固體理論課件

1、固體理論,序論,固體是由大量原子所結(jié)合而成的不會(huì)流動(dòng)的宏觀體系。 從導(dǎo)電性講：導(dǎo)體、半導(dǎo)體、絕緣體。 從晶格結(jié)構(gòu)講：晶態(tài)、準(zhǔn)晶、非晶態(tài)、無(wú)系玻璃態(tài)。,1. 什么是固體?,2.元激發(fā)的概念, T=0 K時(shí)，固體的基態(tài)不僅是能量最低的狀態(tài)，而且還是某種有序態(tài)。 從微觀角度分析，實(shí)驗(yàn)上所測(cè)得的宏觀屬性是固體在外擾動(dòng)作用下從基態(tài)躍遷到激發(fā)態(tài)時(shí)所產(chǎn)生的響應(yīng)。 對(duì)于能量靠近基態(tài)的低激發(fā)狀態(tài)，往往可看作成是一些獨(dú)立基本激發(fā)單元的集合，它們具有確定的能量和波矢，這些基本激發(fā)單元就是元激發(fā)，有時(shí)也稱為準(zhǔn)粒子。,T=0 K,外界擾動(dòng),E, q,3.元激發(fā)的分類,元激發(fā)大體可分為兩類： 一類是集體激發(fā)的準(zhǔn)粒子：聲子

2、、磁振子、等離激元等，表現(xiàn)為序參量的微小漲落。這類元激發(fā)一般為波色子。 另一類元激發(fā)是個(gè)別激發(fā)：極化子、金屬中的屏蔽電子或準(zhǔn)電子。,在于從微觀上解釋固體的各種特性、現(xiàn)象，闡明其規(guī)律。 固體理論的主要方法為量子場(chǎng)論的方法。 借助于元激發(fā)的引入，可以使復(fù)雜的多體問(wèn)題簡(jiǎn)化為接近于理想氣體的準(zhǔn)粒子系統(tǒng)，從而使低激發(fā)態(tài)的描述變得十分簡(jiǎn)單。,4.固體理論的基本任務(wù),解釋固體的實(shí)驗(yàn)測(cè)量特性問(wèn)題歸結(jié)為求解在給定外擾動(dòng)作用下互作用系統(tǒng)的元激發(fā)問(wèn)題，這是固體量子論的中心課題。,周期性結(jié)構(gòu)：正格矢、倒格矢、布里淵區(qū)。 聲子：晶格動(dòng)力學(xué)、聲學(xué)模、光學(xué)模、極化激元。 磁振子：海森伯模型、鐵磁自旋理論、反鐵磁自旋理論。

3、等離激元：等離激元和準(zhǔn)電子、介電函數(shù)。 電聲子相互作用： 超導(dǎo)電性的微觀理論：BCS理論。 氧化物高溫超導(dǎo)體 能帶理論： 極化子理論：大極化子與小極化子。 激子理論：瓦尼爾-莫特激子、夫倫克耳激子。 強(qiáng)關(guān)聯(lián)電子體系 無(wú)系系統(tǒng),固體理論的講授內(nèi)容,1.連續(xù)介質(zhì)近似,基本近似,連續(xù)介質(zhì)近似是將整個(gè)固體系統(tǒng)看作一宏觀意義下的均勻介質(zhì)，不考慮原子及晶格結(jié)構(gòu)的具體細(xì)節(jié)。,2.絕熱近似,考慮到離子實(shí)的質(zhì)量比較大，離子運(yùn)動(dòng)速度相對(duì)慢，位移相對(duì)小，在討論電子問(wèn)題時(shí)，可以認(rèn)為離子是固定在瞬時(shí)的位置上，這樣，多種粒子的問(wèn)題就簡(jiǎn)化成多電子問(wèn)題。,3.單電子近似：,用量子力學(xué)來(lái)解決多體問(wèn)題是非常復(fù)雜的，而且嚴(yán)格解是不

4、可能的。要解決這些問(wèn)題，只能抓住主要矛盾, 建立模型，作充分的近似，才可以求解。其中把多體問(wèn)題簡(jiǎn)化為單電子問(wèn)題，即單電子近似。單電子近似指所有對(duì)固體宏觀特性起作用的電子具有相同特征。,單電子近似是基于以下近似基礎(chǔ)上的：,1.原子核與核外內(nèi)層電子考慮成一個(gè)整體。 2.假設(shè)離子實(shí)不動(dòng)（絕熱近似）。 3.忽略電子之間的交互作用（哈特里福克自洽場(chǎng)方法）。,哈特利-?？私?Hartree-Fock),對(duì)于含有N個(gè)電子的多體系統(tǒng)，只有在假定電子之間不存在相互作用時(shí)，總哈密頓可寫為：,單粒子哈密頓,Z為離子實(shí)的正電荷。,晶格周期勢(shì), 在實(shí)際晶體中電子之間存在長(zhǎng)程庫(kù)侖作用； 離子實(shí)的質(zhì)量遠(yuǎn)大于電子，可看作靜

5、止不動(dòng)（絕熱近似）；,斯萊特行列式：,其中 x（r，）,取Z=1，最后一項(xiàng)為晶格周期勢(shì),系統(tǒng)的能量平均值,經(jīng)整理后E可寫成,電子間的直接庫(kù)侖勢(shì),來(lái)源于泡利原理的平行自旋（/）電子間的交互作用,-可求出,滿足下列單電子方程，即Hartree-Fock方程,括號(hào)中的項(xiàng)與所考慮的電子狀態(tài)無(wú)關(guān)，比較容易處理；,交互作用項(xiàng)則與所考慮的電子狀態(tài),有關(guān)，只能通過(guò)迭代自洽求解，這是交換勢(shì)的非定域性所導(dǎo)致的。,進(jìn)一步改寫,已占據(jù)（occ）單電子波函數(shù)表示的r點(diǎn)電子數(shù)密度,非定域交換密度分布,采用對(duì),取平均的辦法來(lái)解決,與 i 無(wú)關(guān),這就是Hartree-Fock近似,Hartree-Fock方程近似寫為,其中,

6、為平均庫(kù)侖勢(shì)場(chǎng),為定域交換勢(shì),定義,則有：,這就是傳統(tǒng)固體物理學(xué)中單電子近似的來(lái)源，它是建立在Hartree-Fock方程基礎(chǔ)上的一種近似。,代表在多體電子系統(tǒng)中移走一個(gè)i電子同時(shí)保持所有其他電子的狀態(tài)不變時(shí)，系統(tǒng)能量的改變。它不直接具有能量本征值的意義。,第一章 周期性結(jié)構(gòu),正格矢與倒格矢,晶體的第一重要特征是原子（離子、分子）的周期性排列 -可用周期性點(diǎn)陣表示 點(diǎn)陣中任一格點(diǎn)的位置由正格矢決定：,l1, l2, l3是整數(shù)，a1, a2, a3為點(diǎn)陣的基矢（或基平移）,a1,a2,二維點(diǎn)陣的元胞和基矢,元胞：點(diǎn)陣的最小重復(fù)單元 1由a1, a2, a3組成的平行六面體被稱為初基元胞。 2每

7、個(gè)元胞中平均只包含一個(gè)格點(diǎn)。 3元胞和基矢的選擇并非唯一。,元胞的體積：,魏格納-賽茨元胞（W-S元胞）,它是由一個(gè)格點(diǎn)與最近鄰格點(diǎn)（有時(shí)也包括次近鄰格點(diǎn)）的連線中垂面所圍成的多面體，其中只包含一個(gè)結(jié)點(diǎn)。,它能更明顯地反映點(diǎn)陣的對(duì)稱性。 它具有所屬點(diǎn)陣點(diǎn)群的全部對(duì)稱性（旋轉(zhuǎn)、反射、反演操作）。,a1,a2,二維六角點(diǎn)陣的魏格納-賽茨元胞（W-S原胞）,立方體,截角八面體,棱十二面體,簡(jiǎn)單立方（SC）、體心立方（BC）和面心立方點(diǎn)陣（FC）的W-S元胞,SC,BC,FC,倒格矢,由于元激發(fā)的狀態(tài)都是由波矢來(lái)描述的-引入波矢空間及相應(yīng)的點(diǎn)陣，即倒點(diǎn)陣。, 倒點(diǎn)陣的基矢是由晶格點(diǎn)陣的基矢定義的：,可

8、求出：,在倒點(diǎn)陣中任一格點(diǎn)的位置矢：,（ni為整數(shù)）,稱為倒格矢。,元胞的體積：,布里淵區(qū),相應(yīng)的W-S元胞作為倒點(diǎn)陣的元胞：在此多面體邊界上的任意一點(diǎn)可由邊界上另一點(diǎn)加上一個(gè)倒格矢的平移達(dá)到。,當(dāng)它的中心為原點(diǎn)時(shí)，W-S元胞所包含的區(qū)域稱為第一布里淵區(qū)，用BZ表示，又稱簡(jiǎn)約區(qū),倒點(diǎn)陣與正點(diǎn)陣的關(guān)系,m為整數(shù),BZ具有晶格點(diǎn)陣點(diǎn)群的全部對(duì)稱性。,2. 平移對(duì)稱性,點(diǎn)陣是格點(diǎn)在空間中的無(wú)限周期性重復(fù)排列； 點(diǎn)陣具有平移對(duì)稱性，表現(xiàn)為將整體作任意正格矢的平移后，它將恢復(fù)原狀； 即從空間任意一點(diǎn)出發(fā)，作任意正格矢的位移，必達(dá)到等效的點(diǎn)上,實(shí)際的晶體有界面，但體的尺寸比界面大107 108個(gè)數(shù)量級(jí) 因

9、而，界面幾乎不影響體的物理特性，與邊界條件的選擇無(wú)關(guān)。,波恩-卡門邊界條件,嚴(yán)格講，只有無(wú)限理想晶體才具有平移對(duì)稱性； 實(shí)際晶體的尺寸比元胞大得多，表面效應(yīng)并不重要；, 邊長(zhǎng)為Na1, Na2, Na3 的有限晶體沿a1, a2, a3 三個(gè)方向首尾相接形成循環(huán)邊界條件。,N-3,N-2,N-1,N,1,2,3,波恩-卡門循環(huán)邊界條件,波恩-卡門循環(huán)邊界條件在數(shù)學(xué)上表現(xiàn)為：,-平移算符,對(duì)于元胞數(shù)為 N = N1N2N3 的晶體， 共有 N 個(gè)平移算符 組成平移群,任意兩次相繼的平移仍為一平移；相繼兩次平移效果與它們作用的先后次序無(wú)關(guān)。 滿足乘法結(jié)合律 (a*b)*c=a*(b*c) 存在逆元

10、素。 存在恒等操作,0,3. 布洛赫定理,對(duì)于N（N=N1N2N3）個(gè)元胞的晶體滿足波恩-卡門條件時(shí)，具有平移對(duì)稱性：,由于N階平移群的每個(gè)元素本身自成一個(gè)共軛類,因此，平移群有N個(gè)不可約表示,說(shuō)明平移群的N個(gè)不可約表示都是一維的,是一維表示的基函數(shù)。,D是表示一維矩陣，實(shí)際上是一個(gè)數(shù)。,j=1,2,3,其中nj =0, 1, 2, ,有此可得：,在倒逆空間中定義一個(gè)波矢,布洛赫定理,D定義的k可作為平移群不可約表示的標(biāo)記。 以上方程可理解為平移算符的本征方程，exp(ikRl)是它的k個(gè)本征值。,進(jìn)一步可得,如果令,可得,是正點(diǎn)陣的周期函數(shù),布洛赫函數(shù),布洛赫函數(shù)是由晶體的平移對(duì)稱性導(dǎo)出的，

11、凡屬周期性結(jié)構(gòu)中的波函數(shù)都應(yīng)具有布洛赫函數(shù)的形式。,K的非唯一性問(wèn)題,那么,第一布里淵區(qū)：任意兩個(gè)波矢之差小于一個(gè)最短的倒格矢的區(qū)域。 限于第一布里淵區(qū)（BZ）的波矢叫簡(jiǎn)約波矢，簡(jiǎn)約區(qū)體積為*，其中有N個(gè)不同的波矢，它們可以唯一地標(biāo)記平移群的N個(gè)不可約表示。,(i=1, 2, 3) (K=0的對(duì)稱多面體，W-S元胞),固體物理學(xué)的幾個(gè)關(guān)系,1. 平移群不可約表示的正交關(guān)系,2. 平移群特征標(biāo)的正交關(guān)系,普遍適用于周期結(jié)構(gòu)中的電子、聲子和自旋波等,3. 求和與積分關(guān)系,相鄰k值的間距,(i=1, 2, 3),每一許可k值所占的體積為,k空間單位體積內(nèi)的有 個(gè)不同的波矢,V 為晶體體積,求和變積分

12、：, 由于晶格結(jié)構(gòu)的周期性，其哈密頓量H與平移算符對(duì)易，兩者具有共同的本征函數(shù),布洛赫函數(shù),在單電子問(wèn)題中，晶體中一個(gè)電子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可由布洛赫函數(shù)描述：,相當(dāng)作一規(guī)范變換,由于,可簡(jiǎn)化為在一正點(diǎn)陣的一個(gè)元胞中求解,有無(wú)窮多個(gè)分立的本證值,因此，晶體中單電子能量是k的多值函數(shù),每一個(gè)確定的k描述一套能級(jí) 和狀態(tài),由于,在BZ外布洛赫函數(shù)無(wú)新態(tài),k限于BZ，是取以k=0為中心的W-S元胞,由于確定n值的 是倒點(diǎn)陣的周期函數(shù)，必有能量的上界和下屆,不同k同一n的所有能級(jí)包括在界內(nèi)，組成一能帶。,不同的n代表不同的能帶，它們的總體稱為晶體的帶結(jié)構(gòu)。,能帶存在的結(jié)論來(lái)自布洛赫函數(shù)的振幅是正點(diǎn)陣的周期函數(shù)

13、這一普遍性特征。,周期結(jié)構(gòu)中一切波的能（頻）譜都成帶,k=0,k=-/a,k=/a,n=2,E(k),n=1,n=3,帶隙,4. 布里淵區(qū)和晶體的對(duì)稱性, 空間群包含平移、旋轉(zhuǎn)、反射、滑移反映、螺旋軸等對(duì)稱操作,空間群算符操作：,代表旋轉(zhuǎn)、反映等點(diǎn)群對(duì)稱操作，t代表平移。,-平移群,-點(diǎn)群,-螺旋軸或滑移反映面,算符相乘：,逆：, 晶體空間群的定義：包括平移群作為不變子群的,元素集合,不變子群條件要求,這就限制了晶體中只可能出現(xiàn)2、3、4、6次旋轉(zhuǎn)軸，使晶體空間群成為有限群,仍為正格矢，即點(diǎn)陣經(jīng)旋轉(zhuǎn)等點(diǎn)群操作后應(yīng)與自身重合，,(1) 布里淵區(qū)（BZ）中En(k)的對(duì)稱性,設(shè)晶體屬于空間群,，則

14、晶體的漢密頓H應(yīng)與,對(duì)易，即H對(duì)于空間群,的一切操作是不變的，有對(duì)稱性：,可以證明：,230種空間群(32種點(diǎn)群)，其中73種簡(jiǎn)單空間群、157中非簡(jiǎn)單空間群(滑移/螺旋),可求出,只是屬于該晶體空間群的點(diǎn)群操作。,在每一能帶中如果把能量En(k)看作布里淵區(qū)中“位置”的函數(shù)，它便具有點(diǎn)陣點(diǎn)群 的全部對(duì)稱性，此即簡(jiǎn)單空間群中En(k)的對(duì)稱性。,例如：二維正點(diǎn)陣BZ為正方形，保持BZ不變的點(diǎn)群操作有8個(gè)，4mm標(biāo)記。 對(duì)于BZ中矢量k1施于上述點(diǎn)群操作后，它變?yōu)閗2, k3, k4, k5, k6, k7, k8. 這8個(gè)點(diǎn)在同一能帶中有相同的能量。,Kx,Ky,/a,-/a,/a,-/a,k

15、1,k2,k6,k7,k5,k4,k3,k8,mx,my,md,md,C4,C42,C43,E,二維正點(diǎn)陣BZ為正方形，保持BZ不變的點(diǎn)群操作有8個(gè),(2) En(k)的簡(jiǎn)并度,簡(jiǎn)并：同一k不同態(tài)具有相同能量本征值。,簡(jiǎn)并度：設(shè)在k點(diǎn)第n個(gè)能量本征值的簡(jiǎn)并度為dn,則有dn個(gè)布洛赫函數(shù),對(duì)應(yīng)于同一個(gè)能量,這種情況往往發(fā)生在BZ中某些高對(duì)稱性的點(diǎn)與線上。,這時(shí)點(diǎn)群中的某些元素對(duì)k運(yùn)算后保持k不變（或等于k+Kn），,但這些元素對(duì)布洛赫函數(shù)作用將產(chǎn)生具有不同對(duì)稱性的一組函數(shù)，它們具有相同的k和本征能量,K波矢群：,點(diǎn)群 中對(duì)k運(yùn)算后保持k不變（或等于k+Kn）的那些對(duì)稱操作元素的集合所構(gòu)成的點(diǎn)群,

16、k波矢群不可約表示的維數(shù)等于k點(diǎn)能級(jí)的簡(jiǎn)并度dn.,例如：二維正方點(diǎn)陣的波矢群,（i）點(diǎn)： k=0的波矢群即點(diǎn)群4mm；這個(gè)群可分為5個(gè)共軛元素類,因此，有5個(gè)不可約表示，這些表示的維數(shù)n應(yīng)滿足,Kx,Ky,/a,-/a,-/a,二維正點(diǎn)陣BZ中高對(duì)稱性的點(diǎn)與線,M,X,Z,其解只可能有：,說(shuō)明波矢群有4個(gè)一維和1個(gè)兩維的不可約表示，即4種單重態(tài)和1種雙重態(tài)，在點(diǎn) 可能有兩重簡(jiǎn)并發(fā)生。,（ii）M點(diǎn) M點(diǎn)波矢經(jīng)4mm所有群元作用后仍在四角頂點(diǎn)上，波矢群也為4mm，可能有兩重簡(jiǎn)并發(fā)生。,（iii) X點(diǎn) X波矢群應(yīng)由E，mx, my, C42等4個(gè)元素組成。這個(gè)群中各個(gè)元素自成一個(gè)共軛類，因此，

17、有4個(gè)一維的不可約表示，說(shuō)明在X點(diǎn)能帶為非簡(jiǎn)并的。,在 點(diǎn)以及BZ中的一般k點(diǎn) 均為非簡(jiǎn)并的, 對(duì)于三維晶格，點(diǎn)群品格表中恒等元素E的特征標(biāo)將告知波矢群的不可約表示的維數(shù)，從而得知 的簡(jiǎn)并度。,（3）時(shí)間反演對(duì)稱性,時(shí)間反演是改變時(shí)間符號(hào)（ ）的對(duì)稱操作。,無(wú)磁場(chǎng)時(shí)薛定諤方程對(duì)時(shí)間反演操作具有不變性； 經(jīng)典力學(xué)的方程也具有時(shí)間反演不變性。,時(shí)間反演操作：,布洛赫函數(shù) 的時(shí)間反演態(tài)為,量子力學(xué)已經(jīng)證明時(shí)間反演對(duì)稱性要求上述兩態(tài)滿足同一個(gè)H本征方程，并具有相同的能量本征值。,這是著名的克喇末（Kramers）定理。與空間反演對(duì)稱性無(wú)關(guān)。,當(dāng)晶體同時(shí)具有空間和時(shí)間反演對(duì)稱性時(shí)：,可得：,同一波矢的兩個(gè)不同自旋狀態(tài)具有相同的能量；,這一附加的兩重自旋簡(jiǎn)并稱為克喇末簡(jiǎn)并, 晶體的空間反演對(duì)稱性會(huì)導(dǎo)致：,5. 點(diǎn)陣傅里葉級(jí)數(shù),與周期性結(jié)構(gòu)有關(guān)的數(shù)學(xué)公式,點(diǎn)陣傅里葉級(jí)數(shù), 設(shè)函數(shù)f(r)滿足周期性邊界條件,其中 代表正格基矢， 為元胞數(shù)，根據(jù)傅里