高中數(shù)學 第2章 平面向量章末分層突破學案 蘇教版必修

1、第2章 平面向量章末分層突破自我校對坐標平行四邊形|a|cos 向量的線性運算向量的線性運算包括向量的加法運算、減法運算及數(shù)乘運算，其中平面向量基本定理及向量共線定理是考查的重點，解題時要結合圖形靈活構造三角形或平行四邊形如圖21所示，在ABC中，點M為AB的中點，且，與相交于點E，設a，b，試以a，b為基底表示.圖21【精彩點撥】先由C，E，M三點共線(1)，由B，E，N三點共線(1)，再由，不共線求，的值【規(guī)范解答】b，a，由N，E，B三點共線知存在實數(shù)滿足(1)b(1)a.由C，E，M三點共線知存在實數(shù)滿足(1)a(1)b.解得ab.再練一題1已知a(1,2)，b(3,2)，若ka2b與

2、2a4b平行，求實數(shù)k的值【解】ka2b(k6,2k4)，2a4b(14，4)，由(ka2b)(2a4b)得(k6)(4)(2k4)140，解得k1.向量的數(shù)量積運算數(shù)量積的運算是向量運算的核心，利用向量的數(shù)量積可以解決以下問題：1設a(x1，y1)，b(x2，y2)，平行問題abx1y2x2y10垂直問題abx1x2y1y202.求向量的模及夾角問題，(1)設a(x，y)，則|a|2x2y2或|a|；(2)兩向量a，b夾角的余弦(0)，cos .設向量a，b，且|4，AOB60.(1)求|ab|，|ab|；(2)求ab與a的夾角1，ab與a的夾角2.【精彩點撥】利用|ab|求解；利用cos

3、求夾角【規(guī)范解答】(1)|ab|2(ab)(ab)|a|22ab|b|216244cos 601648，|ab|4，|ab|2|a|22ab|b|216，|ab|4.(2)(ab)a|a|2ab1644cos 6024，cos 1.0，180，130.(ab)a|a|2ab1644cos 608，cos 2.20，180，260.再練一題2已知cmanb，c(2，2)，ac，b與c的夾角為，bc4，|a|2，求實數(shù)m，n的值及a與b的夾角【解】c(2，2)，|c|4，又ac，ac0.bc|b|c|cos |b|44，|b|2，又cmanb，c2macnbc，164n，n4.又acma2nab，

4、08m4ab.又bcmabnb2，mab12.由得m，ab2cos ，0，或.向量的應用平面向量的應用主要體現(xiàn)在兩個方面：一是在平面幾何中的應用，向量的加減運算、向量的相等、平行、數(shù)乘向量、距離、夾角和向量的數(shù)量積之間有密切的聯(lián)系，因此利用向量方法可以解決平面幾何中的相關問題；二是在物理學中的應用，主要解決力、位移、速度等問題如圖22，在等腰直角ABC中，角C是直角，CACB，D是CB的中點，E是AB上的一點，且AE2EB，求證：ADCE.圖22【精彩點撥】欲證ADCE，即證0.由于已有0，故考慮選此兩向量為基底，從而應用此已知條件另外，如果進一步考慮到此組基底是垂直關系，還可以建立直角坐標系

5、【規(guī)范解答】法一：記a，b，則ba，且ab0，|a|b|.因為ba.(ba)aba，所以b2a20.可得ADCE.法二：建立如圖所示的直角坐標系，不妨設ACBC2，則C(0,0)，A(2,0)，B(0,2)，因為D是CB的中點，則D(0,1)所以(2,1)，(2,2)又(2,0)(2,2)，所以(2,1)(2)0，因此ADCE.再練一題3.如圖23，在細繩O處用水平力F2緩慢拉起所受重力G的物體，繩子與鉛垂方向的夾角為，繩子所受到的拉力為F1，求：圖23(1)|F1|，|F2|隨角的變化而變化的情況(2)當|F1|2|G|時，角的取值范圍(3)當|F1|2|F2|時，求角的值【解】(1)由力的

6、平衡原理知，GF1F20，作向量F1，F(xiàn)2，G，則，四邊形OACB為平行四邊形，如圖由已知AOC，BOC，|，|tan .即|F1|，|F2|G|tan ，.由此可知，當從0逐漸增大趨向于時，|F1|，|F2|都逐漸增大(2)當|F1|2|G|時，有2|G|，cos ，又.(3)當|F1|2|F2|時，2|G|tan ，sin .數(shù)形結合思想平面向量的線性運算和數(shù)量積運算的定義及運算法則、運算律的推導中都滲透了數(shù)形結合思想引入向量的坐標表示，使向量運算代數(shù)化，將“數(shù)”和“形”緊密地結合起來運用數(shù)形結合思想可解決共線、平行、垂直、夾角、距離、面積等問題已知向量(2,0)，(2,2)，(cos ，

7、sin )，則與夾角的范圍是_【精彩點撥】結合的坐標給出點A的軌跡，并由直線與圓的知識求與夾角的范圍【規(guī)范解答】建立如圖所示的直角坐標系(2,2)，(2,0)，(cos ，sin )，點A的軌跡是以C(2,2)為圓心，為半徑的圓過原點O作此圓的切線，切點分別為M，N，連結CM，CN，如圖所示，則向量與的夾角范圍是MOB，NOB.|2，|，知COMCON，但COB.MOB，NOB，故，.【答案】再練一題4已知船在靜水中的速度大小為5 m/s，且船在靜水中的速度大小大于水流速度大小，河寬為20 m，船垂直到達對岸用的時間為5 s，則水流速度大小為_m/s.【解析】設船在靜水中的速度為v1，水流速度

8、為v2，船的實際速度為v3，建立如圖所示的平面直角坐標系|v1|5 m/s，|v3|4 m/s，則v3(0,4)，v1(3,4)，v2v3v1(0,4)(3,4)(3,0)|v2|3 m/s，即水流的速度大小為3 m/s.【答案】31(2015江蘇高考)已知向量a(2,1)，b(1，2)，若manb(9，8)(m，nR)，則mn的值為_【解析】manb(2mn，m2n)(9，8)，mn253.【答案】32(2015全國卷改編)已知點A(0,1)，B(3,2)，向量(4，3)，則向量_.【解析】方法一：設C(x，y)，則(x，y1)(4，3)，所以從而(4，2)(3,2)(7，4)方法二：(3,

9、2)(0,1)(3,1)，(4，3)(3,1)(7，4)【答案】(7，4)3(2015北京高考)在ABC中，點M，N滿足2，.若xy，則x_；y_.【解析】2，.，()，().又xy，x，y.【答案】4(2014江蘇高考)如圖24，在平行四邊形ABCD中，已知AB8，AD5，3，2，則的值是_圖24【解析】由3，得，.因為2，所以2，即222.又因為225，264，所以22.【答案】225(2016全國卷改編)已知向量a(1，m)，b(3，2)，且(ab)b，則m_.【解析】(方法1)因為a(1，m)，b(3，2)，所以ab(4，m2)因為(ab)b，所以(ab)b0，所以122(m2)0，解

10、得m8.(方法2)因為(ab)b，所以(ab)b0，即abb232m32(2)2162m0，解得m8.【答案】86(2016四川高考改編)在平面內，定點A，B，C，D滿足|，2，動點P，M滿足|1，則|2的最大值是_圖(1)【解析】法一：|，點A，B，C在以點D為圓心的圓上又2，兩兩夾角相等，均為120，如圖(1)所示設圓D的半徑為r，則rrcos 1202，r2.，M為PC的中點|1，點P在以點A為圓心，1為半徑的圓上由上知ABC為等邊三角形，邊長為2.設AC的中點為O，連接DO，OM，則點B，D，O三點共線，則|3，.2222931cos，3cos，3，當與同向時取等號，即|2的最大值是.

11、法二：|，點A，B，C在以點D為圓心的圓上2，兩兩夾角相等，均為120.由|2cos 1202，得|2.以D為坐標原點，DA所在直線為x軸建立平面直角坐標系如圖(2)所示，則B(1，)，C(1，)，A(2,0)圖(2)由知M為PC的中點|1，點P在以點A為圓心，1為半徑的圓上設點P的坐標為(2cos ，sin )，其中為以點A為頂點，以x軸正方向為始邊逆時針旋轉到AP所成的角，則M，|2.|2的最大值為.【答案】7(2016全國卷改編)已知向量，則ABC_.【解析】因為，所以.又因為|cosABC11cosABC，所以cosABC.又0ABC180，所以ABC30.【答案】308(2016天津

12、高考改編)已知ABC是邊長為1的等邊三角形，點D，E分別是邊AB，BC的中點，連接DE并延長到點F，使得DE2EF，則的值為_【解析】如圖所示，.又D，E分別為AB，BC的中點，且DE2EF，所以，所以.又，則()2222.又|1，BAC60，故11.【答案】9(2016山東高考改編)已知非零向量m，n滿足4|m|3|n|，cosm，n，若n(tmn)，則實數(shù)t的值為_【解析】n(tmn)，n(tmn)0，即tmn|n|20，t|m|n|cosm，n|n|20.又4|m|3|n|，t|n|2|n|20，解得t4.【答案】410(2016江蘇高考)如圖25，在ABC中，D是BC的中點，E，F(xiàn)是A

13、D上的兩個三等分點，4，1，則的值是_圖25【解析】由題意，得()()()()22|2|21，()()(3)(3)9229|2|24.由得|2，|2.()()(2)(2)4224|2|24.【答案】章末綜合測評(二)平面向量(時間120分鐘，滿分160分)一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分請把答案填寫在題中橫線上)1已知作用在點A(1,1)的三個力F1(3,4)，F(xiàn)2(2，5)，F(xiàn)3(3,1)，則合力FF1F2F3的終點坐標是_【解析】F(8,0)，終點坐標為(8,0)(1,1)(9,1)【答案】(9,1)2._.【解析】原式0 .【答案】3若向量a(1,1)，b(1，1)，c

14、(1,2)，若cab，則，的值分別是_【解析】cab，(1,2)(，)(，)，【答案】，4已知兩點A(4,1)，B(7，3)，則與向量同向的單位向量的坐標是_【解析】(3，4)，|5，e(3，4).【答案】5(2016鎮(zhèn)江高一檢測)已知向量a(3x,1)，b(2，5)，若ab，則x_.【解析】ab，15x2，x.【答案】6若|a|1，|b|2，ab1，則|ab|_.【解析】|a|1，|b|2，ab1|ab|.【答案】7平面向量a，b中，若a(4，3)，|b|1，且ab5，則向量b_.【解析】設b(x，y)，則即b.【答案】8(2016揚州高一檢測)下列5個說法：共線的單位向量是相等向量；若a，

15、b，c滿足abc時，則以|a|，|b|，|c|為邊一定能構成三角形；對任意的向量，必有|ab|a|b|；(ab)cc(bc)；(ab)cacbc.其中正確的是_【解析】共線也有可能反向，故不正確；若|a|0，顯然不能構成三角形，故不正確；由數(shù)量積的性質知不正確；由向量加法的三角形法則知正確；由數(shù)量積的性質知正確【答案】9(2016南京高一檢測)已知a(1，n)，b(1，n)，且2ab與b垂直，則|a|等于_【解析】2ab(3，n)，(2ab)b0，n230，n23，|a|21n24，|a|2.【答案】210已知向量a(2，1)，b(x，2)，c(3，y)，若ab，(ab)(bc)，M(x，y)

16、，N(y，x)，則向量的模為_【解析】ab，2(2)(1)x0，解得x4，b(4，2)，ab(6，3)，bc(1，2y)(ab)(bc)，(ab)(bc)0，即63(2y)0，解得y4，(yx，xy)(8,8)，|8.【答案】811(2016泰州高一檢測)ABC是邊長為2的等邊三角形，已知向量a，b滿足2a，2ab，則下列結論正確的是_(1)|b|1；(2)ab；(3)ab1；(4)(4ab).【解析】如圖ABC是邊長為2的等邊三角形由已知b2a，顯然(1)(2)(3)錯，(4ab)2|2222cos220，(4ab).【答案】(4)12如圖1，非零向量a，b，且BCOA，C為垂足，若a，則_

17、.圖1【解析】ab，a(ab)0，則.【答案】13已知向量a(6,2)，b，直線l過點A(3，1)且與向量a2b垂直，則直線l的方程為_【解析】a2b(2,3)，在l上任取一點P(x，y)，則有(a2b)，(a2b)0，(x3，y1)(2,3)0，2x3y90.【答案】2x3y9014已知(2,2)，(4,1)，O為坐標原點，在x軸上求一點P，使有最小值，則P點坐標為_【解析】設P(x,0)，(x2，2)(x4，1)(x2)(x4)2x26x10(x3)21，當x3時，有最小值，P(3,0)【答案】(3,0)二、解答題(本大題共6小題，共90分解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)15(本

18、小題滿分14分)在平行四邊形ABCD中，a，b，(1)如圖，如果E，F(xiàn)分別是BC，DC的中點，試用a，b分別表示，.(2)如圖，如果O是AC與BD的交點，G是DO的中點，試用a，b表示.圖2【解】(1)ab.ab.(2)ba，O是BD的中點，G是DO的中點，(ba)，a(ba)ab.16(本小題滿分14分)已知平面向量a(1，x)，b(2x3，x)，xR.(1)若ab，求x的值；(2)若ab，求|ab|.【解】(1)若ab，則ab(1，x)(2x3，x)1(2x3)x(x)0.整理得x22x30，解得x1或x3.(2)若ab，則有1(x)x(2x3)0，即x(2x4)0，解得x0或x2.當x0

19、時，a(1,0)，b(3,0)，ab(2,0)，|ab|2.當x2時，a(1，2)，b(1,2)，ab(2，4)，|ab|2.17(本小題滿分14分)(2016無錫高一檢測)在平面直角坐標系xOy中，已知點A(1，2)，B(2,3)，C(2，1)(1)求以線段AB，AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長；(2)設實數(shù)t滿足(t)0，求t的值【解】(1)由題設，知(3,5)，(1,1)，則(2,6)，(4,4)所以|2，|4.故所求的兩條對角線長分別為4，2.(2)由題設，知(2，1)，t(32t,5t)由(t)0，得(32t,5t)(2，1)0，從而5t11，所以t.18(本小題滿分16分)設兩個向量e1，e2滿足|e1|2，|e2|1，e1，e2的夾角為60，若向量2te17e2與e1te2的夾角為鈍角，求實數(shù)t的取值范圍【解】由向量2te17e2與e1te2的夾角為鈍角，得0，即(2te17e2)(e1te2)0.整理得：2te(2t27)e1e2