北京大學(xué)概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第01講.ppt

1、引 言,1.決定性 現(xiàn)象,在一定條件下必然發(fā)生（出現(xiàn)）某一結(jié)果的現(xiàn)象稱(chēng)為決定性現(xiàn)象.,特點(diǎn),在相同的條件下，重復(fù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)或觀察，它的結(jié)果總是確定不變的。,隨機(jī)現(xiàn)象, 即在相同的條件下，重復(fù)進(jìn)行觀測(cè)或試驗(yàn)，它的結(jié)果未必是相同的。,在一定的條件下，可能出現(xiàn)這樣的結(jié)果，也可能出現(xiàn)那樣的結(jié)果，而試驗(yàn)或觀察前，不能預(yù)知確切的結(jié)果。,隨機(jī)現(xiàn)象的特點(diǎn) ：,雖然在個(gè)別試驗(yàn)中，其結(jié)果呈現(xiàn)出不確定性，但是人們經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期實(shí)踐并深入研究之后，發(fā)現(xiàn)在大量重復(fù)試驗(yàn)或觀察下，這類(lèi)現(xiàn)象的結(jié)果呈現(xiàn)出某種規(guī)律性, 這種在大量重復(fù)試驗(yàn)或觀察中，所呈現(xiàn)出的固有規(guī)律性稱(chēng)之為統(tǒng)計(jì)規(guī)律性,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),正是研究隨機(jī)現(xiàn)象的這種統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的

2、數(shù)學(xué)分支,下面我們就來(lái)開(kāi)始這門(mén)課程的學(xué)習(xí),概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),概率論是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，它研究隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律， 概率論的應(yīng)用幾乎遍及所有的科學(xué)領(lǐng)域，例如天氣預(yù)報(bào)、 地震預(yù)報(bào)、產(chǎn)品的抽樣調(diào)查，在通訊工程中概率論可用以提高信號(hào)的抗干擾性、分辨率等等. 總之: 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)在自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的很多領(lǐng)域都具有非常廣泛的應(yīng)用. 我對(duì)此不再展開(kāi)介紹了.,先看一看概率論的有關(guān)應(yīng)用,*下面看一個(gè)具體的例子：擲硬幣_(tái) （賭徒問(wèn)題） 甲有本金a元，決心再贏b元停止賭博，賭法就是擲硬幣，問(wèn)：甲有多大可能輸光？ （風(fēng)險(xiǎn)刻劃）賭法是擲硬幣，一種是每次賭金10000元，一種是每次

3、賭金10元，這兩種賭博都是公平的，但你會(huì)參加哪一種呢？ （大數(shù)定律）能不能相信，對(duì)于一個(gè)均勻硬幣來(lái)講，試驗(yàn)的次數(shù)越多，向上的比例越接近1/2呢？ （假設(shè)檢驗(yàn)）假設(shè)不知道硬幣是否均勻，是不是可以通過(guò)擲硬幣來(lái)判斷呢？要擲多少次呢？,第一章 古典概型與概率空間,在考慮一個(gè)(未來(lái))事件是否會(huì)發(fā)生的時(shí)候, 人們常關(guān)心該事件發(fā)生的可能性的大小. 就像用尺子測(cè)量物體的長(zhǎng)度、我們用概率測(cè)量一個(gè)未來(lái)事件發(fā)生的可能性大小. 將概率作用于被測(cè)事件就得到該事件發(fā)生的可能性大小的測(cè)量值. 為了介紹概率, 需要先介紹試驗(yàn)和事件.,1.1 試驗(yàn)與事件,1. 試驗(yàn),我們把按照一定的想法去做的事情稱(chēng)為 隨機(jī)試驗(yàn). 隨機(jī)試驗(yàn)的簡(jiǎn)

4、稱(chēng)是 試驗(yàn) (experiment). 下面都是試驗(yàn)的例子. 擲一個(gè)硬幣, 觀察是否正面朝上, 擲兩枚骰子, 觀察擲出的點(diǎn)數(shù)之和, 在一副撲克牌中隨機(jī)抽取兩張, 觀察是否得到數(shù)字相同的一對(duì).,在概率論的語(yǔ)言中, 試驗(yàn)還是指對(duì)試驗(yàn)的一次觀測(cè)或試驗(yàn)結(jié)果的測(cè)量過(guò)程.,2. 樣本空間,投擲一枚硬幣, 用 表示硬幣正面朝上, 用 表示硬幣反面朝上, 則試驗(yàn)有兩個(gè)可能的結(jié)果： 和 . 我們稱(chēng) 和 是樣本點(diǎn), 稱(chēng)樣本點(diǎn)的集合 為試驗(yàn)的 樣本空間.,投擲一枚骰子, 用1表示擲出點(diǎn)數(shù)1, 用2表示擲出點(diǎn)數(shù)2, , 用6表示擲出點(diǎn)數(shù)6. 試驗(yàn)的可能結(jié)果是1, 2, 3, 4, 5, 6. 我們稱(chēng)這6個(gè)數(shù)是試驗(yàn)的樣

5、本點(diǎn). 稱(chēng)樣本點(diǎn)的集合 是試驗(yàn)的樣本空間.,為了敘述的方便和明確, 下面把一個(gè)特定的試驗(yàn)稱(chēng)為試驗(yàn)S. 樣本點(diǎn)(sample point): 稱(chēng)試驗(yàn) S 的可能結(jié)果為樣本點(diǎn), 用 表示. 樣本空間(sample space): 稱(chēng)試驗(yàn) S 的樣本點(diǎn)構(gòu)成的集合為樣本空間, 用 表示. 于是,3. 事件,投擲一枚骰子的樣本空間是 A=3 表示擲出3點(diǎn), 則A是 的子集. 我們稱(chēng)A是事件. 擲出3點(diǎn), 就稱(chēng)事件A發(fā)生, 否則稱(chēng)事件A不發(fā)生. 用集合B=2,4,6表示擲出偶數(shù)點(diǎn), B是 的子集, 我們也稱(chēng)B是事件. 當(dāng)擲出偶數(shù)點(diǎn), 稱(chēng)事件B發(fā)生, 否則稱(chēng)事件B不發(fā)生. 事件B發(fā)生和擲出偶數(shù)點(diǎn)是等價(jià)的.,

6、設(shè) 是試驗(yàn)S的樣本空間. 當(dāng) 中只有有限個(gè)樣本點(diǎn)時(shí), 稱(chēng) 的子集為事件. 當(dāng)試驗(yàn)的樣本點(diǎn)(試驗(yàn)結(jié)果) 落在A中, 稱(chēng)事件A發(fā)生, 否則稱(chēng)A不發(fā)生. 按照上述約定, 子集符號(hào) 表示A是事件. 通常用大寫(xiě)字母 A, B, C, D 等表示事件.,用 表示集合A的余集. 則事件A發(fā)生和樣本點(diǎn) 是等價(jià)的, 事件A不發(fā)生和樣本點(diǎn) 是等價(jià)的.,例1. 將一枚硬幣拋擲兩次，則樣本空間為,事件A表示“兩次出現(xiàn)的面不同”,可記作,A: “兩次出現(xiàn)的面不同”,或,A=兩次出現(xiàn)的面不同,用樣本空間的子集可表達(dá)為,A= (H,T), (T,H),特殊的事件：,： 在每次試驗(yàn)中必出現(xiàn) 中一個(gè)樣本點(diǎn)， 即在每次試驗(yàn)中 必

7、發(fā)生, 因此稱(chēng) 為必然事件;,：在每次試驗(yàn)中，所出現(xiàn)的樣本點(diǎn)都不在 中，即在每次試驗(yàn)中 都不發(fā)生，因此稱(chēng) 為不可能發(fā)生的事件。,4. 事件與集合,當(dāng)A, B都是事件, 則 都是事件. 也就是說(shuō)事件經(jīng)過(guò)集合運(yùn)算得到的結(jié)果還是事件. 我們也用AB表示 . 當(dāng) 時(shí), 也用A+B表示 .,5. 事件的關(guān)系與運(yùn)算,事件的關(guān)系與運(yùn)算,（1）若AB，則稱(chēng)事件B包含事件A，事件A包含于事件B，指的是事件A發(fā)生必然導(dǎo)致B發(fā)生,（2）若AB，BA，即A=B，則稱(chēng)事件A與事件B相等。,“A、B中至少有一個(gè)發(fā)生時(shí)”， “A發(fā)生或B發(fā)生”與“事件AB發(fā)生”是等價(jià)的。,“事件A和B同時(shí)發(fā)生”， “A和B都發(fā)生”與“事件A

8、B發(fā)生”是等價(jià)的。,若事件A1,An,中任意兩個(gè)事件是互不相容的，則稱(chēng)這可列無(wú)窮多個(gè)事件是互不相容的。,（6）若AB=，稱(chēng)為事件A與事件B互不相容。,（7）若AB= , AB=，稱(chēng)事件A與事件B為對(duì)立事件或逆事件。, 在每次試驗(yàn)中，事件A、B中必有一個(gè)發(fā)生，且僅有一個(gè)發(fā)生。,（8）事件,稱(chēng)為事件A的補(bǔ)事件。, 當(dāng)且僅當(dāng)事件A不發(fā)生時(shí)，事件,發(fā)生。,事件的運(yùn)算公式就是集合的運(yùn)算公式, 具有性質(zhì)1, 2, 3, 4, 5 (見(jiàn)書(shū) p4),結(jié)合律,分配律,對(duì)偶公式,交換律,對(duì)于一個(gè)具體事件，要學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)符號(hào)表示；反之，對(duì)于用數(shù)學(xué)符號(hào)表示的事件，要清楚其具體含義是什么. 下面看一些例子, 讓我們做一做

9、練習(xí):,是A的對(duì)立事件，,=兩件產(chǎn)品不都是合格品,也可敘述為：,=兩件產(chǎn)品中至少有一個(gè)是不合格品,A=兩件產(chǎn)品都是合格品，,例2：從一批產(chǎn)品中任取兩件，觀察合格品的情況. 記,問(wèn)：,=兩件產(chǎn)品中至少有一個(gè)是不合格品,它又可寫(xiě)為兩個(gè)互不相容事件之和,=兩件產(chǎn)品中恰有一個(gè)是不合格品 兩件產(chǎn)品中都是不合格品,例3：從一批產(chǎn)品中任取兩件，觀察合格品的情況. 記 A=兩件產(chǎn)品都是合格品，,若記 Bi =取出的第 i 件是合格品，i=1,2,=兩件產(chǎn)品中至少有一個(gè)是不合格品,A=B1B2,問(wèn)如何用 Bi 表示A和 ？,(1) A發(fā)生, B與C不發(fā)生,設(shè)A、B、C為三個(gè)事件，用A、B、C的運(yùn)算關(guān)系表示下列各

10、事件.,或,(2) A與B都發(fā)生,而C不發(fā)生,或,1.2 古典概率模型,假定隨機(jī)試驗(yàn)S有有限個(gè)可能的結(jié)果, 并且假定從該試驗(yàn)的條件及實(shí)施方法上去分析，我們找不到任何理由認(rèn)為其中某一結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)會(huì)比另一結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)會(huì)大或小，我們只好認(rèn)為所有結(jié)果在試驗(yàn)中有同等可能的出現(xiàn)機(jī)會(huì).,2,3,4,7,9,10,8,6,1,5,例如，一個(gè)袋子中裝有10個(gè)大小、形狀完全相同的球. 將球編號(hào)為110 .把球攪勻，蒙上眼睛，從中任取一球.,因?yàn)槌槿r(shí)這些球是完全平等的，我們沒(méi)有理由認(rèn)為10個(gè)球中的某一個(gè)會(huì)比另一個(gè)更容易取得 . 也就是說(shuō)，10個(gè)球中的任一個(gè)被取出的機(jī)會(huì)是相等的，均為1/10.,我們用 i 表示取到

11、i號(hào)球， i =1,2,10 .,2,且每個(gè)樣本點(diǎn)(或者說(shuō)基本事件)出現(xiàn)的可能性相同 .,=1, 2,10 ,則該試驗(yàn)的樣本空間,如i =2,古典概率模型,設(shè) 是試驗(yàn)S的樣本空間. 對(duì)于 的事件A, 我們用P(A)表示A發(fā)生的可能性的大小, 稱(chēng)P(A)是事件A發(fā)生的概率, 簡(jiǎn)稱(chēng)為A的概率. 概率是介于0和1之間的數(shù), 描述事件發(fā)生的可能性的大小. 按照以上原則, 如果事件A, B發(fā)生的可能性相同, 則有 P(A)=P(B). 如果事件A發(fā)生的可能性比B發(fā)生的可能性大2倍, 則有 P(A)=2P(B).,用 , 分別表示事件A和樣本空間 中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù). 定義2.1 設(shè)試驗(yàn)S的樣本空間 是有限集

12、合, . 如果 的每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相同, 則稱(chēng) (2.1) 為試驗(yàn)S下A發(fā)生的概率, 簡(jiǎn)稱(chēng)為事件A的概率.,能夠用定義2.1描述的模型稱(chēng)為古典概率模型, 簡(jiǎn)稱(chēng)為古典概型.,排列組合是計(jì)算古典概率的重要工具 .,1. 加法原理,設(shè)完成一件事有m種方式，,第一種方式有n1種方法，,第二種方式有n2種方法,；,第m種方式有nm種方法,無(wú)論通過(guò)哪種方法都可以完成這件事，,則完成這件事總共 有n1 + n2 + + nm 種方法 .,2. 乘法原理,設(shè)完成一件事有m個(gè)步驟，,第一個(gè)步驟有n1種方法，,第二個(gè)步驟有n2種方法,必須通過(guò)每一步驟,才算完成這件事，,從n個(gè)不同元素取 k個(gè)（允許重復(fù)） （

13、1 k n)的不同排列總數(shù)為：,例如：從裝有4張卡片的盒中 有放回地摸取3張,共有4.4.4=43種可能取法,n個(gè)不同元素分為k組，各組元素?cái)?shù)目分別為r1,r2,rk的分法總數(shù)為,n個(gè)元素,因?yàn)?例4,在一袋中有10 個(gè)相同的球，分別標(biāo)有號(hào)碼 1,2,10。從中任取一個(gè)球，求,此球的號(hào)碼為偶數(shù)的概率。,解：令A(yù)=球的號(hào)碼為偶數(shù)=2,4,6,8,10,例5,在一袋中有10 個(gè)相同的球，分別標(biāo)有號(hào)碼,在一袋中有10 個(gè)相同的球，分別標(biāo)有號(hào)碼,1,2,10。每次任取一個(gè)球，記錄其號(hào)碼后不放回袋中，再任取下一個(gè)。這種取法叫做“不放回抽取”。今不放回抽取3個(gè)球，求這3個(gè)球的號(hào)碼均為偶數(shù)的概率。,例6,例

14、7,在一袋中有10 個(gè)相同的球，分別標(biāo)有號(hào)碼1,2,10。今任取兩個(gè)球，求取得的第一個(gè)球號(hào)碼為奇數(shù)，第二個(gè)球的號(hào)碼為偶數(shù)的概率。,例8,這是一種無(wú)放回抽樣.,解：令B=恰有k件次品, P(B)=？,次品,正品,M件次品,N-M件 正品,古典概率的基本性質(zhì),設(shè)S是古典概型， 是其樣本空間,A，A1，A2，An是試驗(yàn)S中事件,則有, 0P（A）1, P（ ）=1，P（）=0, 若A1，A2，An是互不相容的事件，則有,推論,例 9,設(shè)有n個(gè)球，每個(gè)球都以同樣的概率1/N,落入到N個(gè)格子(Nn)的每一個(gè)格子，試求 (1). 某指定的n個(gè)格子中各有一球的概率. (2). 任何n個(gè)格子中各有一球的概率.,答案: (1) (2),生日問(wèn)題,一個(gè)50人的班級(jí)中，求至少有兩個(gè)人生日相同的概率. (可參見(jiàn)p7例2.7),提示：A=(50人中至少有兩個(gè)人生日相同) A short cut: 故所求概率為: P(50人中沒(méi)有兩個(gè)人生日相同),人數(shù) 至少有兩人同 生日的概率 20 0.411 21 0.444 22 0.476 23 0.507 24 0.538 30 0.706 40 0.891 50 0.970 60 0.994,關(guān)于生日問(wèn)題有如下計(jì)算數(shù)據(jù):