三垂線定理及其典型例題

1、三垂線定理,復習提問：,1。直線與平面垂直的定義。 2。直線與平面垂直的判定定理。,3。證明線面垂直的方法。,4。證明線線垂直的方法。,一、射影的概念,定義：自一點P向平面引垂線，垂足P1 叫做P在平面內(nèi)的正射影（簡稱射影）。,如果圖形F上的所有點在一平面內(nèi)的射影構(gòu)成圖形F1，則F1叫做圖形F在這個平面內(nèi)的射影。,思考： 1。兩條異面直線在同一平面內(nèi)的射影的位置關系如何？,2。一個三角形在另一平面中的射影可能是什么圖形？,二、平面的斜線、垂線、射影,PO是平面的斜線, O為斜足;,PA是平面的垂線, A為垂足;,AO是PO在平面內(nèi)的射影.,三垂線定理,性質(zhì)定理,判定定理,性質(zhì)定理,結(jié)論：aPO

2、,二、三垂線定理： 在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。,為什么呢？,三垂線定理,1、三垂線定理描述的是PO(斜線)、AO(射影)、a(直線)之間的垂直關系。,2、a與PO可以相交，也可以異面。,3、三垂線定理的實質(zhì)是平面的一條斜線和 平面內(nèi)的一條直線垂直的判定定理。,對三垂線定理的說明：,三垂線定理,用法：PA， a ，AO是斜線PO在平面內(nèi)的射影，aAO aPO,思考： 如果把定理中的條aAO與結(jié)論aPO互換，命題是否成立？,用法： PA， a ，AO是斜線PO在平面內(nèi)的射影， aPO aAO,說明：三垂線定理及其逆定理是證明線線垂 直的重要方法

3、。,例題分析：,1、判定下列命題是否正確,(1)若a是平面的斜線、直線b垂直于a在平面 內(nèi)的射影，則ab。 ( ),2定理的關鍵找“平面”這個參照學。,強調(diào)：1四線是相對同一個平面而言,(2)若a是平面的斜線，b是平面內(nèi)的直線， 且b垂直于a在內(nèi)的射影，則ab。 ( ),三垂線定理,2、如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，連結(jié)BD1， AC，CB1，B1A，求證：BD1平面AB1C,ABCD是正方形，ACBD 又DD1平面ABCD BD是斜線D1B在平面ABCD上的 射影 AC在平面AC內(nèi)，BD1AC,而AB1， AC相交于點A且都在平面 AB1C內(nèi) BD1平面AB1C,證明：連結(jié)B

4、D，,請同學思考：如何證明D1BAB1,連結(jié)A1B,三垂線定理,關于三垂線定的應用，關鍵是找出平面(基準面)的垂線。 至于射影則是由垂足、斜足來確定的，因而是第二位的。,從三垂線定理的證明得到證明ab的一個程序：一垂、 二射、三證。即,第一、找平面(基準面)及平面垂線,第二、找射影線，這時a、b便成平面上的一條直線與 一條斜線。,三垂線定理,第三、證明射影線與直線a垂直，從而得出a與b垂直。,例3.如果一個角所在平面外一點到角的兩邊的距離相等，那么這點在平面內(nèi)的射影在這個角的平分線上。,已知：BAC在平面內(nèi)，點在外，PEAB，PFAC，PO ，垂足分別是E、F、O，PE=PF 求證：BAO=C

5、AO,證明：連接PA，OE，OF PEAB，PFAC，PO ， ABOE，ACOF（三垂線定理的逆定理）, PE=PF，PA=PA，Rt PAERt PAF。,AE=AF又AO=AO，Rt AOERt AOF。, BAO=CAO,例4、道旁有一條河，彼岸有電塔AB，高15m，只有測角 器和皮尺作測量工具，能否求出電塔頂與道路的距離？,解：在道邊取一點C，,使BC與道邊所成水平角等于90，,再在道邊取一點D，,使水平角CDB等于45，,測得C、D的距離等于20cm,三垂線定理,BC是AC的射影 且CDBC CDAC,CDB=45，CDBC，CD=20cm BC=20m，,因此斜線AC的長度就是電塔頂與道路的距離。,三垂線定理,三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果 和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也 和這條斜線垂直。,小 結(jié),3操作程序分三個步驟“一垂二射三證”,1定理中四條線均針對同一平面而言,2應用定理關鍵是找“基準面”這個參照系,三垂線定理,例4、設PA、PB、PC兩兩互相垂直，且PA