四年級奧林匹克數(shù)學基礎資料庫 第15講 盈虧問題與比較法（二）

1、第15講 盈虧問題與比較法（二）有些問題初看似乎不像盈虧問題，但將題目條件適當轉化，就露出了盈虧問題的“真相”。例1 某班學生去劃船，如果增加一條船，那么每條船正好坐6人；如果減少一條船，那么每條船就要坐9人。問：學生有多少人？分析：本題也是盈虧問題，為清楚起見，我們將題中條件加以轉化。假設船數(shù)固定不變，題目的條件“如果增加一條船”表示“如果每船坐6人，那么有6人無船可坐”；“如果減少一條船”表示“如果每船坐9人，那么就空出一條船”。這樣，用盈虧問題來做，盈虧總額為69=15（人），兩次分配的差為963（人）。解：（69）（96）5（條），656=36（人）。答：有36名學生。例2 少先隊員植

2、樹，如果每人挖5個坑，那么還有3個坑無人挖；如果其中2人各挖4個坑，其余每人挖6個坑，那么恰好將坑挖完。問：一共要挖幾個坑？分析：我們將“其中2人各挖4個坑，其余每人挖6個坑”轉化為“每人都挖6個坑，就多挖了4個坑”。這樣就變成了“典型”的盈虧問題。盈虧總額為437（個）坑，兩次分配數(shù)之差為651（個）坑。解：3（6-4）2（6-5）7（人）57338（個）。答：一共要挖38個坑。例3在橋上用繩子測橋離水面的高度。若把繩子對折垂到水面，則余8米；若把繩子三折垂到水面，則余2米。問：橋有多高？繩子有多長？分析與解：因為把繩子對折余8米，所以是余了82=16（米）；同樣，把繩子三折余2米，就是余了

3、326（米）。兩種方案都是“盈”，故盈虧總額為166=10（米），兩次分配數(shù)之差為3-21（折），所以橋高（82-23）（3-2）10（米），繩子的長度為2108236（米）。例4有若干個蘋果和若干個梨。如果按每1個蘋果配2個梨分堆，那么梨分完時還剩2個蘋果；如果按每3個蘋果配5個梨分堆，那么蘋果分完時還剩1個梨。問：蘋果和梨各有多少個？分析與解：容易看出這是一道盈虧應用題，但是盈虧總額與兩次分配數(shù)之差很難找到。原因在于第一種方案是1個蘋果“搭配”2個梨，第二種方案是3個蘋果“搭配”5個梨。如果將這兩種方案統(tǒng)一為1個蘋果“搭配”若干個梨，那么問題就好解決了。將原題條件變?yōu)椤?個蘋果搭配2個梨，

4、缺4個梨；有梨152-426（個）。例5樂樂家去學校上學，每分鐘走50米，走了2分鐘后，發(fā)覺按這樣的速度走下去，到學校就會遲到8分鐘。于是樂樂開始加快速度，每分鐘比原來多走10米，結果到達學校時離上課還有5分鐘。問：樂樂家離學校有多遠？分析與解：樂樂從改變速度的那一點到學校，若每分鐘走50米，則要遲到8分鐘，也就是到上課時間時，他離學校還有508400（米）；若每分鐘多走10米，即每分鐘走60米，則到達學校時離上課還有5分鐘，如果一直走到上課時間，那么他將多走（5010）5300（米）。所以盈虧總額，即總的路程相差400300700（米）。兩種走法每分鐘相差10米，因此所用時間為7001070

5、（分），也就是說，從樂樂改變速度起到上課時間有70分鐘。所以樂樂家到學校的距離為50（2708）4000（米），或 50260（705）4000（米）。例6王師傅加工一批零件，每天加工20個，可以提前1天完成。工作4天后，由于改進了技術，每天可多加工5個，結果提前3天完成。問：這批零件有多少個？分析與解：每天加工20個，如果一直加工到計劃時間，那么將多加工20個零件；改進技術后，如果一直加工到計劃時間，那么將多加工（205）375（個）。盈虧總額為752055（個）。兩種加工的速度比較，每天相差5個。根據(jù)盈虧問題的公式，從改進技術時到計劃完工的時間是55511（天），計劃時間為11415（天）

6、，這批零件共有20（151）280（個）。練習151.筑路隊計劃每天筑路720米，實際每天比原計劃多筑80米，這樣在完成規(guī)定任務的前三天，就只剩下1160米未筑。問：這條路共有多長？2.小紅家買來一籃桔子，分給全家人。如果其中二人每人分4只，其余每人分2只，那么多出4只；如果一人分6只，其余每人分4只，那么缺12只。問：小紅家買來多少只桔子？小紅家共有幾人？3.食堂采購員小李去買肉，如果買牛肉18千克，那么差4元；如果買豬肉20千克，那么多2元。已知牛肉、豬肉每千克差價8角，求牛肉、豬肉每千克各多少錢。4.李老師給小朋友分蘋果和桔子，蘋果數(shù)是桔子數(shù)的2倍。桔子每人分3個，多4個；蘋果每人分7個，少5個。問：有多少個小朋友？多少個蘋果和桔子？5.用繩子測量井深。如果把繩子三折垂到水面，余7米；如果把繩子5折垂到水面，余1米。求繩長與井深。6.老師給幼兒園小朋友分蘋果。每兩人三個蘋果，多兩個蘋果