兩角和與差的正弦、余弦、正切公式

1、 備考方向要明了考 什 么怎 么 考1.會(huì)用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式2.能利用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式3.能利用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式，推導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系.1.主要考查利用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值，如2012年江蘇T11，廣東T16等2.考查形式既有選擇題、填空題，也有解答題，且常與三角函數(shù)的性質(zhì)、向量、解三角形的知識(shí)相結(jié)合命題，如2012年安徽T16，山東T17等.歸納知識(shí)整合1兩角和與差的正弦、余弦、正切公式sin()sin_cos_cos_sin_cos()co

2、s_cos_sin_sin_tan()探究1.兩角和與差的正切公式對(duì)任意角都適用嗎？若出現(xiàn)不適用的情況如何化簡(jiǎn)？提示：在T()與T()中，都不等于k(kZ)，即保證tan ，tan ，tan()都有意義；若，中有一角是k(kZ)，可利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)2二倍角余弦公式的常用變形是什么？它有何重要應(yīng)用？提示：二倍角余弦公式的常用變形是：cos2，sin2，這就是使用極其廣泛的降冪擴(kuò)角公式在三角恒等變換中，這兩個(gè)公式可以實(shí)現(xiàn)三角式的“次數(shù)”降低，利于問(wèn)題的研究2二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 22sin_cos_cos 2cos2sin22cos2112sin2tan 2自測(cè)牛刀小試1計(jì)算cos

3、28cos 17sin 28sin 17的結(jié)果等于()A.B.C. D.解析：選B原式cos(2817)cos 45.2已知tan，tan，則tan()的值為()A. B.C. D1解析：選Dtan()tan1.3(教材習(xí)題改編)下列各式中，值為的是()A2sin 15cos 15 Bcos215sin215C2sin2151 Dsin215cos215解析：選A2sin15cos 15sin 30；cos215sin215cos 30；2sin2151cos 30；sin215cos2151.4(教材習(xí)題改編)已知cos ，0，則cos_.解析：cos ，0，sin ，coscos coss

4、in sincos sin .答案：5(教材習(xí)題改編)在ABC中，cos A，tan B2，則tan(2A2B)_.解析：在ABC中，cos A，0A，得sin A.tan A.tan 2A，tan 2B，tan(2A2B).答案：三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)例1(1)化簡(jiǎn)：(0)；(2)求值：sin 10.自主解答(1)原式.因?yàn)?，所以0，所以cos0，所以原式cos .(2)原式sin 10sin 10sin 102cos 10.1.三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的原則三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要遵循“三看”原則，即一看角，二看名，三看式子結(jié)構(gòu)與特征.2.解決給角求值問(wèn)題的基本思路對(duì)于給角求值問(wèn)題，往往所給角都是非特殊角，解

5、決這類(lèi)問(wèn)題的基本思路有：(1)化為特殊角的三角函數(shù)值；(2)化為正、負(fù)相消的項(xiàng)，消去求值；(3)化分子、分母出現(xiàn)公約數(shù)進(jìn)行約分求值.1化簡(jiǎn)下列各式：(1)；(2).解：(1)原式tan.(2)sin 50(1tan 10)sin 50sin 501，cos 80sin 10sin210.三角函數(shù)的求值問(wèn)題例2(2012廣東高考)已知函數(shù)f(x)2cos(其中0，xR)的最小正周期為10.(1)求的值；(2)設(shè)，f，f，求cos()的值自主解答(1)f(x)2cos，0的最小正周期T10，.(2)由(1)知f(x)2cos，而，f，f，即2cos，2cos，即cos，cos ，于是sin ，co

6、s ，sin ，故cos()cos cos sin sin .解決給值求值問(wèn)題的方法三角函數(shù)的給值求值，關(guān)鍵是把待求角用已知角表示：(1)已知角為兩個(gè)時(shí)，待求角一般表示為已知角的和或差(2)已知角為一個(gè)時(shí)，待求角一般與已知角成“倍的關(guān)系”或“互余互補(bǔ)”的關(guān)系2已知0，且cos，sin，求cos()的值解：0，cos ，sin ，coscoscoscossinsin，cos()2cos2121.三角函數(shù)的求角問(wèn)題例3若sin A，sin B，且A，B均為鈍角，求AB的值自主解答A、B均為鈍角且sin A，sin B，cos A，cos B，cos(AB)cos Acos Bsin Asin B，

7、又A，B，AB2，由知，AB.若將“A，B均為鈍角”改為“A，B均為銳角”，如何求解？解：A，B均為銳角，且sin A，sin B，cos A，cos B， cos(AB)cos Acos Bsin Asin B.又A，B(0, )，AB(0，)，AB.1解決給值求角問(wèn)題的一般步驟(1)求角的某一個(gè)三角函數(shù)值；(2)確定角的范圍；(3)根據(jù)角的范圍寫(xiě)出要求的角2在求角的某個(gè)三角函數(shù)值時(shí)，應(yīng)注意根據(jù)條件選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)(1)已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)；(2)已知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)；若角的范圍是，選正、余弦皆可；若角的范圍是(0，)，選余弦較好；若角的范圍為，選正弦較好3已知cos ，c