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1、任意矩陣都可經(jīng)過初等變換變成階梯形矩陣，方法,不是唯一的，然而有沒有什么規(guī)律性的東西值得探討？,本節(jié)的討論將顯示，不論通過什么途徑化為階梯形,矩陣，它的非零行的個數(shù)總是唯一確定的，我們把這個,確定的數(shù)稱為該矩陣的秩。,的k2個交叉點上的元素, 按原有的次序組成A的k 階矩陣,的行列式稱為A的k 階子式。則A的非零子式的最高階數(shù),定義 在mn 矩陣A中，任意選定k 行和k 列，它們,稱為A的秩, 記為r(A)。,注：零矩陣的秩定義為零。,第3節(jié) 矩陣的秩 (Rank),（1）r(A) = r(AT) ,（2）設r(A) = r，則至少存在一個r 階的非零子式 ，,而且任何大于r 階的子式都為零

2、。,（3）n 階方陣A的最大的秩為n。若r(A) = n，則稱,A為滿秩方陣。若r(A) n，則稱A為降秩方陣。,這些性質都可由定義直接驗證。,則 r(A) = 3。,3.3.1 矩陣的秩的性質：,性質：,設M為A中最高階非零子式:,下面分別三種初等變換加以論證:, r(B) r(A),，在B中取交換后的M為M 。, r(A) r(B),在B中仍取A中的M為B的非零子式M 。,在B中取A中M的紅線換位后相交的點為M 。,r(A) r(B),在B中仍取A中相同的節(jié)點所組成的子式M 。,其中D為M中用第i行代替第j行所得的矩陣。,(4) i不在M 中, 但 j 在M 中。,在B仍取A中相同的節(jié)點所組成的子式M 。,2. 若,kri+rj,（為什么？）,r(A )=3 。,解,現(xiàn)在我們要問：為什么要研究矩陣的秩呢？,還要從線性方程組說起。設n元線性方程組為,這是一個n個方程n個未知數(shù)的線性方程組。它的,增廣矩陣為n(n+1)矩陣：,對 施行初等行變換，將它變換化階梯形矩陣，,如階梯形矩陣出現(xiàn) s個零行，說明原方程組中有 s個,方程不是獨立的。顯然，階梯形矩陣的秩為r=n-s,階梯形矩陣所反應的方程組與原方程組是同解方程組，,s=n-r, 可見矩陣的秩能夠直接反映方程組

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