機(jī)械零件的有限元分析_04.ppt

1、第二章 梁?jiǎn)卧?如圖所示，為一簡(jiǎn)單平面純彎曲梁?jiǎn)卧ㄖ豢紤]彎曲，不考慮軸向變形）,位移邊界條件（撓度、轉(zhuǎn)角）：,定義位移函數(shù)：,將邊界條件代入可得：,寫(xiě)成矩陣形式為：,求解上述矩陣方程為：,則位移函數(shù)可表示為：,因此，定義形函數(shù)為：,簡(jiǎn)化后得：,則位移函數(shù)可簡(jiǎn)化為：,梁?jiǎn)卧诰植孔鴺?biāo)系統(tǒng)中有：,形函數(shù)可變?yōu)椋?引入一量綱變量：,稱(chēng)為自然坐標(biāo),則形函數(shù)變?yōu)椋?那么，位移函數(shù)可進(jìn)一步表示為：,梁的曲率為：,令：,稱(chēng)為應(yīng)變矩陣,則：,梁的截面彎矩為：,正應(yīng)力：,梁?jiǎn)卧膽?yīng)變能：,其中：,外力做功為：,所以，梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚍椋?將 B 代入上式可得：,因此，梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠确匠虨椋?例題1：如圖所示，求中間

2、結(jié)點(diǎn)的撓度和轉(zhuǎn)角以及兩端點(diǎn)的反力與反力矩。,顯然，將整個(gè)梁分成兩個(gè)梁?jiǎn)卧?單元1與2的剛度矩陣分別為：,整體剛度矩陣為：,整體有限元方程為：,載荷和位移邊界條件：,簡(jiǎn)化方程可得：,求解可得：,則反力及反力矩為：,例題2：如圖所示，求撓度、轉(zhuǎn)角以及反力。,可以分成兩個(gè)梁?jiǎn)卧粋€(gè)彈簧單元進(jìn)行求解。,已知：,彈簧單元矩陣：,兩個(gè)梁?jiǎn)卧仃嚍椋?整體有限元方程為：,邊界條件：,邊界條件代入有限元方程，簡(jiǎn)化后求解得：,再將求解結(jié)果代入有限元方程，可得反力。,如圖所示，為一考慮軸向變形的平面彎曲梁?jiǎn)卧?這種梁?jiǎn)卧喈?dāng)于等截面直桿單元與不考慮軸向變形的純彎曲梁?jiǎn)卧暮铣伞?其單元?jiǎng)偠染仃?為兩單元的剛

3、度 矩陣疊加，即：,單元?jiǎng)偠确匠虨椋?對(duì)于連續(xù)梁?jiǎn)卧?，只有兩個(gè)自由度，即梁端彎矩，有：,其剛度矩陣為：,對(duì)于一端剛結(jié)，一端鉸結(jié)，其鉸結(jié)端沒(méi)有彎矩，即：,則有：,將上述方程代入剛度矩陣可得其單元?jiǎng)偠染仃嚍椋?單元?jiǎng)偠确匠蹋?如果梁上作用有分布載荷，如圖所示：,應(yīng)將分布載荷轉(zhuǎn)換為作用于節(jié)點(diǎn)上的集中力與彎矩，用公式表示為：,當(dāng)：,則：,所以：,同樣，如圖所示的分布力可以進(jìn)行等效轉(zhuǎn)換。,例題3，如圖所示，求解懸臂梁右端彎矩與撓度，左端反力與反力矩。,解：很顯然，要將均勻分布力進(jìn)行等效變換，如下圖所示:,其中：,有限元方程為：,力與位移邊界條件為：,方程簡(jiǎn)化為：,求解可得：,相應(yīng)節(jié)點(diǎn)力與力矩為：,懸臂梁

4、左端的反力和反力矩為：,平面問(wèn)題中梁?jiǎn)卧淖鴺?biāo)變換,按照兩個(gè)坐標(biāo)系中位移向量相等效的原則，可以推出坐標(biāo)變換關(guān)系：,寫(xiě)成矩陣形式：,令：,稱(chēng)為坐標(biāo)變換矩陣,平面梁?jiǎn)卧膭偠染仃嚍椋?作用力矩陣為：,剛度方程為：,例題4，如圖所示為一剛性梁框架，求解節(jié)點(diǎn)1和2的位移和轉(zhuǎn)角。,解：題目求解主要有以下幾個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題：,1、分布力通過(guò)形函數(shù)進(jìn)行等效變換； 2、采用考慮軸向變形的彎曲梁?jiǎn)卧?3、梁?jiǎn)卧仨殞⒕植孔鴺?biāo)系下的剛度矩陣變換為整體坐標(biāo)系下的 剛度矩陣； 4、將各個(gè)梁?jiǎn)卧恼w坐標(biāo)系下的剛度矩陣組裝成整體坐標(biāo)系下 的整體剛度矩陣。,空間梁?jiǎn)卧捌渥鴺?biāo)變換,空間梁?jiǎn)卧饕茌S向力、彎矩、扭矩的作用，如圖所示，其整體剛度矩陣可由拉壓桿單元、扭轉(zhuǎn)桿單元、與平面梁?jiǎn)卧喜⒍伞?其中：,為軸向位移，其剛度矩陣為拉壓桿單元的剛度矩陣，即：,為扭轉(zhuǎn)角位移，其剛度矩陣為扭轉(zhuǎn)桿單元的剛度矩陣，即：,屬于xoy 平面內(nèi)梁純彎曲情形，其剛度矩陣為：,屬于xoz 平面內(nèi)梁純彎曲情形，其剛度矩陣為：,按照節(jié)點(diǎn)位移的順序，經(jīng)過(guò)組合，可得整體坐標(biāo)系下空間梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚍椋?空間梁?jiǎn)卧鴺?biāo)變換,按照位移向量等效原則，對(duì)于節(jié)點(diǎn)1有：,對(duì)于節(jié)點(diǎn)2有同樣的矩陣表達(dá)式,其中：,稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)