三角函數(shù)輔助角公式化簡

1、三角函數(shù)輔助角公式化簡一、解答題1已知函數(shù) fx sin 2 xcos2x， x r3（ 1）求 f x的對稱中心；（ 2）討論 f x 在區(qū)間,上的單調性 .342已知函數(shù)fx4sinxcos x3 .3（ 1）將 fx 化簡為 fxasinx的形式，并求fx 最小正周期；（ 2）求 fx 在區(qū)間,上的最大值和最小值及取得最值時x 的值 .463已知函數(shù)fx4tanxsinx cos x3 23（ 1）求 fx 的最小正周期；（ 2）求 fx 在區(qū)間,上的單調遞增區(qū)間及最大值與最小值44.4設函數(shù) f x3cos2 x sinxcosx3.2（ 1）求函數(shù) f x 的最小正周期 t 及最大值

2、；（ 2）求函數(shù) f x 的單調遞增區(qū)間 .5已知函數(shù) f x cos 2x2sin x sin x344（）求函數(shù)fx 的最小正周期和圖象的對稱軸方程；（）求函數(shù)fx 在區(qū)間, 上的值域 .1226已知函數(shù)fx3sinxcosx cos2 x1.2( ) 求函數(shù) fx的對稱中心；( ) 求 f x在0,上的單調區(qū)間 .7已知函數(shù) f x4cosxsin x1，求6（ 1）求 f x 的最小正周期；（ 2）求函數(shù) f x 的單調遞增區(qū)間（3）求 fx 在區(qū)間,上的最大值和最小值.64sinx3cosx ?cosx8設函數(shù) f x2.tanx（1）求 fx 的最小正周期；（2）討論fx 在區(qū)間0

3、,上的單調性 .29已知函數(shù)fx2 3sinxcosx2cos2 x1 ，（i ）求 fx 的最大值和對稱中心坐標；.( ) 討論fx 在 0,上的單調性。10已知函數(shù).(1) 求的最小正周期；(2) 若關于的方程在上有兩個不同的實根，求實數(shù)的取值范圍 .11設 fxsinxcosxcos2x.4(1)求 fx 的單調遞增區(qū)間；(2)銳角abc 中，角 a, b, c 的對邊分別為a, b, c ，若 fa，a1 ， bc3 ，求 bc 的值 .0212已知函數(shù).（ 1）求函數(shù)的單調增區(qū)間；.（ 2）的內角， ， 所對的邊分別是， ， ，若，且的面積為，求的值 .13設函數(shù).vx，3 sinx

4、vx，2cosxv v16已知向量 a =（ 2cos22）， b =（ cos22），（ 0），設函數(shù) f （ x）= a ?b ，（ 1）求的最大值，并寫出使取最大值時的集合；且 f （ x）的最小正周期為（ 1）求函數(shù) f （ x）的表達式；（ 2）已知中, 角的邊分別為，若，求 的最小值 .（ 2）求 f （ x）的單調遞增區(qū)間117已知函數(shù)14已知 f x0 ，若 fx 的最小正周期為 4 .3sin x cos x cos x，其中2（ 1） 求函數(shù)（ 1）求函數(shù) fx 的單調遞增區(qū)間；fxasinx( a0,0,) 的部分圖象如圖所示.2f x 的解析式；（ 2） 如何由函數(shù) y

5、2sinx 的通過適當圖象的變換得到函數(shù)f x 的圖象，寫出變換過程 ;（ 2）銳角三角形abc 中，2a c cosb bcosc ，求 fa 的取值范圍 .（ 3） 若 f1，求 sin的值 .426r=（，r，）（| | ）函數(shù)sinx）， b =（cossin15 已知 arcosxr且 f （ x）=f （ x）f （x）= a ?b3（）求 f （x）的解析式及單調遞增區(qū)間；（）將 f（ x）的圖象向右平移單位得 （）的圖象，若 （）+1+在x0 ， g xg xax cosx4a 的取值范圍3上恒成立，求實數(shù)18 已知函數(shù)（1）求函數(shù)在上的單調遞增區(qū)間；（2）若且，求的值。.19

6、已知 f x2cosx sinx3sinxcosxsin 2x ，6（1）求函數(shù) yf x 的單調遞增區(qū)間；（2）設 abc的內角 a 滿足 fauuuv uuuv3 ，求邊 bc的最小值2 ，而 abac20已知函數(shù) f xcosx3coscosxx2（1）求 fx 的最小正周期和最大值；（2）討論fx 在, 3上的單調性4421已知fx2 3cos2 xsin2 x31xr ，求：（1） fx 的單調增區(qū)間；（2）當 x,時，求fx 的值域 .44.22已知函數(shù)為偶函數(shù)，且函數(shù)圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為.（ 1）求的值；（ 2）函數(shù)的圖象向右平移個單位后， 再將得到的圖象上各點的橫坐標伸

7、長到原來的4 倍，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象，求的單調遞減區(qū)間.23已知函數(shù)fxcos4 xsin2xsin4 x .（ 1）求函數(shù)fx 的遞減區(qū)間；（ 2）當 x0,時，求函數(shù)fx 的最小值以及取最小值時x 的值 .224已知函數(shù)fx2 3sinxcosx2sin2x1.（ 1）求函數(shù)fx 的對稱中心和單調遞減區(qū)間；（ 2）若將函數(shù)fx 圖象上每一點的橫坐標都縮短到原來的1（縱坐標不變） ，然后把所得圖象向左平移個26單位長度，得到函數(shù)g x 的圖象，求函數(shù)g x 的表達式 .參考答案1（ 1）對稱中心為k,0 ， kz ；（ 2）增區(qū)間為,，減區(qū)間為,.2126346【解析】 試題分析：

8、利用降冪公式和輔助角公式將已知函數(shù)解析式轉化為正弦型函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的性質來求對稱中心, 其對稱中心能使函數(shù)值為0，從而角的終邊在x 軸上；（2）首先求出函數(shù)的單調區(qū)間，再根據(jù)自變量的取值范圍來求落在給定范圍上的的單調區(qū)間試題解析：1）由已知1cos2x21cos2x3311fsin2 xsin 2xx224cos2 x642令2xk，得 xk, kz ，對稱中心為k,0 ， kz .2261212（ 2）令 2k22x62k2， k z得 kxk3，kz ,增區(qū)間為k, k, kz663令 2k2x62k3， k z22得 kxk5，kz ,增區(qū)間為k, k5, k z3636,上的增區(qū)間

9、為,，減區(qū)間為,.3464362（ 1） fx2sin 2 x， t；（ 2） x時，fx min1， x3412時， fx max2 .【解析】試題分析： （ 1）由三角函數(shù)的公式化簡可得f x 2sin2x，由周期公式3可得答案；（ 2）由 x 的范圍可得2x2的范圍，可得f （ x）的范圍，結合三336角函數(shù)在該區(qū)間的單調性，可得最值及對應的x 值試題解析：（ 1） fx4sinx cosxcossinxsin332sinxcosx23sin 2 x33.sin2 x3cos2x2sin2x3所以 t2.2（ 2）因為x，所以2x243366所以1sin2x1，所以1fx2，23當 2x

10、3，即 x時，fx min1，64當 2x32，即x時， fx min2.123 (1)(2)fx 最大值為 -2，最小值為 1【解析】試題分析： （ 1）化簡函數(shù)的解析式得f x 2sin 2x，根據(jù) t2求32周期；（ 2）先求出函數(shù)fx 的單調遞增區(qū)間，再求其與區(qū)間,的交集即可；根據(jù)442x的取值范圍確定函數(shù)在4,上的最大值與最小值。34試題解析：（ 1） fx4tan xcosxcosx334sinxcos x334sin x1 cosx3 sinx32sinxcosx 23sin2 x322sin2 x3 1cos2x3sin2 x3cos2x2sin2x3所以 fx 的最小正周期

11、t22（ 2）令 z2x，函數(shù) y2sinz 的單調遞增區(qū)間是2k,2k ， kz 322由2k2x2k ，得k5k ， k z 212x2312設 a,， b x |kx5, k z ，易知 ab,412k412124.所以，當 x4, 時， f x在區(qū)間,上單調遞增。41244x，42x563，61sin2x1，2312sin2x23 fx 最大值為2，最小值為 - 1點睛：解題的關鍵是將函數(shù)化成f(x) asin(x )的形式后，把 x 看成一個整體去處理，特別是在求單調區(qū)間的時候，要注意復合函數(shù)單調性規(guī)律“同增異減”， 如果 0，那么一定先借助誘導公式將 化為正數(shù) ，防止把單調性弄錯4

12、（ 1） t，最大值為5k ,kk z1（ 2）1212【解析】試題分析： （ 1）先根據(jù)二倍角公式以及輔助角公式將函數(shù)化為基本三角函數(shù)形式，再 根 據(jù) 正 弦 函數(shù) 性 質求最 小 正周 期 t 及 最 大值；（ 2 ） 根 據(jù) 正 弦 函數(shù) 性質 列不 等 式2k2x32kkz ，解得函數(shù)fx 的單調遞增區(qū)間 .22f3 1 cos2x1 sin2 x3試題解析：解：x22213cos2xsin 2xsin2x232（ 1） t當 2x2k3 2即 xk k z 時 12f x 取最大值為 1（ 2）令2k2x32k kz22 f x的單調增區(qū)間為5k ,kk z1212.5 (1) 答案

13、見解析； (2)3 ,1 .2【解析】 試題分析：(1)整理函數(shù)的解析式可得fx sin 2x，則函數(shù)的最小正周期為6稱軸方程為 x kkz；3(2)結合函數(shù)的定義域和 (1)中整理的函數(shù)的解析式可得函數(shù)的值域為試題解析：（ 1）q fx cos2x32sinx4sin x41 cos2x3 sin2xsinxcosxsinxcosx221 cos2x3 sin2xsin 2 xcos2 x221 cos2x3 sin2xcos2xsin2x226周期 t22k由 2xkk z ,得 xk z6223函數(shù)圖象的對稱軸方程為xkk z3（ 2）q x12,2x6, 5236因為 fxsin2x在

14、區(qū)間12,上單調遞增，在區(qū)間,6332減，所以當 x時， f x取最大值 13又 q f123f1 ，當 x時，f x 取最小值22212t ；對3 ,1 .2上單調遞32.所以 函數(shù)fx在區(qū)間12,上的值域為3 ,1226 (1)k,1 , kz(2)0,5 ,21236【 解 析 】 試 題 分 析 ： (1)f x3sinxcosxcos2 x1sin2x1 ， 令262xk解 得 x即 可 ( )求 fx 在 0,上 的 單 調 區(qū) 間 ， 則 令62k22x62k解得 x, 對 k 賦值得結果 .2試題解析：( ) fx3 sin2 x1 cos2x1sin2x12226令 2xk，

15、得 xk，6212故所求對稱中心為k,1, kz212( )令 2k22x2k2，解得 kxk3, kz66又由于 x0,，所以 x0,5,36故所求單調區(qū)間為0,5.,36點睛：三角函數(shù)的大題關鍵是對f(x) 的化簡，主要是三角恒等變換的考查，化簡成yasin wx類型，把wx+看成整體進行分析.7 （ 1） t；（ 2）單調遞增區(qū)間為k, k, k z ；（ 3） f xmin1 ，36f x miax 2 .【解析】試題分析： （1）由和差角公式及二倍角公式化簡得：fx 2sin2x，進而6得最小正周期；（ 2）由 2k2x2k, kz 可得增區(qū)間；62.（ 3）由6x得62x2 ，根據(jù)

16、正弦函數(shù)的圖象可得最值.463試題解析：(1)q f x4cosxsinx14cosx3 sinx1 cosx 1 2 3sinxcosx 2cos2 x 16223sin2 xcos2x2sin2x.6f x的最小正周期 t.（ 2）由 2k2x62k, k z2解得 k3xk, kz6函數(shù) fx的單調遞增區(qū)間為k, k, k z36(3) qx6432 x222x663當 2x66時， x6， fx min1當 2x時， x，fx miax2 .626點睛：三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則（ 1）一看“角”，這是最重要的一環(huán)，通過看角之間的區(qū)別和聯(lián)系，把角進行合理的拆分，從而正確使用公式

17、；（ 2）而看“函數(shù)名稱”看函數(shù)名稱之間的差異，從而確定使用公式， 常見的有“切化弦”；（ 3）三看“結構特征”，分析結構特征，可以幫助我們找到變形的方向，如“遇到分式通分”等 .8（ ）（ ）f x在區(qū)間 0,上單調遞增，在區(qū)間,上單調遞減 .1 t212122【解析】試題分析： （ 1）先根據(jù)誘導公式、二倍角公式以及輔助角公式將函數(shù)化為基本三角函數(shù)，再根據(jù)正弦函數(shù)性質得fx 的最小正周期； （ 2）根據(jù)正弦函數(shù)性質求 0, ) 上單調2區(qū)間，即得 fx 在區(qū)間0,上的單調性 .2.試題解析：（ 1） fxsinx3cosx ?cosxsinxcosx3cos2 x1 sin2x3 1cos

18、2xsin2 x33t22222（ 2）令2k2x2k，解得5kxk（ kz ）2321212 x0,， f x在區(qū)間0,上單調遞增，在區(qū)間12,上單調遞減 .21229 ( )最大值為2 ，對稱中心為：k,0kz；( )遞增區(qū)間：0, 和21235,；遞減區(qū)間：, 5.636【 解 析 】 試 題 分 析 ：（ 1 ） 由 正 弦 的 倍 角 公 式 和 降 冪 公 式 ， f(x)可 化 簡 為f x2sin 2x，可知最大值為2，對稱中心由 2xk，解得 x 可求。（ 2）先66求得 f(x)最大增區(qū)間與減區(qū)間，再與0,做交，即可求得單調性。試 題 解 析 ： ( )f x2sin2 x

19、6， 所 以 最 大 值 為 2 ， 由 2x6k ， 解 得k,r 所以對稱中心為：k,0kz；x=,122212( ) 先 求f(x) 的 單 調 增 區(qū) 間 ， 由22k2 x622k, kz ， 解 得6k ,k, kz ，在 0,上的增區(qū)間有0,3和 5,。36同理可求得f(x)的單調減區(qū)間3k, 5k, kz ，在0,上的減速區(qū)間有6, 5.36遞增區(qū)間：0,和 5,；遞減區(qū)間：, 5.363610（ 1）；（ 2）的取值范圍為.【解析】 試題分析：(1) 由題意結合誘導公式和同角三角函數(shù)基本關系整理函數(shù)的解析式為：f(x)2sin，結合三角函數(shù)的周期公式可知t.(2)原問題等價于

20、，結合函數(shù)的圖象可得或，求解不等式可得 a 的取值范圍為.試題解析：(1)f(x)2cosxcos(x)sin2xsinxcosx cos2xsinxcosx sin2x sinxcosx cos2x sin2x 2sin， t .(2)畫出函數(shù)在 x的圖像，由圖可知或故 a 的取值范圍為.11（ 1）4k ,4kk z （ 2） b c3 1【 解 析 】 試 題 分 析 ：（ 1） 由 三 角 恒 等 變 換 化 簡 得f xsin2 x1， 由22k2x2k, kz 可解得增區(qū)間 (2)由 fa0 得 sina ， cosa ，由余222弦定理得3bcb2c21，即3 2 bc =2bc

21、bc即得1試題解析：sin2 x1cos 2x（ 1）由題意知 fx2sin2 x1sin2 xsin2 x1 ，22222.由2k2 x2k , k z可得4kxk , k z224所以函數(shù) f x的單調遞增區(qū)間是4k ,kkz4（a0 得 sin a1a 為銳角，所以 cosa3.2）由 f，又222由余弦定理得：cosa3b2c2a2，即3bcb2c21 ，22bc3 2 bc= b21，而 bc3 ，所以 bc31即c12 (1) 函數(shù)的單調增區(qū)間為； (2).【 解 析 】 試 題 分 析 ：（ 1 ） 由 化 一 公 式 得，得結果；（ 2），再由余弦定理得.化簡可得：.（ 1）由

22、，.得：.函數(shù)的單調增區(qū)間為，.（ 2），即.可得，.， .由，且的面積為，即. .由余弦定理可得：. .13 (1), (2)a最小值為 1.【解析】 試題分析：（ 1）利用二倍角公式和兩角和差公式將原式子化一；（ 2）由得到，；由余弦定理得最小為 1；（ 1）=的最大值為2要使取最大值,故 的集合為.（ 2）,.化簡得,，只有在中，由余弦定理，,由當時等號成立，最小為 1.點睛：（ 1）要求三角函數(shù)的最值，就要化成，一次一角一函數(shù)的形式；（ 2）巧妙利用三角函數(shù)值求得角a，再利余弦定理得邊的關系，得到最值；14（ 1） 4k4 ,4k2, k z （2）2f a623324【解析】試題分析

23、：（ 1）先根據(jù)二倍角公式以及輔助角公式將函數(shù)化為基本三角函數(shù)：fxsin2x，再根據(jù)正弦函數(shù)周期性質求，并根據(jù)單調性性質求單調增區(qū)間61（ 2）先根據(jù)正弦定理將邊化為角，由誘導公式及兩角和正弦公式化簡得cosb，即得2b，根據(jù)銳角三角形得a 取值范圍，根據(jù)正弦函數(shù)性質求f a的取值范圍 .3試題解析：（ 1） fx3 sin2x1 cos2xsin2x，最小正周期為4，226fxsin1 x6，令2k21 x62k，即2224k4x 4k2, k z ，33 fx 的單調遞增區(qū)間為4k4, 4k2, kz .33（ 2） 2ac cosbbcosc ， 2sinasinccosbsinbco

24、sc ，整理得：2sinacosbsina ， cosb1b，銳角三角形abc ， 0a，223且 02a，32a，1a52a624212，f.62624.（） f （ x） =sin （x+），5；（）42k, 2k, k za.15663【解析】試題分析： （ 1）利用向量的坐標運算得到（fx） sin（ x，再由 f （ - x）=f）（ x）可知函數(shù) f（x）的圖象關于直線 x= 對稱，所以 += +k，進而得到 = ，利用三角函數(shù)的性質求解單調區(qū)間即可；（ 2）將 f（ x）的圖象向右平移單位得 g（x）= sinx ，即 sinx +1 ax+cosx 在 x0 ，3 上恒成立，利

25、用數(shù)形結合分別研究（）=sinx-cosx和 （）= 1 即可 .h xxax試題解析：（） f （x）= ? =sinxcos +cosxsin =sin （x+），再由 f （ - x） =f （x）可知函數(shù) f （x）的圖象關于直線x= 對稱，+= +k， kz，又 | | ，= f （ x）=sin （x+），3由 2k - x+2k+ 可得 2k - x 2 k+ ，函數(shù)的遞增區(qū)間為2 k -，2k+ ，kz；（）由圖象平移易知g（）=sinx，即sinx+1+在x0 ， 上恒成立xax cosx也即 sinx - cosxax-1 在 x0 ， 上恒成立 .令 h（x） =sinx - cos