現(xiàn)代控制理論第6章

1、6.1 概述,6.2 研究最優(yōu)控制的前提條件,6.1 3 線性二次型次優(yōu)控制問 題,6.12 線性二次型最優(yōu)控制問 題,6.3 靜態(tài)最優(yōu)化問題的解,6.10 雙積分系統(tǒng)的時(shí)間最優(yōu) 控制,6.11 動(dòng)態(tài)規(guī)劃法,6.9 Bang-Bang控制,6.8 極小值原理,6.4 離散時(shí)間系統(tǒng)的最優(yōu)控,6.5 離散時(shí)間系統(tǒng)最優(yōu)控制的 離散化處理,6.7 用變分法求解連續(xù)系統(tǒng)最 優(yōu)控制問題-有約束條件 的泛函極值,6.6 泛函及其極值-變分法,61 概述,所謂最優(yōu)化，原非新鮮概念，人們在從事某項(xiàng)工作時(shí)，總是想著采取 最合理的方案或措施，以期收到最好的效果，這里就包含著最優(yōu)化問題。,求解動(dòng)態(tài)最優(yōu)化問題的方法主要

2、有古典變分法，極小(大)值原理及動(dòng)態(tài) 規(guī)劃法等。,動(dòng)態(tài)最優(yōu)化問題可以分為確定性和隨機(jī)性兩大類。在確定性問題中，沒 有隨機(jī)變量，系統(tǒng)的參數(shù)都是確定的。本書只討論確定性最優(yōu)控制問題。,6.2 研究最優(yōu)控制的前提條件,在研究確定性系統(tǒng)的最優(yōu)控制時(shí)，前提條件是：,1.給出受控系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)描述，即狀態(tài)方程,2.明確控制作用域,在工程實(shí)際問題中，控制矢量 往往不能在 空間中任意取值， 而必須受到某些物理限制，例如，系統(tǒng)中的控制電壓，控制功率不能取得任 意大。即 要滿足某些約束條件，這時(shí)，在 空間中，把所有滿足 上式的點(diǎn) 的集合，記作：,（7）,這時(shí)，在 空間中，把所有滿足上式的點(diǎn) 的集合，記作：,(8),的

3、 稱為容許控制。,3明確初始條件,通常，最優(yōu)控制系統(tǒng)的初始時(shí)刻 是給定的。如果初始狀態(tài) 稱固 定始端。如果 是任意的，則稱自由始端。如果 必須滿足某些約束 條件：,相應(yīng)的始端集為：,此時(shí)， 則稱為可變始端。,4明確終端條件,類似于始端條件，固定終端是指終端時(shí)刻 和終端狀態(tài) 都是給定的。,自由端則是在給定 情況下， 可以任意取值不受限制?？勺兘K端 則是指 的情況。其中,是由約束條件 所形成的一個(gè)目標(biāo)集。,5給出目標(biāo)泛函，即性能指標(biāo),對連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，一般表示為：,對離散時(shí)間系統(tǒng)，一般表示為：,上述形式的性能指標(biāo)，稱為綜合型或鮑爾扎型。它由兩部分組成，等 式右邊第一項(xiàng)反映對終端性能的要求，例如對目標(biāo)

4、的允許偏差、脫靶情況等， 稱為終端指標(biāo)函數(shù)；第二項(xiàng)中L為狀態(tài)控制過程中對動(dòng)態(tài)品質(zhì)及能量或燃料 消耗的要求等，稱為動(dòng)態(tài)指標(biāo)函數(shù)。,若不考慮終端指標(biāo)函數(shù)項(xiàng) 則有：,這種形式的性能指標(biāo)稱為積分型或拉格朗日型。若不考慮動(dòng)態(tài)指標(biāo)函數(shù) 項(xiàng)， 則形如：,稱為終端型或梅耶型。,6.3 靜態(tài)最優(yōu)化問題的解,靜態(tài)最優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)是一個(gè)多元普通函數(shù)，其最優(yōu)解可以通過古 典微分法對普通函數(shù)求極值的途徑解決。動(dòng)態(tài)最優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)是一個(gè) 泛函數(shù)，確定其最優(yōu)解要涉及古典變分法求泛函極值的問題。,6.3.1 一元函數(shù)的極值,設(shè) 為定義在閉區(qū)間 上的實(shí)值連續(xù)可做函數(shù)，則存在極值 點(diǎn) 的必要條件是：,（21）,為極小值點(diǎn)

5、充要條件是：,為極大值點(diǎn)充要條件是：,因?yàn)?的極小值和 的極大值等效，所以今后所有推導(dǎo)和 結(jié)論，均以圾小化為準(zhǔn)。,6.3.2 多元函數(shù)的極值,設(shè) 元函數(shù) 這里 為 維列向量。它取 極值的必要條件是：,至于取極小值的充要條件，尚需滿足：,或函數(shù)的梯度為零矢量。,即下列海賽矩陣為正定矩陣。,6.3.3 具有等式約束條件的極值,上面講的是無約束條件極值問題的求解方法。對于具有等式約束條件的 極值問題，則要通過等效變換，化為無約束條件的極值問題來求解。,設(shè)罐頭桶的幾何尺寸：高為 半徑為 則容積為：,（29）,給定鐵皮面積A=常量。要使罐頭桶容積為最大，必然要受條件：,（30）,的約束：,解此類問題的方

6、法有多種，如嵌入法(消元法)和拉格朗日乘子法(增元法)等。,1.嵌入法,先從約束條件式(30) 解出一個(gè)變量，例如 等，然后代入目標(biāo)函 數(shù)式(29)得：,(31),這樣就變成一個(gè)沒有約束條件的函數(shù)式。顯然，式(31)取極值的條件為：,可解出極值點(diǎn)：,又因?yàn)?故上述極值點(diǎn)為極大值點(diǎn)。罐頭桶的最大容 積為：,2.拉格朗日乘子法,6.4 離散時(shí)間系統(tǒng)的最優(yōu)控,6.4.1 基本形式,6.4.2 具有二次型性能指標(biāo)的線性系統(tǒng),65 離散時(shí)間系統(tǒng)最優(yōu)控制的離散化處理,式中， 為終端代價(jià)函數(shù)，假定 是自由終端。,最優(yōu)控制問題是在式(73)約束條件下，尋求 使式(74)為最小。,6.6 泛函及其極值變分法,6

7、.6.1 變分法的基本概念,1泛函,變分法是研究泛函極值問題的數(shù)學(xué)工具。什么叫泛函呢?通俗地說，泛 函就是函數(shù)的函數(shù)。它是普通函數(shù)概念的一種擴(kuò)充。,2.泛函的極值,3.泛函的變分,4泛函極值定理,6.6.2 泛函極值的必要條件歐拉方程,求泛函,6.6.3 多元泛函的極值條件,6.6.4 可變端點(diǎn)問題,6.6.5 具有綜合型性能泛函的情況,67 用變分法求解連續(xù)系統(tǒng)最優(yōu)控制問題有約束條件的 泛函極值,6.7.1 拉格朗日問題,6.7.2 波爾札問題,6.8 極小值原理,定理6.8.1 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為：,始端條件為：,（1）,取哈密頓函數(shù)為：,（5）,則實(shí)現(xiàn)最優(yōu)控制的必要條件是，最優(yōu)控制 、最優(yōu)

8、軌線 和最優(yōu)協(xié) 態(tài)矢量 滿足下列關(guān)系式：,1)沿最優(yōu)軌線滿足正則方程,2)在最優(yōu)軌線上，與最優(yōu)控制 相應(yīng)的H 函數(shù)取絕對極小值，即,3)H函數(shù)在最優(yōu)軌線終點(diǎn)處的值決定于：,（11）,這就是著名的極小值原理。,4)協(xié)態(tài)終值滿足橫截條件：,（12）,6.9 Bang-Bang控制,定理69l 線性定常系統(tǒng)=(A，B，C)，若存在時(shí)間最優(yōu) 控制，則該控制 是惟一的。,令 作用下，系統(tǒng)在 時(shí) 刻也將初值 轉(zhuǎn)移到原點(diǎn) 。即,所以w也是最小時(shí)間控制，根據(jù)前面的結(jié)論， 都是BangBang控制，又 不相等的時(shí)刻上，有 不是BangBang控制，與w()是最優(yōu)控制矛盾，因此有：,這表明控制 是惟一的。,6.1

9、0 雙積分系統(tǒng)的時(shí)間最優(yōu)控制,設(shè)雙積分系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：,求最優(yōu)控制 ,把系統(tǒng)從仞態(tài)轉(zhuǎn)移到終態(tài)，使 為極小。,6.10.l 根據(jù)極小值原理確定最優(yōu)控制,列出哈爾密頓函數(shù),為使H全局最小呵得最優(yōu)控制：,在 是一直線，其四種可能形狀以及與之 相應(yīng)的 ，如下圖所示。,解得：,故,即,顯而易見，可供選擇的最優(yōu)控制序列有下列四種：,切換次數(shù)至多一次。切換時(shí)刻為：,6.10.2 狀態(tài)軌線及開關(guān)曲線,6.10.3 最優(yōu)控制律,為了使系統(tǒng)的狀態(tài)能以最小時(shí)間從初態(tài) 轉(zhuǎn)移到終態(tài)(0，0)。當(dāng)初態(tài)所劃位置不同時(shí)，應(yīng)當(dāng)采取的控制規(guī)律不同。但是，凡不在開關(guān)曲線上的點(diǎn)，至少要經(jīng)過一次切換，轉(zhuǎn)到開關(guān)曲線后才能沿著 +或-到

10、達(dá)原點(diǎn)(0，0)。因此，按照初態(tài) 所處的位置可得到下列最優(yōu)控制規(guī)律：,若將開關(guān)曲線寫成：,則最優(yōu)控制律可表示成：,6.10.4 最優(yōu)控制律的工程實(shí)現(xiàn),6.10.5 最優(yōu)時(shí)間計(jì)算,基本方法是把狀態(tài)轉(zhuǎn)移軌線按控制序列分成若f段，逐段汁算所需時(shí)問然 后求和。下面給出的是從初態(tài) 沿最優(yōu)軌線到軌線與開關(guān)曲線交點(diǎn) 的時(shí)問，以及從交點(diǎn)沿開關(guān)曲線到達(dá)原點(diǎn)時(shí)間的計(jì)算公式在日前情況下，只 要把這兩段時(shí)間加起來，即為狀態(tài)轉(zhuǎn)移的最小時(shí)間。,6.11 動(dòng)態(tài)規(guī)劃法,動(dòng)態(tài)規(guī)劃是貝爾曼(Bellman)在 20世紀(jì) 50年代作為多段(步)決策過程 研究出來的，現(xiàn)已在許多技術(shù)領(lǐng)域中獲得廣泛應(yīng)用。,動(dòng)態(tài)規(guī)劃的核心是最優(yōu)性原理。,

11、6.11.1 多段決策問題,6.11.2 離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)規(guī)劃,6.11.3 連續(xù)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)規(guī)劃,利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃最優(yōu)性原理，可以推導(dǎo)出能泛函為極小應(yīng)滿足的條件 哈密爾頓雅可比方程。,即,綜上所述，可將連續(xù)型動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解最優(yōu)控制問題的步驟歸納如下：,1)構(gòu)造哈密爾頓函數(shù)：,2),由上述條件解出的 的函數(shù)。,3)將 代入哈密爾頓一貝爾曼方程，并根據(jù)邊界條件，解出,4)將 代回 ，即得最優(yōu)控制 它是狀態(tài)變量的函數(shù)，據(jù)此可實(shí)現(xiàn)閉環(huán)最優(yōu)控制。,5)將 代入狀態(tài)方程，可進(jìn)一步解出最優(yōu)軌線,6)再將 代人求得最優(yōu)性能泛函 。,6.12 線性二次型最優(yōu)控制問題,6.12.1 二次型性能泛函,二次型性能泛函的一般形

12、式如下：,6.12.2 有限時(shí)間狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題,狀態(tài)調(diào)節(jié)器的任務(wù)在于，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)由于任何原因偏離了平衡狀態(tài)時(shí)， 能在不消耗過多能量的情況下，保持系統(tǒng)狀態(tài)各分量仍接近于平衡狀態(tài)。在 研究這類問題時(shí)，通常是把初始狀態(tài)矢量看作擾動(dòng)，而把零狀態(tài)取作平衡狀 態(tài)。于是調(diào)節(jié)器問題就變?yōu)閷で笞顑?yōu)控制規(guī)律u，在有限的時(shí)間區(qū)間 內(nèi)，將系統(tǒng)從初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到零點(diǎn)附近，并使給定的性能泛函取極值。,6.12.3 無限時(shí)間狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題,對于無限時(shí)間狀態(tài)調(diào)節(jié)器，這里要強(qiáng)調(diào)以下幾點(diǎn)：,1)適用于線性定常系統(tǒng)，且要求系統(tǒng)完全能控，而在有限時(shí)間狀態(tài)調(diào)節(jié) 器中則不強(qiáng)調(diào)這一點(diǎn)。,2)在性能泛函中，由于 ，而使終端泛函 失 去了意義，

13、即,3)與有限時(shí)間狀態(tài)調(diào)節(jié)器一樣，最優(yōu)控制也是全狀態(tài)的線性反饋，結(jié)構(gòu) 圖也與前面的相同。但是，這里的P 是nn 維的實(shí)對稱常矩陣，是黎卡捉矩 陣代數(shù)方程的解。因此，構(gòu)成的是一個(gè)線性定常閉環(huán)系統(tǒng)。,4)閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，即系統(tǒng)矩陣 的特征值均具 負(fù)實(shí)部，而不論原受控系統(tǒng)A的特征值如何。,6.12.4 輸出調(diào)節(jié)器問題,1.輸出調(diào)節(jié)器的任務(wù)是當(dāng)系統(tǒng)受到外擾時(shí)，在不消耗過多能量的前提下， 維持系統(tǒng)的輸出矢量接近其平衡狀態(tài)。,1.線性時(shí)變系統(tǒng)輸出調(diào)節(jié)器問題,給定一個(gè)能觀的線性時(shí)變系統(tǒng)：,性能泛函為：,于是可以用狀態(tài)調(diào)節(jié)器上式來確定最優(yōu)控制：,式中， 為下列黎卡提距陣微分方程的解：,邊界條件：,給定一

14、個(gè)完全能控、能觀的線性定常系統(tǒng)：,2. 線性定常系統(tǒng)輸出調(diào)節(jié)器問題,性能泛函為：,式中， 任意取值； 為正定對稱矩陣； 為正定或半正定矩陣。,要求在系統(tǒng)方程約束下，尋求,最優(yōu)控制為：,而 是下列黎卡提代數(shù)微分方程的解：,6.12.5 跟蹤器問題,1.線性時(shí)變系統(tǒng)跟蹤器問題,2.線性定常系統(tǒng),6.1 3 線性二次型次優(yōu)控制問題,沒完全能控、能觀系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為：,性能指標(biāo)為二次型：,式中， 為正定(或半正定)對稱陣； 為正定對稱陣。,如上所述，設(shè)控制變量 是由輸出變量 的線性負(fù)反饋所構(gòu) 成，即,閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖示如下圖所示：,從圖可得閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程：,（1）,式中， 為閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣。,式中,在規(guī)定了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的情況下，設(shè)計(jì)任務(wù)就是確定輸出反饋矩陣K，使性 能指標(biāo)式(2)取極值。,對漸近穩(wěn)定系統(tǒng)式(1)，