數(shù)學(xué)教學(xué)典型案例分析（PPT精品）.ppt

1、數(shù)學(xué)教學(xué)典型案例分析,西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院 楊孝斌,孔子曰：知之者不如好知者，好知者不如樂(lè)知者.,如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣 ？,數(shù)學(xué)教學(xué)案例分析之一 “糖水濃度與數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)”系列活動(dòng)課,道 具：一缸清水 一罐白糖 大大小小的玻璃杯若干個(gè),大家都知道：,活動(dòng)課之一等比定理的發(fā)現(xiàn),分成三小杯,請(qǐng)問(wèn)：三小杯糖水的濃度有何關(guān)系？,由于三小杯的糖水都是由大杯倒出的，顯然有：,現(xiàn)在把三小杯糖水倒入一個(gè)空的大杯子：,倒入一個(gè)大杯,請(qǐng)問(wèn)：混合后糖水的濃度與原三個(gè)小杯糖水的濃度有何關(guān)系？,學(xué)生1：混合后的糖水濃度為,由生活常識(shí)知，三小杯糖水的濃度與混合后的糖水濃度相等，即是：,這就是等比定理： 若 即 .

2、,從“糖水情境”到“等比定理”，這中間有一個(gè)從具體事實(shí)到形式化抽象的數(shù)學(xué)過(guò)程，前者是“具體的模型”，后者是“抽象的模式”，兩者之間有“質(zhì)”的區(qū)別. 把糖放進(jìn)水里，把糖水倒來(lái)倒去，這是數(shù)學(xué)嗎？不是！但是，我們一旦舍去糖、水、濃度等的具體性質(zhì)，抽象出本質(zhì)屬性的數(shù)量關(guān)系等比定理，這就是數(shù)學(xué)了. 這中間的過(guò)程就是一個(gè)“數(shù)學(xué)化”的過(guò)程！,問(wèn)題： “糖水情境”中的 與“等比定理”中的 有區(qū)別嗎？,學(xué)生2： “糖水情境”中的 只能是正數(shù)，并且 . 而“等比定理”中的 不需要這么多限制，只要有 就夠了.,老師轉(zhuǎn)問(wèn)學(xué)生1：為什么說(shuō)式是混合后的濃度？,學(xué)生1：,學(xué)生3：,老師問(wèn)學(xué)生3：為什么？有何依據(jù)？,學(xué)生3：

3、在計(jì)算小杯糖水的濃度時(shí)，分子分母可能有約分，比如：21克糖水中有3克糖，其濃度是 .,老師：,學(xué)生4：還是！,老師問(wèn)：,學(xué)生4：此時(shí)式子雖然不是混合糖水濃度定義的直接式子，但在數(shù)值上并沒(méi)有變！,學(xué)生4：這是因?yàn)?學(xué)生5：,學(xué)生6：,于是我們一共得到了等比定理的三種等價(jià)形式！,大家都知道，在糖水未達(dá)到飽和之前，給糖水加糖，糖水就會(huì)變甜！,活動(dòng)課之二真分?jǐn)?shù)不等式的發(fā)現(xiàn),老師問(wèn)：加糖后糖水就會(huì)變甜，能不能一個(gè)不等式來(lái)表達(dá)這個(gè)結(jié)論？,學(xué)生：,老師問(wèn)：很好！但是這個(gè)式子沒(méi)有反映出加糖來(lái).,學(xué)生：,老師問(wèn)：很好！這里的c 表示什么？,學(xué)生：表示加糖了！,老師問(wèn)：c 表示所加的糖的質(zhì)量嗎？濃度與質(zhì)量可以直接

4、相加嗎？,學(xué)生：c不是糖的質(zhì)量，而是濃度的增加量.,老師問(wèn)：那你這個(gè)式子只是反映了濃度的增加，并沒(méi)有反映出濃度增加的原因糖的增加.那么如何把“因?yàn)樘堑脑黾佣固撬疂舛仍黾印边@個(gè)事實(shí)反映出來(lái)呢？,學(xué)生：老師，我明白了！,學(xué)生：同樣可以考慮約分的情形！,學(xué)生10：由于我們這里都是討論的真分?jǐn)?shù)，于是又有：,新的發(fā)現(xiàn)：,關(guān)于糖水的濃度問(wèn)題，我們還可以從中發(fā)現(xiàn)“中間不等式”并由此得出“定比分點(diǎn)公式”，并可以從中找到很多很有意義的數(shù)學(xué)模型.感興趣的老師可以參閱中學(xué)數(shù)學(xué)課例分析 （羅增儒 著 陜西師大出版社 2001.7出版）,數(shù)學(xué)教學(xué)案例分析之二 一個(gè)不等式的證明與變式,例：設(shè) ，求證：, ,思路分析：不

5、等式的證明用常規(guī)方法似乎難以奏效.仔細(xì)觀察上式中三個(gè)根式的結(jié)構(gòu)特征，可以發(fā)現(xiàn)：,所以，可以看作以 為邊夾角為的三角形的第三邊. 另兩個(gè)根式類似地可視為一個(gè)三 角形的第三邊.于是可構(gòu)造滿足條件的 三棱錐幫助證明此題.,構(gòu)造相應(yīng)的幾何圖形：,證明：如圖.構(gòu)造三棱錐S-ABC，,依余弦定理得：,因?yàn)槿切蝺蛇呏痛笥诘谌叄?所以在ABC中，有,很顯然，同樣有下面兩個(gè)不等式成立：, , ,到這里不僅要想，我們適當(dāng)增大最后一個(gè)根號(hào)內(nèi)的值，不等式是否成立？即是下述不等式是否成立？, ,受前面數(shù)形結(jié)合證法的啟示，我們作類似的處理.,這次作出的圖形會(huì)是什么樣子的呢？,一共有幾種情形呢？,由以上三圖知，不等式

6、應(yīng)修正為：, ,同理有類似的結(jié)論：, , ,我們現(xiàn)在把不等式前面的兩個(gè)根號(hào)的值變大，顯然有以下三個(gè)不等式成立：, , , ,現(xiàn)在以x、y、z為邊的三個(gè)夾角都是120， 恰好拼成一個(gè)周角，作圖如下：,同樣我們有與 類似的共9個(gè)不等式（即“前兩個(gè)根式中有一個(gè)的交叉項(xiàng)為負(fù)、其余為正”或者“前兩個(gè)根式中有一個(gè)的交叉項(xiàng)為正、其余為負(fù)”）成立.那么，如果要仿上作出圖形利用“余弦定理”和“三角形兩邊之和大于第三邊”來(lái)證明它們，所作的圖形又是怎么樣的呢？ 請(qǐng)大家仔細(xì)思考這個(gè)問(wèn)題！,1. 問(wèn)題的提出 已知圖形如下：,請(qǐng)記住這道題目，并根據(jù)排列組合的知識(shí)推算這樣的不同圖形共有多少個(gè)？,數(shù)學(xué)教學(xué)案例分析之三 一道有

7、趣的開(kāi)放題,現(xiàn)保持陰影部分的面積大小，該圖形可以變化為如下一系列圖形：,假設(shè)規(guī)定正方形的邊長(zhǎng)不變，相應(yīng)地，圓的半徑（正方形邊長(zhǎng)的一半）也不變，同時(shí)規(guī)定只能用半圓和圓心角為90的扇形去分割這個(gè)正方形并保持陰影部分的面積不變.畫出盡可能多的不同分法，選出你喜歡的圖形并說(shuō)明你喜歡的理由.,2. 問(wèn)題解決的思路,為了解決這個(gè)問(wèn)題，我們還得回到最初的圖形.先將原圖分成四部分，如下：,思路一：將上圖沿虛線剪開(kāi)，該問(wèn)題則轉(zhuǎn)化為用以下的四個(gè)小正方形去填充一個(gè)空白正方形的問(wèn)題.,a b c d,事實(shí)上，上面的四個(gè)小正方形（通過(guò)旋轉(zhuǎn)后）是完全一樣的.但為了說(shuō)明問(wèn)題，我們將它們的位置固定下來(lái)，看作四個(gè)不同的圖形，分

8、別記為a，b，c，d ，現(xiàn)在用這四個(gè)小正方形去填充，考慮一共能組成多少種不同的圖案.,由排列組合的知識(shí)知道，這是一個(gè)可重復(fù)排列的問(wèn)題，應(yīng)有44= 256種不同的情形.,是不是有這么多呢？這256個(gè)不同的圖案中有沒(méi)有重復(fù)的呢？為了說(shuō)明問(wèn)題，再來(lái)看思路二.,思路二：（1）如下圖，先將三個(gè)小正方形的位置固定，旋轉(zhuǎn)帶*的小正方形.這樣就得到三個(gè)不同于初始圖案的圖案.,（2）那么，運(yùn)用排列組合的知識(shí)，如果有兩個(gè)小正方形同時(shí)按不同方向（旋轉(zhuǎn)方向互不關(guān)聯(lián)）分別旋轉(zhuǎn)（為避免重復(fù)，只考慮兩個(gè)都旋轉(zhuǎn)的情形.否則回到（1）.這里分為同時(shí)旋轉(zhuǎn)兩個(gè)相鄰的小正方形和同時(shí)旋轉(zhuǎn)兩個(gè)對(duì)角的小正方形兩種情形，共有332 = 18

9、種不同的圖案.,（3）類似的，固定一個(gè)同時(shí)旋轉(zhuǎn)另三個(gè)小正方形，又可以得到33= 27種不同的圖案. （4）現(xiàn)在讓四個(gè)小正方形同時(shí)旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)方向互不關(guān)聯(lián)），都不保持原來(lái)的位置，又可以得到34= 81種不同的圖案. 加上原來(lái)的初始圖案，則共有13182781 = 130種不同的圖案.由此可見(jiàn)，思路一中的256個(gè)圖案中有很多是重復(fù)的.,接下來(lái)的問(wèn)題是：這130種圖案中有沒(méi)有重復(fù)的？如果有，重復(fù)了幾種？這個(gè)問(wèn)題的最終結(jié)果應(yīng)該是多少種不同的圖案？請(qǐng)讀者自行解決.,3. 教學(xué)與反思,筆者曾經(jīng)在小學(xué)4、5、6年級(jí)的數(shù)學(xué)課外活動(dòng)中運(yùn)用該題進(jìn)行過(guò)數(shù)學(xué)活動(dòng)課教學(xué)，讓學(xué)生用制作好的四塊小正方形卡片來(lái)拼圖，學(xué)生的學(xué)習(xí)

10、興趣非常高，收到了良好的教學(xué)效果.通過(guò)這樣的數(shù)學(xué)活動(dòng)，使學(xué)生能夠既動(dòng)腦又動(dòng)手，同時(shí)還需要用眼觀察，用嘴討論，用心體會(huì)，讓學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)活動(dòng)的樂(lè)趣、欣賞到幾何圖形的美.,相信經(jīng)歷過(guò)這樣的數(shù)學(xué)活動(dòng)的學(xué)生，等到他將來(lái)長(zhǎng)大以后購(gòu)買地板磚準(zhǔn)備家庭裝修時(shí)仍然能夠清楚的回憶起當(dāng)年他在這堂課中所設(shè)計(jì)的美麗圖案.如果是這樣的話，作為一個(gè)數(shù)學(xué)教育工作者，應(yīng)該開(kāi)心微笑了.,以下是一些學(xué)生自己畫出的并且是他們最喜歡的圖案:,筆者也曾在初二的數(shù)學(xué)課外活動(dòng)中運(yùn)用過(guò)該題，并試圖把排列組合的知識(shí)以及化歸思想滲透給他們.事實(shí)證明，如果處理得當(dāng)，教學(xué)中深入淺出，給學(xué)生充裕的時(shí)間思考領(lǐng)會(huì)，初二的學(xué)生在一定程度上也是可以接受這些知識(shí)

11、的. 當(dāng)然，這道開(kāi)放題如果給高中生來(lái)解答，尤其是剛剛學(xué)完排列組合知識(shí)的學(xué)生，不論他們能夠得到什么樣的結(jié)果，最起碼，對(duì)于他們對(duì)排列組合知識(shí)的理解是大有益處的.,同時(shí)，這道題目還可以擴(kuò)展為： (1)如果用9塊 拼成33的大正方形情形又是怎樣的？ (2)如果用6塊 作為正方體的6個(gè)側(cè)面，那么圍成的正方體的側(cè)面展開(kāi)圖有多少種不同的圖案？ (3)用正多邊形地板磚鋪滿房間，有哪些不同的鋪設(shè)方案？ ,An Interesting Open-end Problem YANG Xiao-bin （Department of Mathematics and Information Science，China West Normal University，Nanchong，Sichuan ，China ，637002） Abstract:Through an open-end problem ,we find that mathematics ope