知,解：根據電路的時域模型，畫出其相量模型圖,并計算出電壓相量。,在相量圖中，列出的相量形式KVL方程；,由相量得時間表達式；,各相量的關系如右圖,1 電阻元件伏安關系的相量形式,當電流i(t)=Imcos(t+i)時，電阻上電壓電流關系：,關聯方向下，電壓和電流是同頻率的正弦時間函數，其振幅或有效值之間服從歐姆定律，且相位差為零(同相)，即,7-3-2 電路元件伏安關系的相量形式,電阻伏安關系時域形式：,關聯參考方向下

15、電阻伏安關系的相量形式為,這是復數方程，同時提供振幅之間和相位之間的兩個關系，即：,(1) U=RI (2) u =i,電阻元件的時域模型及反映電壓電流關系的波形如下圖示：,可見：在任一時刻，電壓的瞬時值是電流的R倍，電壓與電流同相位。,相量模型如圖(a)所示，反映電壓電流相量關系的相量圖如圖(b)所示，由此可看出電阻的電壓與電流的相位相同。,正弦穩(wěn)態(tài)電路中，關聯方向下電阻上的電壓和電流是同頻同相的正弦量，且它們的有效值或振幅之間服從歐姆定律。,2 電容元件伏安關系的相量形式,當u(t)=Umcos(t+u )時,關聯方向下，電容的電壓和電流是同頻率的正弦量，它們振幅或有效值以及相位間的關系為

16、：,電容電壓電流關系為,電容元件的時域模型如圖(a)所示，電壓電流的波形圖如圖(b)所示。,由此可看出電容電流超前于電容電壓90,關聯參考方向下電容元件電壓和電流的相量形式：,這個復數方程包含振幅間與幅角間的關系。,或,3 電感元件伏安關系的相量形式,當 i(t)=Imcos(t+i) 時,關聯方向下電感的電壓和電流是同頻率的正弦量，它們振幅或有效值以及相位間的關系為：,電感伏安關系的時域形式：,伏安關系的波形如圖(b)。,電感元件的時域模型如圖(a)所示,可看出電感電壓超前于電流90，當電感電流由負值增加經過零點時，其電壓達到正最大值。,關聯參考方向下電感元件電壓和電流的相量關系式：,電感元

17、件的相量模型如圖(a)，伏安相量關系圖如圖(b)所示。,KCL、KVL和元件VCR的時域和相量形式：,例7 圖示電路，已知,求:u1(t), u2(t), u(t)的有效值相量。,解：相量模型如圖(b);,根據相量形式的KCL求電流相量,由相量形式的VCR，得：,根據相量形式的KVL，得到:,時域表達式:,串聯電路畫相量圖時選電流為參考相量；,解:相量模型如圖(b);,電壓源相量:,相量形式的KCL，得到,根據RLC元件相量形式的VCR方程求電流：,時域表達式：,相量圖如圖(c)所示：,并聯電路畫相量圖時選電壓為參考相量；,一、R、L、C元件VCR的相量關系如下：,7-4 阻抗與導納,電阻 容

18、抗 感抗,電流、電壓是同頻率的正弦量，且參考方向關聯，VCR為：,(與無關) (與成反比) (與成正比),電壓相量與電流相量之比,一無源二端網絡N0,電流相量與電壓相量之比,在關聯參考方向下：,阻抗,導納,顯然有：,單位： ,單位： S,R、L、C元件電壓與電流相量間的關系類似歐姆定律：,電壓與電流相量之比是一個與時間無關的量,只與角頻率有關；,在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，任意一個無源二端 網絡的相量模型可等效為一個阻抗或導納。,歐姆定律的相量形式：,R、C、L元件的阻抗如下：,稱為電阻,稱為感抗,稱為容抗,R、C、L元件的阻抗是一個與時間無關的量，且是一個復數。單位：,G、C、L元件的導納如下：,G、

19、C、L元件的導納是一個與時間無關的量，是一個復數。單位：S,實部R稱為電阻分量，虛部X稱為電抗分量，Z= v-i稱為阻抗角，阻抗的模 |Z| = U/I,一般情況：,阻抗三角形,阻抗是復數，,當X0時：Z0，端口電壓超前電流，網絡呈感性，電抗元件可等效為一個電感；,當X0時：Z0，端口電流超前電壓，網絡呈容性，電抗元件可等效為一個電容；,當X =0時：Z=0，端口電壓與電流同 相，網絡呈電阻性，可等效為一個電阻。,任意一個無源二端網絡，總是可用一個 電阻元件和一個電抗元件的串聯電路等效：,實部G稱為電導分量，虛部B稱為電納分量，導納角 Y= i-u=-Z。,導納三角形,一般情況：,導納是復數，

20、,當B0時：Y0，端口電流超前電壓，網絡呈容性，電納元件可等效為一個電容；,當B0時：Y0，端口電壓超前電流，網絡呈感性，電納元件可等效為一個電感；,當B =0時：Y=0，端口電壓與電流同相，網絡呈電阻性，可等效為一個電阻。,無源二端網絡總是可用一個電導元件 和一個電納元件的并聯電路等效：,無源網絡相量模型的兩種等效電路：,一種是根據阻抗Z=R+jX得到的電阻R與電抗jX串聯電路，如圖(c)；,另一種是根據導納Y=G+jB得到的電導G與電納jB的并聯，如圖(e)。,一般情況下，阻抗Z和導納Y都是角頻率 的函數，即：,注意：,隨著 的變化，電路的性質和等效電路中的元件參數都會隨之改變。,只有在一

21、個特定的角頻率下，正弦穩(wěn)態(tài)電路才有一個確定的等效電路。,阻抗Z和導納Y不是相量。,注意: 一般情況下：,若已知阻抗，則等效導納為：,若已知導納，則等效阻抗為：,n個阻抗串聯，等效阻抗為：,電流與端口電壓相量的關系為,阻抗串、并聯的等效阻抗和等效導納,1、阻抗串聯,第k個阻抗上的電壓相量與端口電壓相量的關系為：,稱為n個阻抗串聯時的分壓公式。,注意：正弦穩(wěn)態(tài)電路中，部分或全部串聯阻抗上的電壓有效可能大于總電壓的有效值。,2、導納并聯,n個導納并聯組成的單口網絡，就端口特性來說，等效于一個導納，其等效導納值等于各并聯導納之和，即,電壓與其端口電流相量的關系為：,第k個導納中的電流與端口電流相量的關

22、系為,這是導納并聯時的分流公式。,注意：正弦穩(wěn)態(tài)電路中，部分或全部并聯導納上的電流有效值可大于總電流的有效值。,例9 求圖(a)網絡在=1rad/s和=2rad/s時的等效阻抗和等效電路。,解:(1)建立時的相量模型；,(2)求出 =1rad/s等效阻抗：,同理求出=2rad/s時的等效阻抗:,1/3F,(3) 求等效電路:先用等效阻抗替代二端網絡，再轉換成相應的時域模型。,例10 試求等效阻抗和相應的等效電路。,解:1)相量模型如圖(b)。,設在端口加電壓源，用相量形式KVL方程求電壓相量,2)求等效阻抗：,等效阻抗為,3)給出等效電路：,0.06H,3 分析RLC串聯電路,相量模型如圖(b

23、)所示。等效阻抗,阻抗的電阻為電路的電阻R，阻抗的電抗為感抗與容抗之差。,當X=XL-XC0時，Z0，電壓超前于電流，電路呈感性，等效為R串聯電感；,當X=XL-XC 0時，Z0，電流超前于電壓，電路呈容性，等效為R串聯電容；,當X=XL-XC =0時，Z=0，電壓與電流同相，電路呈電阻性，等效為R。,、和 構成電壓三角形：,例11 u(t)=10cos2tV。試求i(t), uR(t), uL(t), uC(t)。,解：相量模型如圖(b)所示。,相量電流,等效阻抗：,RLC元件上的電壓相量,各量的時域表達式：,各電壓電流的相量圖如圖(c)所示。端口電壓u(t)的相位超前于端口電流i(t) 的

24、相位45，該RLC串聯網絡的端口特性等效于一個電阻與電感的串聯，即有電感性。,4 分析GCL并聯電路,相量模型如圖(b)所示。,等效導納:,其電導為電路的電導G，電納為容納與感納之差，。,當B=BC-BL0時，Y0，電流超前于電壓，電路呈容性，等效為G并聯電容 ；,當B=BC-BL0時，Y0，電壓超前于電流，電路呈感性，等效為G并聯電感；,當B=BC-BL=0時，Y=0，電壓與電流同相，電路呈電阻性，等效為G 。,電流三角形：,例12 求:u(t),iR(t),iL(t),iC(t)。已知:,解：相量模型如圖(b)。,求相量電壓：,等效導納：,各電流相量：,時域表達式：,從中看出各電壓電流的相量關系：如端口電流的相位超前于端口電壓相位36.9，RLC并聯單口網絡的端口特性等效于一個電阻與電容的并聯，該單口網絡具有電容性,相量圖如圖(c)所示：,75 正弦穩(wěn)態(tài)的相量分析,電路分析的基本依據KVL、KCL和元 件的VCR，以及電阻電路中的各種分析 法、等效變換和定理，都可推廣到正弦 穩(wěn)態(tài)電路的分析；,但要用電路的相量模型代替電路的時 域