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文檔簡介
1、第2章 平面向量章末分層突破自我校對坐標平行四邊形|a|cos 向量的線性運算向量的線性運算包括向量的加法運算、減法運算及數(shù)乘運算,其中平面向量基本定理及向量共線定理是考查的重點,解題時要結合圖形靈活構造三角形或平行四邊形如圖21所示,在ABC中,點M為AB的中點,且,與相交于點E,設a,b,試以a,b為基底表示.圖21【精彩點撥】先由C,E,M三點共線(1),由B,E,N三點共線(1),再由,不共線求,的值【規(guī)范解答】b,a,由N,E,B三點共線知存在實數(shù)滿足(1)b(1)a.由C,E,M三點共線知存在實數(shù)滿足(1)a(1)b.解得ab.再練一題1已知a(1,2),b(3,2),若ka2b與
2、2a4b平行,求實數(shù)k的值【解】ka2b(k6,2k4),2a4b(14,4),由(ka2b)(2a4b)得(k6)(4)(2k4)140,解得k1.向量的數(shù)量積運算數(shù)量積的運算是向量運算的核心,利用向量的數(shù)量積可以解決以下問題:1設a(x1,y1),b(x2,y2),平行問題abx1y2x2y10垂直問題abx1x2y1y202.求向量的模及夾角問題,(1)設a(x,y),則|a|2x2y2或|a|;(2)兩向量a,b夾角的余弦(0),cos .設向量a,b,且|4,AOB60.(1)求|ab|,|ab|;(2)求ab與a的夾角1,ab與a的夾角2.【精彩點撥】利用|ab|求解;利用cos
3、求夾角【規(guī)范解答】(1)|ab|2(ab)(ab)|a|22ab|b|216244cos 601648,|ab|4,|ab|2|a|22ab|b|216,|ab|4.(2)(ab)a|a|2ab1644cos 6024,cos 1.0,180,130.(ab)a|a|2ab1644cos 608,cos 2.20,180,260.再練一題2已知cmanb,c(2,2),ac,b與c的夾角為,bc4,|a|2,求實數(shù)m,n的值及a與b的夾角【解】c(2,2),|c|4,又ac,ac0.bc|b|c|cos |b|44,|b|2,又cmanb,c2macnbc,164n,n4.又acma2nab,
4、08m4ab.又bcmabnb2,mab12.由得m,ab2cos ,0,或.向量的應用平面向量的應用主要體現(xiàn)在兩個方面:一是在平面幾何中的應用,向量的加減運算、向量的相等、平行、數(shù)乘向量、距離、夾角和向量的數(shù)量積之間有密切的聯(lián)系,因此利用向量方法可以解決平面幾何中的相關問題;二是在物理學中的應用,主要解決力、位移、速度等問題如圖22,在等腰直角ABC中,角C是直角,CACB,D是CB的中點,E是AB上的一點,且AE2EB,求證:ADCE.圖22【精彩點撥】欲證ADCE,即證0.由于已有0,故考慮選此兩向量為基底,從而應用此已知條件另外,如果進一步考慮到此組基底是垂直關系,還可以建立直角坐標系
5、【規(guī)范解答】法一:記a,b,則ba,且ab0,|a|b|.因為ba.(ba)aba,所以b2a20.可得ADCE.法二:建立如圖所示的直角坐標系,不妨設ACBC2,則C(0,0),A(2,0),B(0,2),因為D是CB的中點,則D(0,1)所以(2,1),(2,2)又(2,0)(2,2),所以(2,1)(2)0,因此ADCE.再練一題3.如圖23,在細繩O處用水平力F2緩慢拉起所受重力G的物體,繩子與鉛垂方向的夾角為,繩子所受到的拉力為F1,求:圖23(1)|F1|,|F2|隨角的變化而變化的情況(2)當|F1|2|G|時,角的取值范圍(3)當|F1|2|F2|時,求角的值【解】(1)由力的
6、平衡原理知,GF1F20,作向量F1,F(xiàn)2,G,則,四邊形OACB為平行四邊形,如圖由已知AOC,BOC,|,|tan .即|F1|,|F2|G|tan ,.由此可知,當從0逐漸增大趨向于時,|F1|,|F2|都逐漸增大(2)當|F1|2|G|時,有2|G|,cos ,又.(3)當|F1|2|F2|時,2|G|tan ,sin .數(shù)形結合思想平面向量的線性運算和數(shù)量積運算的定義及運算法則、運算律的推導中都滲透了數(shù)形結合思想引入向量的坐標表示,使向量運算代數(shù)化,將“數(shù)”和“形”緊密地結合起來運用數(shù)形結合思想可解決共線、平行、垂直、夾角、距離、面積等問題已知向量(2,0),(2,2),(cos ,
7、sin ),則與夾角的范圍是_【精彩點撥】結合的坐標給出點A的軌跡,并由直線與圓的知識求與夾角的范圍【規(guī)范解答】建立如圖所示的直角坐標系(2,2),(2,0),(cos ,sin ),點A的軌跡是以C(2,2)為圓心,為半徑的圓過原點O作此圓的切線,切點分別為M,N,連結CM,CN,如圖所示,則向量與的夾角范圍是MOB,NOB.|2,|,知COMCON,但COB.MOB,NOB,故,.【答案】再練一題4已知船在靜水中的速度大小為5 m/s,且船在靜水中的速度大小大于水流速度大小,河寬為20 m,船垂直到達對岸用的時間為5 s,則水流速度大小為_m/s.【解析】設船在靜水中的速度為v1,水流速度
8、為v2,船的實際速度為v3,建立如圖所示的平面直角坐標系|v1|5 m/s,|v3|4 m/s,則v3(0,4),v1(3,4),v2v3v1(0,4)(3,4)(3,0)|v2|3 m/s,即水流的速度大小為3 m/s.【答案】31(2015江蘇高考)已知向量a(2,1),b(1,2),若manb(9,8)(m,nR),則mn的值為_【解析】manb(2mn,m2n)(9,8),mn253.【答案】32(2015全國卷改編)已知點A(0,1),B(3,2),向量(4,3),則向量_.【解析】方法一:設C(x,y),則(x,y1)(4,3),所以從而(4,2)(3,2)(7,4)方法二:(3,
9、2)(0,1)(3,1),(4,3)(3,1)(7,4)【答案】(7,4)3(2015北京高考)在ABC中,點M,N滿足2,.若xy,則x_;y_.【解析】2,.,(),().又xy,x,y.【答案】4(2014江蘇高考)如圖24,在平行四邊形ABCD中,已知AB8,AD5,3,2,則的值是_圖24【解析】由3,得,.因為2,所以2,即222.又因為225,264,所以22.【答案】225(2016全國卷改編)已知向量a(1,m),b(3,2),且(ab)b,則m_.【解析】(方法1)因為a(1,m),b(3,2),所以ab(4,m2)因為(ab)b,所以(ab)b0,所以122(m2)0,解
10、得m8.(方法2)因為(ab)b,所以(ab)b0,即abb232m32(2)2162m0,解得m8.【答案】86(2016四川高考改編)在平面內,定點A,B,C,D滿足|,2,動點P,M滿足|1,則|2的最大值是_圖(1)【解析】法一:|,點A,B,C在以點D為圓心的圓上又2,兩兩夾角相等,均為120,如圖(1)所示設圓D的半徑為r,則rrcos 1202,r2.,M為PC的中點|1,點P在以點A為圓心,1為半徑的圓上由上知ABC為等邊三角形,邊長為2.設AC的中點為O,連接DO,OM,則點B,D,O三點共線,則|3,.2222931cos,3cos,3,當與同向時取等號,即|2的最大值是.
11、法二:|,點A,B,C在以點D為圓心的圓上2,兩兩夾角相等,均為120.由|2cos 1202,得|2.以D為坐標原點,DA所在直線為x軸建立平面直角坐標系如圖(2)所示,則B(1,),C(1,),A(2,0)圖(2)由知M為PC的中點|1,點P在以點A為圓心,1為半徑的圓上設點P的坐標為(2cos ,sin ),其中為以點A為頂點,以x軸正方向為始邊逆時針旋轉到AP所成的角,則M,|2.|2的最大值為.【答案】7(2016全國卷改編)已知向量,則ABC_.【解析】因為,所以.又因為|cosABC11cosABC,所以cosABC.又0ABC180,所以ABC30.【答案】308(2016天津
12、高考改編)已知ABC是邊長為1的等邊三角形,點D,E分別是邊AB,BC的中點,連接DE并延長到點F,使得DE2EF,則的值為_【解析】如圖所示,.又D,E分別為AB,BC的中點,且DE2EF,所以,所以.又,則()2222.又|1,BAC60,故11.【答案】9(2016山東高考改編)已知非零向量m,n滿足4|m|3|n|,cosm,n,若n(tmn),則實數(shù)t的值為_【解析】n(tmn),n(tmn)0,即tmn|n|20,t|m|n|cosm,n|n|20.又4|m|3|n|,t|n|2|n|20,解得t4.【答案】410(2016江蘇高考)如圖25,在ABC中,D是BC的中點,E,F(xiàn)是A
13、D上的兩個三等分點,4,1,則的值是_圖25【解析】由題意,得()()()()22|2|21,()()(3)(3)9229|2|24.由得|2,|2.()()(2)(2)4224|2|24.【答案】章末綜合測評(二)平面向量(時間120分鐘,滿分160分)一、填空題(本大題共14小題,每小題5分,共70分請把答案填寫在題中橫線上)1已知作用在點A(1,1)的三個力F1(3,4),F(xiàn)2(2,5),F(xiàn)3(3,1),則合力FF1F2F3的終點坐標是_【解析】F(8,0),終點坐標為(8,0)(1,1)(9,1)【答案】(9,1)2._.【解析】原式0 .【答案】3若向量a(1,1),b(1,1),c
14、(1,2),若cab,則,的值分別是_【解析】cab,(1,2)(,)(,),【答案】,4已知兩點A(4,1),B(7,3),則與向量同向的單位向量的坐標是_【解析】(3,4),|5,e(3,4).【答案】5(2016鎮(zhèn)江高一檢測)已知向量a(3x,1),b(2,5),若ab,則x_.【解析】ab,15x2,x.【答案】6若|a|1,|b|2,ab1,則|ab|_.【解析】|a|1,|b|2,ab1|ab|.【答案】7平面向量a,b中,若a(4,3),|b|1,且ab5,則向量b_.【解析】設b(x,y),則即b.【答案】8(2016揚州高一檢測)下列5個說法:共線的單位向量是相等向量;若a,
15、b,c滿足abc時,則以|a|,|b|,|c|為邊一定能構成三角形;對任意的向量,必有|ab|a|b|;(ab)cc(bc);(ab)cacbc.其中正確的是_【解析】共線也有可能反向,故不正確;若|a|0,顯然不能構成三角形,故不正確;由數(shù)量積的性質知不正確;由向量加法的三角形法則知正確;由數(shù)量積的性質知正確【答案】9(2016南京高一檢測)已知a(1,n),b(1,n),且2ab與b垂直,則|a|等于_【解析】2ab(3,n),(2ab)b0,n230,n23,|a|21n24,|a|2.【答案】210已知向量a(2,1),b(x,2),c(3,y),若ab,(ab)(bc),M(x,y)
16、,N(y,x),則向量的模為_【解析】ab,2(2)(1)x0,解得x4,b(4,2),ab(6,3),bc(1,2y)(ab)(bc),(ab)(bc)0,即63(2y)0,解得y4,(yx,xy)(8,8),|8.【答案】811(2016泰州高一檢測)ABC是邊長為2的等邊三角形,已知向量a,b滿足2a,2ab,則下列結論正確的是_(1)|b|1;(2)ab;(3)ab1;(4)(4ab).【解析】如圖ABC是邊長為2的等邊三角形由已知b2a,顯然(1)(2)(3)錯,(4ab)2|2222cos220,(4ab).【答案】(4)12如圖1,非零向量a,b,且BCOA,C為垂足,若a,則_
17、.圖1【解析】ab,a(ab)0,則.【答案】13已知向量a(6,2),b,直線l過點A(3,1)且與向量a2b垂直,則直線l的方程為_【解析】a2b(2,3),在l上任取一點P(x,y),則有(a2b),(a2b)0,(x3,y1)(2,3)0,2x3y90.【答案】2x3y9014已知(2,2),(4,1),O為坐標原點,在x軸上求一點P,使有最小值,則P點坐標為_【解析】設P(x,0),(x2,2)(x4,1)(x2)(x4)2x26x10(x3)21,當x3時,有最小值,P(3,0)【答案】(3,0)二、解答題(本大題共6小題,共90分解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)15(本
18、小題滿分14分)在平行四邊形ABCD中,a,b,(1)如圖,如果E,F(xiàn)分別是BC,DC的中點,試用a,b分別表示,.(2)如圖,如果O是AC與BD的交點,G是DO的中點,試用a,b表示.圖2【解】(1)ab.ab.(2)ba,O是BD的中點,G是DO的中點,(ba),a(ba)ab.16(本小題滿分14分)已知平面向量a(1,x),b(2x3,x),xR.(1)若ab,求x的值;(2)若ab,求|ab|.【解】(1)若ab,則ab(1,x)(2x3,x)1(2x3)x(x)0.整理得x22x30,解得x1或x3.(2)若ab,則有1(x)x(2x3)0,即x(2x4)0,解得x0或x2.當x0
19、時,a(1,0),b(3,0),ab(2,0),|ab|2.當x2時,a(1,2),b(1,2),ab(2,4),|ab|2.17(本小題滿分14分)(2016無錫高一檢測)在平面直角坐標系xOy中,已知點A(1,2),B(2,3),C(2,1)(1)求以線段AB,AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長;(2)設實數(shù)t滿足(t)0,求t的值【解】(1)由題設,知(3,5),(1,1),則(2,6),(4,4)所以|2,|4.故所求的兩條對角線長分別為4,2.(2)由題設,知(2,1),t(32t,5t)由(t)0,得(32t,5t)(2,1)0,從而5t11,所以t.18(本小題滿分16分)設兩個向量e1,e2滿足|e1|2,|e2|1,e1,e2的夾角為60,若向量2te17e2與e1te2的夾角為鈍角,求實數(shù)t的取值范圍【解】由向量2te17e2與e1te2的夾角為鈍角,得0,即(2te17e2)(e1te2)0.整理得:2te(2t27)e1e2
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