高中數學第2章平面向量2.1向量的概念及表示學案蘇教版必修4

1、2.1向量的概念及表示1了解向量的實際背景，理解平面向量的概念(重點)2理解零向量、單位向量、相等向量、共線(平行)向量、相反向量的含義(重點、難點)3理解向量的幾何表示(重點)基礎初探教材整理1向量的定義及表示閱讀教材P59圖212以上部分內容，完成下列問題.定義既有大小又有方向的量稱為向量表示方法(1)幾何表示：向量常用一條有向線段來表示，有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向，以A為起點、B為終點的向量記為；(2)字母表示：用小寫字母a，b，c表示模向量的大小稱為向量的長度(或稱為模)，記作|1判斷(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)有向線段就是向量()(2)向量就是

2、有向線段()(3)有向線段可以用來表示向量()【答案】(1)(2)(3)2下列物理量：質量；速度；位移；力；加速度；路程；密度；功其中不是向量的有_(填序號)【解析】一個量是不是向量，就是看它是否同時具備向量的兩個要素：大小和方向由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向確定的，所以是向量；而質量、路程、密度、功只有大小而沒有方向，所以不是向量【答案】教材整理2向量的有關概念及其表示閱讀教材P59圖212以下內容至P60例2以上內容，完成下列問題.名稱定義表示方法零向量長度為0的向量記作0單位向量長度等于1個單位長度的向量平行向量(或共線向量)方向相同或相反的非零向量a與b平行(或共線)，記作

3、ab相等向量長度相等且方向相同的向量a與b相等，記作ab相反向量長度相等且方向相反的向量a的相反向量記作a判斷(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)若ab，bc，則ac.()(2)若ab，則a與b的方向一定相同或相反()(3)若非零向量，那么ABCD.()(4)向量可以比較大小()【解析】(1)正確(2)0與任何向量共線，但0方向任意，故(2)錯誤(3)，A，B，C，D可能共線，故(3)錯誤(4)因為向量有方向性，故向量不能比較大小【答案】(1)(2)(3)(4)質疑手記預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：疑問3：解惑：小組合作型向量的概念給出下列

4、命題：若|a|b|，則ab或ab；向量的模一定是正數；起點不同，但方向相同且模相等的幾個向量是相等向量；向量與是共線向量，則A，B，C，D四點必在同一直線上其中正確命題的序號是_【精彩點撥】解答本題可從向量的定義、向量的模、相等向量、平行向量等概念入手，逐一判斷真假【自主解答】錯誤由|a|b|僅說明a與b模相等，但不能說明它們方向的關系錯誤.0的模為零正確對于一個向量，只要不改變其大小和方向，是可以任意移動的錯誤共線向量即平行向量，只要方向相同或相反即可，并不要求兩個向量、必須在同一直線上【答案】1在判斷與向量有關的命題時，既要立足向量的數(即模的大小)，又要考慮其形(即方向性)2涉及共線向量

5、或平行向量的問題，一定要明確所給向量是否為非零向量3對于判斷命題的正誤，應該熟記有關概念，理解各命題，逐一進行判斷，對于錯誤命題，只要舉一反例即可再練一題1判斷下列命題是否正確，并說明理由：(1)若向量a與b同向，且|a|b|，則ab；(2)若向量|a|b|，則a與b的長度相等且方向相同或相反；(3)對于任意向量|a|b|，若a與b的方向相同，則ab；(4)由于0方向不確定，故0不能與任意向量平行；(5)向量a與向量b平行，則向量a與b方向相同或相反【解】(1)不正確因為向量由兩個因素來確定，即大小和方向，所以兩個向量不能比較大小(2)不正確由|a|b|只能判斷兩向量長度相等，不能確定它們的方

6、向關系(3)正確|a|b|，且a與b同向，由兩向量相等的條件，可得ab.(4)不正確依據規(guī)定：0與任一向量平行(5)不正確因為向量a與向量b若有一個是零向量，則其方向不定.向量的表示一輛汽車從A點出發(fā)，向西行駛了100千米到達點B，然后又改變方向向西偏北50行駛了200千米到達點C，最后又改變方向，向東行駛了100千米到達點D.(1)作出向量，；(2)求|.【精彩點撥】解答本題應首先確定指向標，然后再根據行駛方向確定有關向量，進而求解【自主解答】(1)如圖：(2) 由題意，易知與方向相反，故與共線，即ABCD.又|，在四邊形ABCD中，AB綊CD，四邊形ABCD為平行四邊形，|200(千米)用

7、有向線段表示向量時，先確定起點，再確定方向，最后依據向量模的大小確定向量的終點.必要時，需依據直角三角形知識，求出向量的方向或長度(模)，選擇合適的比例關系作出向量.再練一題2在如圖211的方格紙上，已知向量a，每個小正方形的邊長為1.(1)試以B為終點畫一個向量b，使ba；(2)在圖中畫一個以A為起點的向量c，使|c|，并說出向量c的終點的軌跡是什么？圖211【解】(1)根據相等向量的定義，所作向量與向量a平行，且長度相等(作圖略)(2)由平面幾何知識可知所有這樣的向量c的終點的軌跡是以A為圓心，半徑為的圓(作圖略)探究共研型共線向量探究1兩向量平行，則兩向量所在的直線平行嗎？【提示】不一定

8、平行探究2若向量a與b平行(或共線)，則向量a與b相等嗎？反之，若向量a與b相等，則向量a與b平行(或共線)嗎？【提示】向量a與b平行(或共線)，則向量a與b不一定相等；向量a與b相等，則向量a與b平行(或共線)探究3向量平行具備傳遞性嗎？舉例說明【提示】向量的平行不具備傳遞性，即若ab，bc，則未必有ac，這是因為，當b0時，a，c可以是任意向量，但若b0，必有ab，bcac.如圖212，D，E，F(xiàn)分別是正三角形ABC各邊的中點圖212(1)寫出圖中所示向量與向量長度相等的向量；(2)寫出圖中所示向量與向量相等的向量；(3)分別寫出圖中所示向量與向量，共線的向量. 【導學號：】【精彩點撥】結

9、合相等向量、共線向量的概念，對(2)(3)作出判斷，結合正三角形的性質對(1)作出判斷【自主解答】(1)與長度相等的向量是，.(2)與相等的向量是，.(3)與共線的向量是，；與共線的向量是，.1尋找相等向量：先找與表示已知向量的有向線段長度相等的向量，再確定哪些是同向共線2尋找共線向量：先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段，再構造同向與反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向線段的終點為起點，起點為終點的向量再練一題3如圖213，四邊形ABCD為正方形，BCE為等腰直角三角形，圖213(1)圖中與共線的向量有_；(2)圖中與相等的向量有_；(3)圖中與模相等的向量有_；(4)圖中與

10、相等的向量有_；(5)圖中與互為相反向量的有_【解析】(1)ABCD，A，B，E三點共線，與，共線(2)ABBE，且與方向相同，.(3)ABBCCDDABE，|.(4)EC綊BD，.(5)|，且與方向相反，與互為相反向量【答案】(1)，、(2)(3)，(4)(5)構建體系1下列說法正確的是_零向量的長度為零；零向量與任一向量都是共線向量；零向量沒有方向；零向量的方向是任意的【解析】零向量的方向是任意的，不能說零向量沒有方向，錯【答案】2下列命題中，正確的是_a，b是兩個單位向量，則a與b相等；若向量a與b不共線，則a與b都是非零向量；兩個相等的向量，起點、方向、長度必須都相同；共線的單位向量必

11、是相等向量【解析】若a與b中有一個是零向量，則a與b共線【答案】3如圖214，已知正方形ABCD邊長為2，O為其中心，則|_.圖214【解析】由于正方形的對角線長為2，|.【答案】4如圖215所示，已知點O是正六邊形ABCDEF的中心，且a，b，c.在以A，B，C，D，E，F(xiàn)，O為起點或終點的向量中：圖215(1)模與a的模相等的向量有_個(2)長度與a的長度相等，方向相反的向量有_(3)與a共線的向量有_(4)請一一列出與a，b，c相等的向量_.【解】(1)滿足條件的向量有23個(2)長度與a的長度相等，方向相反的向量有，.(3)與a共線的向量有，.(4)與a相等的有，；與b相等的有，；與c

12、相等的有，.【答案】(1)23(2)，(3)，(4)與a相等的有，；與b相等的有，；與c相等的有，5在如圖216所示的坐標紙上(每個小方格邊長為1)，用直尺和圓規(guī)畫出下列向量：圖216(1)，使|4，點A在點O北偏東45；，使|4，點B在點A正東；，使|6，點C在點B北偏東30. 【導學號：】【解】(1)由于點A在點O北偏東45處，所以在坐標紙上點A距點O的橫向小方格數與縱向小方格數相等又|4，小方格邊長為1，所以點A距點O的橫向小方格數與縱向小方格數都為4，于是點A位置可以確定，畫出向量如圖所示(2)由于點B在點A正東方向處，且|4，所以在坐標紙上點B距點A的橫向小方格數為4，縱向小方格數為

13、0，于是點B位置可以確定，畫出向量如圖所示(3)由于點C在點B北偏東30處，且|6，依據勾股定理可得：在坐標紙上點C距點B的橫向小方格數為3，縱向小方格數為35.2，于是點C位置可以確定，畫出向量如圖所示我還有這些不足：(1)(2)我的課下提升方案：(1)(2)學業(yè)分層測評(十四)向量的概念及表示(建議用時：45分鐘)學業(yè)達標一、填空題1已知非零向量ab，若非零向量ca，則c與b必定_【解析】平行向量主要考慮方向相同或相反，依題意可知，c，b同向或者反向，所以c與b必定平行(或共線)【答案】平行(或共線)2如圖(1)，某人想要從點A出發(fā)繞陰影部分走一圈，他可按圖(2)中提供的向量行走，則這些向

14、量的排列順序為_圖217【答案】aedcb3已知a，b為兩個向量，給出以下4個條件：|a|b|；a與b的方向相反；|a|0或|b|0；a與b都是單位向量由條件_一定可以得到a與b平行【解析】長度相等或都是單位向量不能得到ab，但方向相反或其中一個為零向量可以說明ab.故填.【答案】4已知A，B，C是不共線的三點，向量m與向量是平行向量，與是共線向量，則m_.【解析】與不共線，且m，m，m0.【答案】05如圖218所示，已知AD3，B，C是線段AD的兩個三等分點，分別以圖中各點為起點和終點，模長度大于1的向量有_圖218【解析】滿足條件的向量有以下幾類：模長為2的向量有：，；模長為3的向量有：，

15、.【答案】，6給出以下5個條件：ab；|a|b|；a與b的方向相反；|a|0或|b|0；a與b都是單位向量其中能使a與b共線的是_(填所有正確的序號)【解析】根據相等向量一定是共線向量知正確；|a|b|但方向可以任意，不成立；a與b反向必平行或重合，成立；由|a|0或|b|0，得a0或b0.根據0與任何向量共線，得成立；兩單位向量的模相等但方向不定，不成立【答案】7如圖219，四邊形ABCD是平行四邊形，E，F(xiàn)分別是AD與BC的中點，則在以A，B，C，D四點中的任意兩點為始點和終點的所有向量中，與向量方向相反的向量為_圖219【解析】ABEF，CDEF，與方向相反的向量為，.【答案】，8如圖2

16、110所示，四邊形ABCD和四邊形ABDE都是平行四邊形圖2110(1)與向量相等的向量有_；(2)若|3，則向量的模等于_【解析】相等向量既模相等，又方向相同，所以與相等的向量有，.若|3，則|3，所以，|236.【答案】(1)，(2)6二、解答題9一輛消防車從A地去B地執(zhí)行任務，先從A地向北偏東30方向行駛2千米到D地，然后從D地沿北偏東60方向行駛6千米到達C地，從C地又向南偏西30方向行駛2千米才到達B地圖2111(1)在如圖2111所示的坐標系中畫出，；(2)求B地相對于A地的方位. 【導學號：】【解】(1)向量，如圖所示(2)由題意知，AD綊BC，則四邊形ABCD為平行四邊形，則B

17、地相對于A地的方位是“北偏東60，6千米”10如圖2112所示，O為正方形ABCD對角線的交點，四邊形OAED，OCFB都是正方形圖2112(1)寫出與相等的向量；(2)寫出與共線的向量；(3)向量與是否相等？【解】(1)與相等的向量有：，.(2)與共線的向量有：，.(3)向量與不相等，因為與的方向相反，所以它們不相等能力提升1已知在邊長為2的菱形ABCD中，ABC60，則|_ .【解析】結合菱形的性質可知|22.【答案】22如圖2113所示，四邊形ABCD是邊長為3的正方形，把各邊三等分后，連結相應分點，共有16個交點，從中選取2個交點組成向量，則與平行且長度為2的向量個數有_圖2113【解析】圖中共有4個邊長為2的正方形，每個正方形中有符合條件的向量2個(它們分別是連接左下和右上頂點的向量，方向相反)，故滿足條件的向量共有8個【答案】8個3如圖2114所示，已知四邊形ABCD是矩形，O為對角線AC與BD的交點，設點集MO，A，B，C，D，向量的集合T|P，QM，且P，Q不相等，則集合T有_個元素圖2114【解析】以矩形ABCD的四個頂點及它的對角線交點O五點中的任一點為起點，其余四點中的一個點為終點