量子力學(xué)復(fù)習(xí)提綱.ppt

1、2011年物理學(xué)院量子力學(xué)期末考試總復(fù)習(xí)課，1、考試時(shí)間：第二十周星期三下午2:30(1月19日下午2:30 )、考試地點(diǎn)：西十二N101(0801組)西十二N102(0802組)、考試方式4、不帶任何復(fù)習(xí)資料，西十二N103(0803組)西十二n 103 在西十二S101(0805組)、試驗(yàn)題型、1、簡(jiǎn)單題(25分)、3、修正題表象下，對(duì)兩個(gè)Fermi子系統(tǒng)：進(jìn)行自旋：第一章緒論、1、掌握微粒子(光和實(shí)物粒子)的波粒二象性，舉例說明。 (例如：普朗克黑體輻射理論、光電效應(yīng)、康普頓效應(yīng)等)、4、掌握玻爾量子理論的表現(xiàn)(3個(gè)假設(shè))。 5、德布羅意物質(zhì)波假說的表現(xiàn)把握德布羅意關(guān)系式。 2 .掌握普

2、朗克能量子假說的表現(xiàn)。 3 .把握愛因斯坦光量子假說的表現(xiàn)。總復(fù)習(xí)的要點(diǎn)、波粒二象性是微觀粒子的基本固有性，是量子理論的物理基礎(chǔ)。 從微觀粒子具有波粒二像性質(zhì)的基本觀點(diǎn)出發(fā)，可以利用物理邏輯推理的思維來推斷貫穿所有量子理論的三個(gè)基本特征，即概率解釋、量化現(xiàn)象、不確定關(guān)系。 其次，可以采用波函數(shù)假設(shè)、基本方程假設(shè)、算子假設(shè)、測(cè)量假設(shè)、全向同性原理假設(shè)這5個(gè)假設(shè)，在邏輯上支持非相對(duì)論量子理論框架。 掌握4個(gè)飛躍，第二章波函數(shù)和薛定諤方程式，9，薛定諤方程式和穩(wěn)定薛定諤方程式。 1、掌握定常概念的定常性質(zhì)。 掌握求解一維無限深井(能級(jí)、正則化波函數(shù))的步驟和方法。 2 .把握束縛狀態(tài)和非束縛狀態(tài)的概

3、念一維束縛固定性質(zhì)。 6、掌握波函數(shù)的物理內(nèi)涵波函數(shù)的模式平方的物理意義波函數(shù)應(yīng)滿足的標(biāo)準(zhǔn)條件。 12 .掌握一維線性諧振子系統(tǒng)的哈密頓量、能級(jí)、波函數(shù)和宇稱特征。 3 .掌握簡(jiǎn)并狀態(tài)(非簡(jiǎn)并狀態(tài))和簡(jiǎn)并度的概念。 4、掌握宇稱、偶宇稱和奇守稱的概念。 5、掌握基態(tài)、激發(fā)態(tài)的概念。 10 .掌握如何校正概率流密度向量。 7、掌握波函數(shù)統(tǒng)一修正解釋的表現(xiàn)和物理意義。8、掌握狀態(tài)迭代原理的表現(xiàn)和物理意義。 掌握一些重要概念、兩個(gè)原理、兩個(gè)假設(shè)、兩個(gè)模型、第三章量子力學(xué)中的力學(xué)量、5、動(dòng)量運(yùn)算符及其本征函數(shù)、本征值。 1、把握運(yùn)算符的基本假設(shè)的表現(xiàn)，大大測(cè)量在物理上應(yīng)該對(duì)應(yīng)怎樣的運(yùn)算符和原因。 9

4、.掌握坐標(biāo)、動(dòng)量和角動(dòng)量運(yùn)算符的對(duì)易關(guān)系式。 6 .可以掌握球坐標(biāo)中角動(dòng)量z分量運(yùn)算符的表達(dá)式，并且求出其本征值方程。 7 .掌握角動(dòng)量平方運(yùn)算符的特征值、特征函數(shù)。 8 .把握用波函數(shù)記述的狀態(tài)下的氫原子的能級(jí)、角動(dòng)量平方、角動(dòng)量z成分的值、能級(jí)簡(jiǎn)并度以及宇稱的特征。 10 .在某個(gè)系統(tǒng)狀態(tài)下求力學(xué)量平均值的方法(直接校正積分，或者通過求其狀態(tài)求力學(xué)量本征函數(shù)展開式的方法，或者H-F定理)。 11 .如果兩個(gè)或更多個(gè)力學(xué)量具有共同的本征函數(shù)集，構(gòu)成完整系數(shù)，則算子之間相互容易，反之亦然。 12、掌握無法測(cè)量關(guān)系的主要內(nèi)容的均方根偏差、均方根偏差的修正公式。 2 .掌握力學(xué)量可取值及其概率的求

5、解方法(測(cè)定基本假設(shè))。兩個(gè)假設(shè)、兩個(gè)定理、三、hermy運(yùn)算符的性質(zhì)，用于掌握army運(yùn)算符的定義。 4、掌握保存量的定義保存量的性質(zhì)保存量和穩(wěn)態(tài)的差異。 把握2個(gè)定義、4個(gè)算子、2種式子、第4章的狀態(tài)和力學(xué)量的表象、1、狀態(tài)的表象的概念。2、表示把握算子的矩陣表示力學(xué)量算子的矩陣全部為雅美矩陣。 3 .運(yùn)算符在自己的表象中是對(duì)角矩陣，把握作為對(duì)角要素的運(yùn)算符的特征值。 4、把握運(yùn)算符可以從一種表象轉(zhuǎn)換為另一種表象，特征值、對(duì)易關(guān)系、痕跡不變。 5 .根據(jù)算符矩陣確定其特征值和本征向量的方法。 6 .掌握消亡運(yùn)算符、生成運(yùn)算符、粒子數(shù)運(yùn)算符和占有數(shù)表象的記述方法。 2 .掌握希爾伯特空間(狀

6、態(tài)空間)的概念。 第五章微擾理論，1、掌握非簡(jiǎn)并穩(wěn)態(tài)微擾論求能量一級(jí)、二級(jí)微擾校正和波函數(shù)一級(jí)校正的方法微擾論的適用條件。 3、掌握斯塔效應(yīng)的原因。 6、掌握光的發(fā)光和吸收三個(gè)基本過程。 2、掌握簡(jiǎn)并恒微干涉論求能量的一階微干涉校正和零波函數(shù)的方法。 4、掌握黃金費(fèi)米規(guī)則的表現(xiàn)內(nèi)容。 5、掌握狀態(tài)密度的概念。 第6章散射，2，2個(gè)基本方法：分波法、波恩近似法的精髓和適用范圍。1、3個(gè)基本概念：微分散射截面、總散射截面、散射振幅。 第7章掌握自旋與全同粒子、3、電子自旋算子的對(duì)易與反易的關(guān)系式。 4 .掌握電子自旋算子及其固有狀態(tài)和特征值。 掌握泡利矩陣。 掌握全同性粒子的概念、全同性原理的表現(xiàn)

7、內(nèi)容。 掌握自旋的單態(tài)和三重態(tài)的公式。 6 .了解簡(jiǎn)單塞曼效應(yīng)、復(fù)雜塞曼效應(yīng)和光譜微結(jié)構(gòu)的產(chǎn)生原因。 1、提出電子自旋，掌握實(shí)驗(yàn)依據(jù)。 2 .掌握電子自旋假說的表現(xiàn)內(nèi)容。 9 .掌握波色子和費(fèi)米子的概念和全同波色子和費(fèi)米子波函數(shù)的對(duì)稱性要求。 7 .掌握無結(jié)合表象和結(jié)合表象的描述方式。 掌握11、二級(jí)氦和正氦的定義及其性質(zhì)差異大，轉(zhuǎn)換效率低的原因。微結(jié)構(gòu)、異常塞曼效應(yīng)、正常塞曼效應(yīng)，例5 (第三章)坐標(biāo)分量算子和動(dòng)量分量算子的對(duì)易關(guān)系是什么？寫出兩者滿意的不確定關(guān)系。 1、簡(jiǎn)單解答例，例2(2章)簡(jiǎn)單敘述波函數(shù)的基體假設(shè)。 例4(3章)為什么物理大的測(cè)量應(yīng)該對(duì)應(yīng)怎樣的運(yùn)算符？ a :微觀系統(tǒng)的

8、狀態(tài)用一個(gè)波函數(shù)完全記述，從這個(gè)波函數(shù)可以得到系統(tǒng)的所有性質(zhì)。 波函數(shù)一般應(yīng)該滿足連續(xù)性、有限性、單值性三個(gè)條件。 例3 (第二章)波函數(shù)用于描述什么？ 物理意義是什么？ a :波函數(shù)是用于描述系統(tǒng)的量子狀態(tài)的復(fù)函數(shù)。 顯示時(shí)刻tr附近的每單位體積發(fā)現(xiàn)粒子的概率。 a :在物理上對(duì)應(yīng)于線性阿米算子。 線性是狀態(tài)疊加原理所要求的，阿米運(yùn)算符的特征值是實(shí)數(shù)，可與(實(shí)數(shù))觀測(cè)值進(jìn)行比較。 a :貿(mào)易關(guān)系，不確定關(guān)系是。 例1 (第一章)簡(jiǎn)述普朗克的能量子假說。 a :對(duì)于一定頻率的電磁輻射，物體只能以單位吸收或發(fā)射。 2、證明問題例子，例1 (第二章)證明：一維約束穩(wěn)態(tài)、能級(jí)非簡(jiǎn)并、相應(yīng)的能量本征函

9、數(shù)始終可以是實(shí)函數(shù)。 在量子力學(xué)中，假定沒有特別發(fā)表聲明，勢(shì)能取實(shí)函數(shù)，即，如果滿足穩(wěn)態(tài)Schrdinger方程式，穩(wěn)態(tài)Schrdinger方程式也得到滿足，根據(jù)先前證明的結(jié)論，一維束縛穩(wěn)態(tài)，能級(jí)不退化，即，有3、修正算法示例1 .使用適當(dāng)?shù)淖儞Q獲得系統(tǒng)的能量本征值和與其相應(yīng)的本征值的系統(tǒng)漢密頓算法。 解： (3)將漢密爾頓算子改寫為，并且得知能量本征值明顯構(gòu)成力學(xué)量完全集合，其公共本征函數(shù)系為，對(duì)應(yīng)的本征值為球諧函數(shù)。例2 .如果粒子處于狀態(tài)，則在(1)上分別求和的可取值和與之對(duì)應(yīng)的可取值的概率，在(2)上同時(shí)測(cè)定和，測(cè)定和的概率，在(3)上測(cè)定之后測(cè)定的可取值和與之對(duì)應(yīng)的可取值的概率，在(

10、4)上測(cè)定之后測(cè)定解：首先判斷是否為規(guī)范化狀態(tài)。 所以，已經(jīng)是規(guī)范化的狀態(tài)了。 接下來，計(jì)算各種條件下各個(gè)力學(xué)量的可能值和可能值的概率。 (1)球諧函數(shù)是運(yùn)算符和的公共特征函數(shù)：(2)因?yàn)檫\(yùn)算符和容易，所以兩者具有公共特征函數(shù)系，并且可以同時(shí)取確定值。 該可取值的概率是，(3)在狀態(tài)下測(cè)定后，狀態(tài)發(fā)生了變化的固有的狀態(tài)，因?yàn)槭桥c固有的值對(duì)應(yīng)的固有的狀態(tài)，所以此時(shí)如果進(jìn)行再測(cè)定的話一定能夠得到確定值，或者測(cè)定值為的概率是1。 但是，狀態(tài)測(cè)量的概率是，因此從出發(fā)點(diǎn)測(cè)量的值是的概率應(yīng)該是。 (4)為了在狀態(tài)測(cè)量之后改變狀態(tài)到新的狀態(tài)以獲得上述可能的值以及與該值對(duì)應(yīng)的可能的值的概率，在狀態(tài)測(cè)量的可能的

11、值是和的每個(gè)可能的值的概率是可從狀態(tài)獲得的值(1)因?yàn)槭紫葘⒉ê瘮?shù)規(guī)范化，所以該系統(tǒng)是規(guī)范化波函數(shù)：因?yàn)槭欠€(wěn)態(tài)波函數(shù)，所以存在粒子的概率：(2)平均能量：概率：在這里，因?yàn)槭菬o限深井，所以是與兩個(gè)狀態(tài)的疊加，所以能量的可能的測(cè)定值，或者已知?dú)湓犹幱谟脷w一化的徑向波函數(shù)(量子數(shù))即波函數(shù)來描述的狀態(tài)。 (1)要寫出電子自旋向上的概率(2)試制電子被方向性的立體角要素測(cè)量的概率(3)通過實(shí)驗(yàn)證明該狀態(tài)都不是軌道角動(dòng)量的z分量、自旋轉(zhuǎn)z分量的固有狀態(tài)，而是總角動(dòng)量的z分量的固有狀態(tài)，(4)求出該狀態(tài)下的平均值解：先求出問題狀態(tài)的歸一化系數(shù)，為了的歸一化，對(duì)問題的狀態(tài)進(jìn)行歸一化，(2)用方向的立體角

12、要素測(cè)量電子的概率，(1)電子的自旋提升的概率是。 (4)上述(1)、(2)的2個(gè)公式可知，總角動(dòng)量的z分量的特征值(特征值)、(2)都不是零，不是相同的狀態(tài)，軌道角動(dòng)量z分量，從而注意歸一化系數(shù)而得到。 其中是粒子的第n個(gè)能量固有狀態(tài)。 求(t=0時(shí)能量的可取概率和平均值，(2)求t 0的任意時(shí)刻的波函數(shù)，(3)求t 0時(shí)的能量的可取概率和平均值。 解：由于非對(duì)稱一維無限深勢(shì)阱中的粒子的本征解表明(阱內(nèi))歸一化常數(shù)為，所以歸一化后的波函數(shù)中，能量取得的概率以及能量取其他值的概率全部為零。 t=0時(shí)的能量平均值為： (2)由于哈密頓算子中不包含時(shí)間，所以t 0時(shí)的波動(dòng)函數(shù)為： (3)由于哈密頓

13、量為保存量，所以保存量的概率與平均值不隨時(shí)間變化，換言之，t=0時(shí)的能量的取得概率因此，t 0時(shí)的能量可取的概率以及平均值與t=0時(shí)相同。 (2)使用微干擾理論對(duì)能量進(jìn)行二次校正：解： (1) H的特征值是方程式的根，(1)求h的精確特征值；(2)使用微干擾理論對(duì)能量進(jìn)行二次校正。 的雙曲馀弦值。 這是實(shí)數(shù)。 然而，考慮一個(gè)三維狀態(tài)空間問題，在給定的正交基礎(chǔ)集下，漢密頓算子取自能量的二次校正，而本征值取自問題的能量的一次校正，即，取自精確的二次近似的能量本征值的等級(jí)0近似用微擾論求能量水平和波函數(shù)，對(duì)于非簡(jiǎn)并能量水平，波函數(shù)求到項(xiàng)，能量水平求到項(xiàng)，對(duì)于簡(jiǎn)并能量水平，波函數(shù)求到零水平近似，能量水

14、平求到項(xiàng)。 不退縮，構(gòu)成二重退縮能級(jí)。 零水平近似波函數(shù)是具有相同和的能量水平的兩個(gè)退化狀態(tài)。 關(guān)于能級(jí)使用非簡(jiǎn)并微干涉論：關(guān)于和能級(jí)使用簡(jiǎn)并微干涉論。 在構(gòu)成為基群的子空間中，的矩陣是原矩陣除了第一行和第一列的剩馀子矩陣，應(yīng)該為了對(duì)角化解模態(tài)方程，應(yīng)該解長(zhǎng)期方程，得到的，這是能量的一次修正，解：分解給體系帶來問題的哈密頓量的方程求解零級(jí)能量，非簡(jiǎn)并與其對(duì)應(yīng)的零級(jí)能量本征狀態(tài)為： (1)，零級(jí)非簡(jiǎn)并，因此，在非簡(jiǎn)并微干擾校正算法中，我們對(duì)微干擾項(xiàng)的零級(jí)能量本征狀態(tài)空間的矩陣元素進(jìn)行校正， 需要如下所述先校正的從非退化微干擾論的能量精度到二次和狀態(tài)矢量精度到一次近似的校正公式，例9 .考慮系統(tǒng)的哈密頓量時(shí)，所選擇的一組正交歸一基下的矩陣形式為： (1)能量的可能測(cè)量值為能量本征值，長(zhǎng)期方程式2 )、例10.2維諧振器的哈密頓量，在(1)求出系統(tǒng)的能級(jí)和能特征值(2)時(shí)，給出第一、第二激發(fā)態(tài)的簡(jiǎn)并度(3)此時(shí)匯總了任意能級(jí)的簡(jiǎn)并度。 解： (1)如果已知一維諧振器的能量特征值和特征值是歸一化常數(shù)，則系統(tǒng)的特征函數(shù)是第二激發(fā)態(tài)、簡(jiǎn)并度為3，其中，例11 .耦合諧振器的Hamilton量是、和，分，(1)、(2)，解：如果沒有耦合項(xiàng)，則為二維各向同性諧振器Hamil