高中數(shù)學(xué) 第一章 常用邏輯用語 1.1 命題導(dǎo)學(xué)案 北師大版選修

1、1.1 命題學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解命題的概念及命題的構(gòu)成，會判斷一個命題的真假.2.理解四種命題及其關(guān)系，掌握互為逆否命題的等價關(guān)系及真假判斷.知識點一命題的概念思考1給出下列語句：若直線ab，則直線a和直線b無公共點；367；偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱；5能被4整除.請你找出上述語句的特點.答案上述語句有兩個特點：都是陳述句；能夠判斷真假.梳理(1)定義可以判斷真假、用文字或符號表述的語句叫作命題.(2)分類真命題：判斷為真的語句叫作真命題；假命題：判斷為假的語句叫作假命題.知識點二命題的形式思考1你能把“內(nèi)錯角相等”寫成“若，則”的形式嗎？答案若兩個角為內(nèi)錯角，則這兩個角相等.思考2“內(nèi)錯角相等”

2、是命題嗎？如果是命題，是真命題還是假命題？答案是命題，是假命題.梳理命題的形式：“若p，則q”，其中命題的條件是p，結(jié)論是q.由p能推出q，則為真命題.能舉一反例即可確定為假命題.知識點三四種命題的概念思考給出以下四個命題：(1)當(dāng)x2時，x23x20；(2)若x23x20，則x2；(3)若x2，則x23x20；(4)若x23x20，則x2.你能說出命題(1)與其他三個命題的條件與結(jié)論有什么關(guān)系嗎？答案命題(1)的條件和結(jié)論與命題(2)的條件和結(jié)論恰好互換了.命題(1)的條件與結(jié)論恰好是命題(3)條件的否定和結(jié)論的否定.命題(1)的條件和結(jié)論恰好是命題(4)結(jié)論的否定和條件的否定.梳理一般地，

3、對于兩個命題，如果一個命題的條件與結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件，那么把這兩個命題叫作互逆命題.如果是另一個命題條件的否定和結(jié)論的否定，那么把這兩個命題叫作互否命題.如果是另一個命題結(jié)論的否定和條件的否定，那么把這兩個命題叫作互為逆否命題.把第一個叫作原命題時，另三個可分別稱為原命題的逆命題、否命題、逆否命題.知識點四四種命題的關(guān)系及其真假判斷思考1原命題的否命題與原命題的逆否命題之間是什么關(guān)系？原命題的逆命題與其逆否命題之間是什么關(guān)系？原命題的逆命題與其否命題呢？答案互逆、互否、互為逆否.思考2如果原命題是真命題，它的逆命題是真命題嗎？它的否命題呢？它的逆否命題呢？答案原命題為真，其逆命題

4、不一定為真，其否命題不一定為真，其逆否命題一定是真命題.梳理(1)四種命題的相互關(guān)系(2)在原命題的逆命題、否命題、逆否命題中，一定與原命題真假性相同的是逆否命題.(3)兩個命題互為逆命題或互為否命題時，它們的真假性沒有關(guān)系.類型一命題的概念例1下列語句：(1)是無限循環(huán)小數(shù)；(2)x23x20；(3)當(dāng)x4時，2x0；(4)垂直于同一條直線的兩條直線必平行嗎？(5)一個數(shù)不是合數(shù)就是素數(shù)；(6)作ABCABC；(7)二次函數(shù)的圖像太美了！(8)4是集合1，2，3中的元素.其中是命題的是_.(填序號)答案(1)(3)(5)(8)解析本題主要考查命題的判斷，判斷依據(jù)：一是陳述句；二是看能否判斷真

5、假.(1)是命題，能判斷真假；(2)不是命題，因為語句中含有變量x，在沒給變量x賦值前，我們無法判斷語句的真假；(3)是命題；(4)不是命題，因為并沒有對垂直于同一條直線的兩條直線是否平行作出判斷；(5)是命題；(6)不是命題；(7)不是命題；(8)是命題.故答案為(1)(3)(5)(8).反思與感悟一般地，判定一個語句是不是命題，要先判斷這個語句是不是陳述句，再看能不能判斷真假.其流程圖如圖：跟蹤訓(xùn)練1下列語句中，是命題的為_.紅豆生南國；作射線AB；中國領(lǐng)土不可侵犯！當(dāng)x1時，x23x20.答案解析和都不是陳述句，根據(jù)命題定義可知是命題.類型二四種命題及其相互關(guān)系命題角度1四種命題的概念例

6、2寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題，并判斷它們的真假.(1)若mnb，則AB.解(1)逆命題：若方程mx2xn0有實數(shù)根，則mn0且n0，則mn0，真命題.逆否命題：若mn0，則m0且n0，假命題.(4)逆命題：在ABC中，若AB，則ab，真命題.否命題：在ABC中，若ab，則AB，真命題.逆否命題：在ABC中，若AB，則ab，真命題.反思與感悟四種命題的轉(zhuǎn)換方法(1)交換原命題的條件和結(jié)論，所得命題是原命題的逆命題.(2)同時否定原命題的條件和結(jié)論，所得命題是原命題的否命題.(3)交換原命題的條件和結(jié)論，并且同時否定，所得命題是原命題的逆否命題.跟蹤訓(xùn)練2命題“若函數(shù)f(x)logax

7、(a0，a1)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)，則loga20”的逆否命題是()A.若loga20，a1)在其定義域內(nèi)不是減函數(shù)B.若loga20，則函數(shù)f(x)logax(a0，a1)在其定義域內(nèi)不是減函數(shù)C.若loga20，a1)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)D.若loga20，則函數(shù)f(x)logax(a0，a1)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)答案B解析直接根據(jù)逆否命題的定義，將其條件與結(jié)論進(jìn)行否定，再互換，值得注意的是“是減函數(shù)”的否定不能寫成“是增函數(shù)”，而應(yīng)寫成不是減函數(shù).命題角度2四種命題的相互關(guān)系例3若命題p：“若xy0，則x，y互為相反數(shù)”的否命題為q，命題q的逆命題為r，則r與p的逆命題的關(guān)系是()A.互

8、為逆命題B.互為否命題C.互為逆否命題D.同一命題答案B解析已知命題p：若xy0，則x，y互為相反數(shù).命題p的否命題q為：若xy0，則x，y不互為相反數(shù)，命題q的逆命題r為：若x，y不互為相反數(shù)，則xy0，r是p的逆否命題，r是p的逆命題的否命題，故選B.反思與感悟(1)判斷四種命題之間四種關(guān)系的兩種方法利用四種命題的定義判斷；巧用“逆、否”兩字進(jìn)行判斷，如“逆命題”與“逆否命題”中不同有“否”一個字，是互否關(guān)系；而“逆命題”與“否命題”中不同有“逆、否”二字，其關(guān)系為逆否關(guān)系.(2)要判斷四種命題的真假：首先，要熟悉四種命題的相互關(guān)系，注意它們之間的相互性；其次，利用其他知識判斷真假時，一定

9、要對有關(guān)知識熟練掌握.跟蹤訓(xùn)練3有下列四個命題：“若xy0，則x，y互為相反數(shù)”的否命題；一個實數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)；“若x3，則x2x60”的否命題；“同位角相等”的逆命題.其中真命題的個數(shù)是_.答案1解析“若xy0，則x，y不是相反數(shù)”，是真命題.實數(shù)0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，所以原命題是假命題.“若x3，則x2x60”，解不等式x2x60可得2x3，而x43不是不等式的解，故是假命題.“相等的角是同位角”，是假命題.類型三等價命題的應(yīng)用例4判斷命題“已知a，x為實數(shù)，若關(guān)于x的不等式x2(2a1)xa220的解集非空，則a1”的逆否命題的真假.解方法一原命題的逆否命題：已知a，x為實數(shù)，若

10、a1，則關(guān)于x的不等式x2(2a1)xa220的解集為，判斷如下：拋物線yx2(2a1)xa22的開口向上，令x2(2a1)xa220，則(2a1)24(a22)4a7.因為a1，所以4a70的解集為R，則a0的解集為R，且拋物線yx2(2a1)xa22的開口向上，所以(2a1)24(a22)4a70，所以ab，則ac2bc2(a，b，cR)”與它的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個數(shù)為()A.0 B.2C.3 D.4答案B解析命題“若ab，則ac2bc2(a，b，cR)”是假命題，則其逆否命題是假命題.該命題的逆命題為“若ac2bc2，則ab(a，b，cR)”是真命題，則其否命題是真命題

11、.故選B.5.給出以下命題：“若x2y20，則x、y不全為零”的否命題；“正多邊形都相似”的逆命題；“若m0，則x2xm0有實根”的逆否命題.其中為真命題的是_.答案解析否命題是“若x2y20，則x，y全為零”，真命題.逆命題是“若兩個多邊形相似，則這兩個多邊形為正多邊形”，假命題.14m，當(dāng)m0時，0，x2xm0有實根，即原命題為真.逆否命題為真.1.可以判斷真假的陳述句是命題，命題的條件與結(jié)論之間屬于因果關(guān)系，真命題可以給出證明，假命題只需舉出一個反例即可.2.任何命題都是由條件和結(jié)論構(gòu)成的，可以寫成“若p，則q”的形式.含有大前提的命題寫成“若p，則q”的形式時，大前提應(yīng)保持不變.3.寫

12、四種命題時，可以按下列步驟進(jìn)行：(1)找出命題的條件p和結(jié)論q；(2)寫出條件p的否定和結(jié)論q的否定；(3)按照四種命題的結(jié)構(gòu)寫出所有命題.4.判斷命題的真假可以根據(jù)互為逆否的命題真假性相同來判斷，這也是反證法的理論基礎(chǔ).40分鐘課時作業(yè)一、選擇題1.下列語句中，不能成為命題的是()A.512B.x0C.已知a、b是平面向量，若ab，則ab0D.三角形的三條中線交于一點答案B解析A是假命題，C、D是真命題，B中含變量x，未指定x的取值范圍，無法判斷真假，故不是命題.2.下列說法正確的是()A.命題“直角相等”的條件和結(jié)論分別是“直角”和“相等”B.語句“最高氣溫30時我就開空調(diào)”不是命題C.命

13、題“對角線互相垂直的四邊形是菱形”是真命題D.語句“當(dāng)a4時，方程x24xa0有實根”是假命題答案D解析對于A，改寫成“若p，則q”的形式應(yīng)為“若有兩個角是直角，則這兩個角相等”；B所給語句是命題；C的反例可以是“用邊長為3的等邊三角形與底邊為3，腰為2的等腰三角形拼成的四邊形不是菱形”來說明.故選D.3.已知命題“若ab0，則a0或b0”，則下列結(jié)論正確的是()A.真命題，否命題：“若ab0，則a0或b0”B.真命題，否命題：“若ab0，則a0且b0”C.假命題，否命題：“若ab0，則a0或b0”D.假命題，否命題：“若ab0，則a0且b0”答案B解析“若a0且b0，則ab0”是真命題，又“

14、若a0且b0，則ab0”是“若ab0，則a0或b0”的逆否命題，故原命題為真命題.已知命題的否命題是“若ab0，則a0且b0”.4.下列命題中為真命題的是()A.命題“若x2 016，則x0”的逆命題B.命題“若xy0，則x0或y0”的逆否命題C.命題“若x2x20，則x1”D.命題“若x21，則x1”的逆否命題答案B解析A選項，“若x2 016，則x0”的逆命題為“若x0，則x2 016”是假命題；B選項，“若xy0，則x0或y0”的逆否命題為“若x0且y0，則xy0”是真命題；C選項，由x2x20，得x1或x2，故C是假命題；D選項，“若x21，則x1”是假命題，故其逆否命題是假命題.5.

15、若命題p的否命題為q，命題p的逆否命題為r，則q與r的關(guān)系是()A.互逆命題 B.互否命題C.互為逆否命題 D.以上都不正確答案A6.已知命題“若a，b，c成等比數(shù)列，則b2ac”，在它的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個數(shù)是()A.0 B.1 C.2 D.3答案B解析命題“若a，b，c成等比數(shù)列，則b2ac”是真命題，故其逆否命題是真命題.該命題的逆命題為“若b2ac，則a，b，c成等比數(shù)列”是假命題，故其否命題也是假命題，故選B.7.下列命題：(1)若“a2b2，則a0的解集為R”的逆否命題；(4)“若x(x0)為有理數(shù)，則x為無理數(shù)”.其中正確的命題是()A.(3)(4) B.(1)

16、(3)C.(1)(2) D.(2)(4)答案A解析對于(1)，逆命題是“若ab，則a2b2”，易知是假命題；對于(2)，否命題是“若兩個三角形不全等，則這兩個三角形的面積不相等”，易知是假命題；對于(3)，結(jié)論成立的條件是a0或故a0，原命題與其逆否命題真假性相同，所以(3)正確；對于(4)，若x為有理數(shù)，則x必為無理數(shù)，因為x為有理數(shù)，故x為無理數(shù)，則(4)正確，故選A.二、填空題8.已知命題：線段的垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等.若把上述命題改為“若p，則q”的形式，則p是_，q是_.答案一個點在線段的垂直平分線上這個點到線段的兩個端點的距離相等9.已知命題p的逆命題是“若實

17、數(shù)a，b滿足a1且b2，則ab4”，則命題p的否命題是_.答案若實數(shù)a，b滿足ab4，則a1或b2解析由命題p的逆命題與其否命題互為逆否命題可得.10.在命題“若拋物線yax2bxc的開口向下，則x|ax2bxc0，則方程x22xk0有實數(shù)根；若xy8，則x2或y6；“矩形的對角線相等”的逆命題；“若xy0，則x，y中至少有一個為零”的否命題.其中真命題的序號是_.答案解析44(k)44k0，是真命題.其逆否命題為真，故是真命題.逆命題：“對角線相等的四邊形是矩形”是假命題.否命題：“若xy0，則x，y都不為零”是真命題.三、解答題12.判斷命題：“若b1，則關(guān)于x的方程x22bxb2b0有實根”的逆否命題的真假.解方法一因為原命題與逆否命題真假性一致，所以只需判斷原命題的真假即可.方程判別式為4b24(b2b)4b，因為b1，所