正交試驗設(shè)計的方差分析.ppt

1、正交試驗設(shè)計的方差分析,一.方差分析的意義 前面我們介紹了正交設(shè)計方案及其結(jié)果的直觀分析，該方法簡單明了，通俗易懂，計算工作量少，便于普及和推廣。但直觀分析方法不能把實驗中由于實驗條件的改變而引起的數(shù)據(jù)波動同實驗誤差引起的數(shù)據(jù)波動區(qū)分開來，也就是說，不能區(qū)分因素各水平所對應(yīng)的實驗結(jié)果間的差異，究竟是由于因素水平不同引起的，還是由于實驗誤差引起的。,為了彌補直觀分析方法的不足，可采用方差分析方法對實驗結(jié)果進行計算分析。所謂方差分析就是將因素水平(或交互作用)的變化引起的實驗結(jié)果間的差異與誤差的波動所引起的實驗結(jié)果間的差異區(qū)分開來的一種數(shù)學方法。 方差分析的中心要點是：把實驗數(shù)據(jù)總的波動分解成兩部

2、分，一部分反映因素水平變化引起的波動，另一部分反映實驗誤差引起的波動。即把數(shù)據(jù)總的偏差平方和(S總)分解為因素的偏差平方和(SA、SB、SC)與誤差的偏差平方和(Se)，并計算它們的平均偏差平方和(也稱均方和，或均方)，然后進行檢驗，最后得出方差分析表。,二.方差分析中的一些基本概念1.偏差平方和 方差分析的關(guān)鍵是對偏差平方和的分解，因此，充分理解這一概念是至關(guān)重要的。 所謂偏差平方和是指一組數(shù)據(jù)中，各個數(shù)(y1, y2, y3yn)與它們的算術(shù)平均數(shù)y之差的平方和。用符號S來表示。即：,則,為了計算方便，上式可簡化為一種更常見的形式：,若令：,則,偏差平方和(S)反映了該組數(shù)據(jù)的分散或集中程

3、度。顯然，S越大，該組數(shù)據(jù)越分散；反之，S越小，說明該組數(shù)據(jù)越集中。2.平均偏差平方和與自由度為了合理地比較由不同個數(shù)所組成的兩組數(shù)據(jù)的分散或集中的程度，通常采用平均偏差平方和(簡稱均方和)平均偏差平方和的計算方法是：將n個數(shù)(y1, y2, y3, yn)的偏差平方和 除以平方項的個數(shù)減1，即除以(n-1)，就得到平均偏差平方和。,為什么不除以n而要除以(n-1)呢？這是因為n個數(shù)(y1, y2, y3, yn)之間并非彼此毫無關(guān)系，它們滿足的關(guān)系是：,即n個數(shù)之和的均值為一定值，因此，n個數(shù)中只有(n-1)個可“自由”變動，所以，求平均偏差平方和時除以(n-1)，數(shù)學上將這個(n-1)稱為

4、S的自由度。 當實驗所測得的n個數(shù)(y1, y2, y3, yn)數(shù)值較大時，為了簡化計算，可將每一個原始數(shù)據(jù)yi(i=1, 2, 3n)都減去同一個常數(shù)C，這并不影響偏差平方和的計算結(jié)果，但計算的工作量卻簡化了許多。,上述推論可通過以下簡單換算予以證明。若令Xi=yi-C (i=1, 2, n),則,于是,3. F比與F分布表(1) F比 F比是指因素水平的改變引起的平均偏差平方和與誤差的平均偏差平方和的比值。即：,(2) F分布表及其查閱方法 為了判斷F比值的大小所表明的物理意義(即F比值多大時，可以認為實驗結(jié)果的差異主要是由因素水平的改變所引起的；其值多小時，可以認為實驗結(jié)果的差異主要是

5、由實驗誤差所引起的)，這就需要有一個標準來衡量F比值，此標準就是根據(jù)統(tǒng)計數(shù)學原理編制的F分布表，F(xiàn)分布表列出了各種自由度情況下F比的臨界值。,在F分布表上橫行(n1：1, 2, 3)代表F比中分子的自由度；豎行(n2：1, 2, 3)代表F比中分母的自由度；表中的數(shù)值即各種自由度情況下F比的臨界值。 例如，某因素A的偏差平方和的自由度fA=1，誤差(e)的偏差平方和的自由度fe=8，查得F0.1(1,8)=3.64，這里0.1是信度。 在判斷時(如判斷因素A的水平的改變對實驗結(jié)果是否有顯著影響)，信度a是指我們對做出的判斷有多大的把握，若a=5%，那就是指當FAF0.05(fA, fe )時，

6、大概有95%的把握判斷因素A的水平改變對實驗結(jié)果有顯著影響。對于不同的信度a，有不同的F分布表，常用的有a=1%， a=5%， a=10%等。根據(jù)自由度的大小，可在各種信度的F表上查得F比的臨界值，分別記作F0.01(n1, n2 )， F0.05(n1, n2 )， F0. 10 (n1, n2 )等。,4.因素的顯著性判斷設(shè)因素A的F比為FA： 當FA F0. 01 (n1, n2 )時，說明該因素水平的改變對實驗結(jié)果有很顯著的影響，記作*。 當FA F0. 05 (n1, n2 )時，說明該因素水平的改變對實驗結(jié)果有顯著的影響，記作*。 當FA F0. 10 (n1, n2 )時，說明該

7、因素水平的改變對實驗結(jié)果有一定的影響，記作O。,三.正交試驗設(shè)計的方差分析 現(xiàn)以實驗室制取H2為例，來說明正交設(shè)計的方差分析的基本方法。若該實驗所考察的因素、水平如表1和表2所示。,表1. 因素水平,表2.實驗方案及實驗結(jié)果的直觀分析,上述正交試驗設(shè)計所獲得的數(shù)據(jù)，從直觀分析的角度來看，提供給我們?nèi)缦掠杏玫男畔ⅲ旱谝唬簭臉O差值的大小可以判斷各個因素對實驗指標影響的主次關(guān)系，即： 主-次 AwH2SO4 CmZn BmCuSO45H2O 但是，極差值僅僅反映了各因素影響實驗指標的主次關(guān)系，它不能告訴我們各個因素對實驗指標影響的程度。也就是說，它既不能指明這些因素中哪個是影響實驗指標的關(guān)鍵因素，也

8、不能提供一個標準，用來考察、判斷各個因素的作用是否顯著。,第二：就因素A而言(因素B、C也類同)，其中k1、k2、k3值之間的差異是如何產(chǎn)生的？是由于A因素水平不同引起的呢？還是由于實驗誤差所造成的呢？還是兩者綜合作用的結(jié)果？從直觀分析角度是無法說清楚的。 正是由于直觀分析存在著上述的缺點，所以需要采用方差分析的方法來彌補上述的不足。1.單因素實驗的方差分析 為了便于討論，我們?nèi)砸詫嶒炇抑迫2的因素之一-A因素(硫酸的質(zhì)量分數(shù))為例，來說明單個因素的實驗數(shù)據(jù)的方差分析方法。,方差分析是把實驗數(shù)據(jù)總的波動(即數(shù)據(jù)的總的偏差平方和S總)分解成兩部分：一部分反映因素水平變化引起的波動(即因素的偏差

9、平方和)，對本例而言僅為S wH2SO4；另一部分反映實驗誤差引起的波動(即誤差的偏差平方和Se)。即：(1) Se的計算,表3.實驗結(jié)果分析,若以S1表示A1水平下實驗誤差所引起的波動，其值應(yīng)為：S1=(32.62-34.74)2+(34.97-34.74)2+(36.62-34.74)2=8.0870。同理可以求出A2 、A3水平下實驗誤差所引起的波動，其值分別為S2=7.8389，S3=11.7875則，A因素的各個水平下總的偏差平方和應(yīng)為： Se= S1+ S2+ S3=8.0870+7.8389+11.7875=27.71(2) S總的計算總的偏差平方和S總是指全部實驗數(shù)據(jù)中，每個數(shù)

10、據(jù)(yi)與總平均值(y總)之差的平方和，即：,由表3知:y總=1/9(32.62+34.97+36.62+40.40+44.53)=39.08則：S總=(32.62-39.08)2+(34.97-39.08)2+(44.53-39.08)2=151.08 S總反映了實驗數(shù)據(jù)總的波動情況，如果硫酸質(zhì)量分數(shù)水平的改變對實驗指標不發(fā)生影響，而且實驗中也沒有誤差產(chǎn)生的話，那么全部實驗數(shù)據(jù)理應(yīng)都一樣，即S總應(yīng)等于零，但情況并非如此。,(3) S wH2SO4 (SA)的計算對于因素A來講，當它取一水平時，3次實驗(即1、4、7實驗)結(jié)果的均值(y)應(yīng)為：y1=1/3(y1+y4+y7)=1/3(32.

11、62+34.93+36.62)=34.74y1代表了3次一水平實驗對H2產(chǎn)率的影響。同理： y2=1/3(y2+y5+y8)=38.71 y3=1/3(y3+y6+y9)=43.78y2、y3分別代表了3次二水平和三水平實驗對H2產(chǎn)率的影響。因此，因素水平變化所引起的波動，即因素A的偏差平方和SA應(yīng)為： SA=(yi-y總)2= (34.74-39.08)2+(38.71-39.08)2+(43.78-39.08)2=123.37 上述計算結(jié)果我們可以通過S總=SA+ Se式來檢驗SA和 Se計算正確與否。,(4)自由度和平均偏差平方和的計算 為了消除個數(shù)不同對實驗指標所產(chǎn)生的影響，應(yīng)采用平均

12、偏差平方和，其計算公式為：因素A的平均偏差平方和=SA/fA誤差的平均偏差平方和=Se/fe式中SA、Se分別代表因素A和誤差的偏差平方和fA=A因素的水平數(shù)-1，它代表SA的自由度fe=f總-fA，它代表Se的自由度 f總=總的實驗次數(shù)-1，它代表S總的自由度在本例中f總=9-1=8，fA=3-1=2， fe=8-2=6,(5) F值的計算及因素顯著性的檢驗 因素水平的變化引起的平均偏差平方和與誤差的平均偏差平方和的比值稱為F值，即：,用F值的大小來判斷因素水平對實驗指標的影響。顯然，只有當比值大于1時，才能表明因素水平的改變對實驗指標的影響，即超過了實驗誤差所產(chǎn)生的影響。,為了判斷因素對實

13、驗結(jié)果形象的顯著性的大小，須將計算得到的F值與從F分布表上查到的相應(yīng)臨界值進行比較。當F值大于臨界值時，表明該因素對實驗結(jié)果影響顯著。就本例而言：FA=(123.37/2)/(27.71/6)=13.36查F檢驗的臨界值表可知： F0.10(2, 6)=3.46， F0.05(2, 6)=5.14， F0.01(2, 6)=10.9由于FA F0.10(2, 6)，所以我們可以認為，有99%以上的把握判斷因素A的水平改變對實驗結(jié)果有極為顯著的影響，以“*”標記。由此可得出如下結(jié)論：對10minH2產(chǎn)率的影響是由硫酸濃度的差異所引起的。,2.多因素實驗的方法分析 和單因素實驗的情況一樣，多因素實

14、驗方差分析的目的仍然是將實驗誤差所引起的結(jié)果與實驗條件的改變(即各因素水平的改變)所引起的結(jié)果區(qū)分開來，以便能抓住問題的實質(zhì)，此外，多因素實驗的方差分析還要將影響實驗結(jié)果的主要因素和次要因素區(qū)分開來，以便集中力量研究主要因素。我們?nèi)砸詫嶒炇抑迫2為例，來闡明多因素單指標實驗方差分析的基本步驟。,(1)因素的偏差平方和的計算,自由度f=3-1=2，為了簡化計算，上式可寫為,其中CT=G2/n,則,將數(shù)據(jù)帶入上式,CT=G2/9=(351.68)2/9=13742.09,SA=(104.212+116.122+131.352)/3-(13742.09)/9=123.37,同理，可以計算出因素B和

15、因素C的偏差平方和SB、SC(其自由度fB=fC=3-1=2)，SB=6.51，SC=15.77， SA、SB、SC反映了因素A、B、C的3個水平所引起的實驗結(jié)果的差異。,(2)誤差的偏差平方和的計算 對于誤差的偏差平方和(Se)，可用正交表中未安排因素的空白列的偏差平方和來計算。因為空白列未安排因素，它們的偏差平方和中不包括因素水平的變化所引起的實驗結(jié)果的誤差，僅僅反映了實驗誤差的大小。本例中：Se= SD=(K12+K22+K32)/3-CT=5.43誤差的自由度：fe=f總-fA-fB-fC=(9-1)-2-2-2=2應(yīng)當指出，當正交表中空白列不是一列時，可將空白列的S值相加作為誤差的估計值。,(3)因素的顯著性檢驗分別計算出因素A、B、C的F值：,查F分布表可知：F0.10(2, 2)=9.00 ，F(xiàn)0.05(2, 2)=19.0 F0.01(2,