《數(shù)學(xué)建模》講座-應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院

1、1,數(shù) 學(xué) 建 模 生活中的數(shù)學(xué),北京師范大學(xué)珠海分校 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院 張念,2,主要內(nèi)容,什么是數(shù)學(xué)建模？ 關(guān)于數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽 建模競(jìng)賽的意義,3,引入：兩個(gè)生活案例,一、什么是數(shù)學(xué)建模？,4,通常，1公斤面， 1公斤餡，包100個(gè)餃子,今天，1公斤面不變，餡比 1公斤多了，問(wèn)應(yīng)多包幾個(gè)（小一些），還是少包幾個(gè)（大一些）？,問(wèn)題,圓面積為S的一個(gè)皮，包成體積為V的餃子, 若分成n個(gè)皮，每個(gè)圓面積為s，包成體積為v,V和 nv 哪個(gè)大?,案例一：從包餃子說(shuō)起,定性分析,V比 nv大多少?,定量分析,5,從包餃子說(shuō)起,假設(shè),1. 皮的厚度一樣,2. 餃子的形狀一樣,模型,應(yīng)用,若100個(gè)餃子包1公斤

2、餡, 則50個(gè)餃子可以包 公斤餡,R:大皮半徑,V是 nv是 倍,1.4,r:小皮半徑,6,數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)建模的概念,對(duì)于一個(gè)現(xiàn)實(shí)對(duì)象，為了一個(gè)特定目的， 根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，作出必要的簡(jiǎn)化假設(shè)， 運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。,建立數(shù)學(xué)模型的全過(guò)程 （包括表述、求解、解釋、檢驗(yàn)等）,數(shù)學(xué)模型(Mathematical Model) ：,數(shù)學(xué)建模( Mathematical Modeling ):,案例二：商人們?cè)鯓影踩^(guò)河,問(wèn)題(智力游戲), 3名商人 3名隨從,河,小船(至多2人),隨從們密約, 在河的任一岸, 一旦隨從的人數(shù)比商人多, 就殺人越貨.,但是乘船渡河的方案由商人決定.商

3、人們?cè)鯓硬拍馨踩^(guò)河?,問(wèn)題分析,多步?jīng)Q策過(guò)程,決策 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人員,要求在安全的前提下(兩岸的隨從數(shù)不比商人多),經(jīng)有限步使全體人員過(guò)河。,模型構(gòu)成,xk第k次渡河前此岸的商人數(shù),yk第k次渡河前此岸的隨從數(shù),xk, yk=0,1,2,3; k=1,2,sk=(xk , yk)過(guò)程的狀態(tài),S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2,S 允許狀態(tài)集合,uk第k次渡船上的商人數(shù),vk第k次渡船上的隨從數(shù),dk=(uk , vk)決策,D=(u , v) u+v=1, 2 允許決策集合,uk, vk=0,1,2;

4、k=1,2,sk+1=sk dk,+(-1)k,狀態(tài)轉(zhuǎn)移律,求dkD(k=1,2, n), 使skS按轉(zhuǎn)移律 由s1=(3,3)到達(dá)sn+1=(0,0).,多步?jīng)Q策問(wèn)題,模型求解,窮舉法 編程上機(jī),圖解法,狀態(tài)s=(x,y) 16個(gè)格點(diǎn),允許決策D 移動(dòng)1或2格; k奇,左下移; k偶,右上移.,s1,sn+1,d1, d11給出安全渡河方案,評(píng)注和思考,規(guī)格化方法, 易于推廣,考慮4名商人各帶一隨從的情況,允許狀態(tài)S,S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2,D=(u , v) u+v=1, 2,10,數(shù) 學(xué) 建 模 的 一 般 步

5、驟,數(shù) 學(xué) 建 模 的 重 要 意 義,發(fā)揮傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的作用，結(jié)合現(xiàn)代計(jì)算機(jī)技術(shù)，快速、有效解決各類實(shí)際問(wèn)題。,數(shù)學(xué)迅速進(jìn)入一些諸如經(jīng)濟(jì)、生態(tài)、人口、地質(zhì)等領(lǐng)域，為數(shù)學(xué)建模開(kāi)拓了許多新的處女地.,12,二、關(guān)于數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽,1992年由中國(guó)工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)(CSIAM)組織第一次競(jìng)賽,1994年起由教育部高教司和CSIAM共同舉辦，每年一次(9月),全國(guó)高校規(guī)模最大的課外科技活動(dòng),中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽參賽隊(duì)數(shù),0,1000,2000,3000,4000,5000,6000,7000,8000,9000,1992,1993,1994,1995,1996,1997,1998,1999,2000,

6、2001,2002,2003,2004,2005,全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽 ,數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽 (Mathematical Contest in Modeling)簡(jiǎn)介,內(nèi)容,賽題：工程技術(shù)、管理科學(xué)中經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)化的實(shí)際問(wèn)題,答卷：一篇包含模型假設(shè)、建立、求解、計(jì)算方法設(shè)計(jì)和計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)、結(jié)果分析和檢驗(yàn)、模型改進(jìn)等方面的論文,形式,3名大學(xué)生組隊(duì)，在3天內(nèi)完成的通訊比賽,可使用任何“死”材料（圖書、計(jì)算機(jī)、軟件、互聯(lián)網(wǎng)等），但不得與隊(duì)外任何人討論,宗旨,創(chuàng)新意識(shí) 團(tuán)隊(duì)精神 重在參與 公平競(jìng)爭(zhēng),標(biāo)準(zhǔn),假設(shè)的合理性，建模的創(chuàng)造性，結(jié)果的正確性，表述的清晰程度,全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽近些年的題目（本科隊(duì)從A,

7、B題中選一題，專科隊(duì)從C, D題中選一題,16,學(xué)生將從數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中受益,綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和計(jì)算機(jī)技術(shù)，通過(guò)分析建模， 選擇、使用合適的數(shù)學(xué)軟件，解決實(shí)際問(wèn)題,提高理論聯(lián)系實(shí)際的能力,面對(duì)復(fù)雜事物的想象力、洞察力、創(chuàng)造力 和獨(dú)立進(jìn)行科學(xué)研究的能力,團(tuán)隊(duì)合作精神和組織協(xié)調(diào)能力,利用圖書室及互聯(lián)網(wǎng)查閱文獻(xiàn)、收集資料 及撰寫科技論文的文字表達(dá)能力,誠(chéng)信意識(shí)和自律精神,競(jìng)賽前的知識(shí)準(zhǔn)備(即培訓(xùn)內(nèi)容),1）建模的基本概念和方法（數(shù)學(xué)建模課程的主要內(nèi)容）,2）建模過(guò)程中常用的數(shù)學(xué)方法(微積分、代數(shù)、概率外)，主要有：計(jì)算方法(如數(shù)值微分和積分、微分方程數(shù)值解、代數(shù)方程組解法)，優(yōu)化方法(如線性、非線性規(guī)

8、劃)，數(shù)理統(tǒng)計(jì)(如假設(shè)檢驗(yàn)、回歸分析)，圖論(如最短路)等。,說(shuō)明：只要求知道實(shí)際問(wèn)題與這些數(shù)學(xué)知識(shí)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系（如哪些問(wèn)題可用線性規(guī)劃求解，或線性規(guī)劃可解決哪些問(wèn)題），以及用它們建立模型的方法，基本上不必涉及模型的求解。,3）合適的數(shù)學(xué)軟件的用法。能基本完成上述方法的軟件,如 MATLAB , MATHEMATICA, LINDO, LINGO等。,4）歷屆賽題的研討,5）撰寫數(shù)學(xué)建模論文的練習(xí),18,競(jìng)賽組隊(duì)注意事項(xiàng),盡可能地讓不同專業(yè)的學(xué)生組成一隊(duì)，以利學(xué)科交叉； 盡可能地讓能力、素質(zhì)方面不同的學(xué)生（創(chuàng)新能力強(qiáng)的，認(rèn)真踏實(shí)的，有組織能力的，文筆好的，）組成一隊(duì)，以利優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)； 盡可能地

9、讓學(xué)生在隊(duì)內(nèi)充分磨合，達(dá)成默契，形成“領(lǐng)袖”。,19,競(jìng)賽期間注意事項(xiàng),吃透題意，確定題目； 查閱資料、實(shí)際調(diào)查要適度； 保證基本模型和求解的完成，在此基礎(chǔ)上完善改進(jìn)； 根據(jù)建模的要求，可以增加、刪除甚至修改題目的條件； 把握好用現(xiàn)成的模型和方法，與自己創(chuàng)新的模型和方法之間的關(guān)系； 論文主體由一人完成，并早些開(kāi)始寫作。,20,提交成果(論文、答卷)的關(guān)鍵,完整摘要；問(wèn)題提出（用自己的語(yǔ)言）；問(wèn)題分析；模型假設(shè)；模型建立；模型求解（算法設(shè)計(jì)和計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)）；結(jié)果（數(shù)據(jù)、圖形）；結(jié)果分析和檢驗(yàn)（如誤差分析、統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)、靈敏性檢驗(yàn)）；優(yōu)缺點(diǎn)，改進(jìn)方向等，附錄（程序、更多的計(jì)算結(jié)果、復(fù)雜的推導(dǎo)、證明等）；

10、 摘要主要模型（名稱）、方法和結(jié)果，解決了什么問(wèn)題，有何特色等； 表述清晰、簡(jiǎn)明，給出數(shù)學(xué)符號(hào)的確切含義、模型假設(shè)的理由等。,21,結(jié)果評(píng)價(jià)：,問(wèn)題分析及假設(shè)的合理性 模型的正確性和創(chuàng)造性 運(yùn)算結(jié)果的正確性 結(jié)論和討論的科學(xué)性 論文表達(dá)的清晰性等。,22,三、參加建模競(jìng)賽的意義,23,參賽意義,競(jìng)賽試題緊密結(jié)合社會(huì)熱點(diǎn)問(wèn)題，富有挑戰(zhàn)性，吸引著學(xué)生關(guān)心各類工程、經(jīng)濟(jì)的實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)他們理論聯(lián)系實(shí)際的學(xué)風(fēng)； 競(jìng)賽讓學(xué)生面對(duì)一個(gè)從未接觸過(guò)的實(shí)際問(wèn)題，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法和計(jì)算機(jī)技術(shù)加以分析、解決，他們必須開(kāi)動(dòng)腦筋、拓寬思路，充分發(fā)揮創(chuàng)造力和想象力，從而培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)及主動(dòng)學(xué)習(xí)、獨(dú)立研究的能力。 通過(guò)競(jìng)

11、賽，許多取得優(yōu)異成績(jī)的學(xué)生的科研能力明顯提高，畢業(yè)時(shí)受到用人單位歡迎，不少人被免試推薦讀研究生。,24,參賽隊(duì)員的話,“賽前高強(qiáng)度的訓(xùn)練，賽時(shí)三天三夜的奮戰(zhàn)，這確實(shí)是對(duì)自身意志力的一種挑戰(zhàn)；數(shù)學(xué)建模增強(qiáng)了我們的自學(xué)能力和現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用的能力。指導(dǎo)老師給與我們的只是一種方法、一個(gè)實(shí)例，我們要做的是如何通過(guò)自己的學(xué)習(xí)將這個(gè)點(diǎn)拓寬到更廣的面上； ” “數(shù)學(xué)建模讓我體會(huì)到了團(tuán)隊(duì)合作精神的重要性。一個(gè)好的團(tuán)隊(duì)是孕育成功的搖籃。當(dāng)我們碰到困難時(shí)，隊(duì)友間的相互鼓勵(lì)讓人信心倍增。 ”,25,李大潛院士分析數(shù)學(xué)建模受追捧的原因,數(shù)學(xué)建模及其競(jìng)賽活動(dòng)打破了原有數(shù)學(xué)課程自成體系、自我封閉的局面，為數(shù)學(xué)和外部世界的聯(lián)系在教學(xué)過(guò)程中打開(kāi)了一條通道，提供了一種有效的方式。 同學(xué)們通過(guò)參加數(shù)學(xué)建模的實(shí)踐，親自參加了將數(shù)學(xué)應(yīng)用于實(shí)際的嘗試，親自參加了發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過(guò)程，取得了在課堂里和書本上所無(wú)法獲得的寶貴經(jīng)驗(yàn)和親身感受，這必能啟迪他們的數(shù)學(xué)心靈，促使他們更好地應(yīng)用數(shù)學(xué)、品味數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)和熱愛(ài)數(shù)學(xué)，在知識(shí)、能力及素質(zhì)三方面迅速的成長(zhǎng)。 可以毫不夸張地說(shuō)，數(shù)學(xué)建模的教育及數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽活動(dòng)是這些年來(lái)規(guī)模最大也最成功的一項(xiàng)數(shù)學(xué)教學(xué)改革實(shí)踐，是對(duì)素質(zhì)教育的重要貢獻(xiàn)。,26,競(jìng)賽組委會(huì)秘書長(zhǎng)姜啟源教授：,數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽鍛煉了大學(xué)生從互聯(lián)網(wǎng)和圖書館查閱文獻(xiàn)、